第五章 统计与概率（单元测试·提升卷）数学人教B版2019必修第二册

2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第五章 统计与概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．甲､乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生之间的随机数，当出现或3时，表示此局乙获胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组代表比赛三局的结果.根据以下产生的20组随机数估计乙获胜的概率为（    ） 977 864 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 394 027 556 488 730 145 537 908 A．0.35 B．0.4 C．0.45 D．0.5 【答案】A 【详解】总共有组样本数据，经统计当出现或3时，表示此局乙获胜的数据共有7组， 则乙获胜的概率. 故选：A 2．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（   ） A．270 B．240 C．180 D．150 【答案】B 【详解】，解得， 故物理成绩大于等于60分的人数为. 故选：B. 3．不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【详解】记两个黄球为，两个红球为，任取两个球的样本空间， 事件，事件， 对于AB，事件，即能同时发生，不互斥，AB错误； 对于CD，，C错误，D正确. 故选：D 4．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【详解】这组数据一共有个，，，则. 这组数据的分位数是第个数，即. 这组数据的平均数为. 因为这组数据的分位数等于它们的平均数，所以. 解得. 故选：C. 5．某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件， 则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件， 所以，，， 所以，， 又因为， 所以，， 故选：B 6．冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当甲、乙各自掷骰子得到的点数相同以及点数为4或6时，最后都会停留在同一个位置， 则红旗、蓝旗与终点的距离相等有种情况，故所求概率为. 故选：D. 7．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 【答案】D 【详解】对于A，平均数为2，中位数为1，说明5次点数总和为，且将5次点数从小到大排序，第三位为1， 则从小到大排序前三位是1,1,1，后两位点数之和为，不确定是否出现点数6，故A错误； 对于B，中位数为3，众数为2，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3，且2至少出现过两次， 则从小到大排序前三位是2,2,3，后两位不确定是否出现点数6，故B错误； 对于C，中位数为3，极差为4，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3， 极差可能是，也可能是，不确定是否出现点数6，故C错误； 对于D，平均数为2，方差为2.4，说明5次点数总和为， 若出现点数6，则其他四次点数之和为，只能是1,1,1,1， 则方差， 所以一定没有出现点数6，故D正确. 故选：D. 8．一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】偶数有；质数有；标号之和为的有； 标号之和为的有， 样本空间包含的样本点个数为， 由于质数的个数和非质数的个数相同，故利用对称性可知事件包含的样本点个数为 ， 则，，，， 事件：，共种； 事件：；事件：；事件：； 事件：；事件为不可能事件； 则，，，， ，， 故，，，，，， 则事件独立、事件独立、事件独立、事件不独立、 事件不独立、事件不独立， 则在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 █ █ 1 2 3 3 6 8 12 12 则下列关于成绩统计的说法，正确的有（    ） A．众数与被遮盖的数据无关 B．方差与被遮盖的数据有关 C．平均数有可能大于中位数 D．三个四分位数成等差数列 【答案】ABD 【详解】因为总共50名学生，所以被遮数据不可能大于12， 所以众数为99和100，与被遮盖的数据无关，A正确； 方差涉及到每个数据，所以与被遮盖的数据有关，B正确； 由于中位数为98，设成绩为91，92的分别有个，当时平均数最大且为错误； 因为三个四分位数成等差数列，则D正确. 故选：ABD. 10．已知事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】ABD 【详解】对A选项：由，所以，， 因此，，故A正确； 对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以， 再由概率的加法公式，故B正确； 对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，. 因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立， 所以，故C错误； 对D选项：因与相互独立，所以， 再由概率的加法公式，故D正确. 故选：ABD. 11．某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】记2位男生分别为，3位女生分别为，第一位出场的有5种等可能的结果， 对应第一位出场的每个可能结果，第二位出场的都有4种等可能的结果， 将前两位出场的结果配对，组成20种等可能的结果，用表格表示如下： 第一位 第二位 × × × × × 第一位出场的是男生的可能结果有8种（表中第1、2行），所以，故A正确； 第二位出场的是女生的可能结果有12种（表中第3、4、5列），所以，故B错误； 事件，有6种结果，所以，故C正确； 事件表示第一位出场的是女生，故事件，有6种结果， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 ． 【答案】 【详解】由题意得组距，因为小长方形面积和为1， 所以,解得， 而，则第90百分位数在内， 且设其为，得到，解得 故答案为： 13．设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则= . 【答案】 【详解】因为，所以， 而互相独立，得， 则， 故答案为： 14．设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为 . 【答案】/0.625 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立，故， 由不等式恒成立转化为恒成立， 因为是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个， 则构成的所有基本事件总数有24个， 又由，， 设事件“不等式恒成立”，则事件包含事件： ，，，共15个， 因此不等式恒成立的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中的值，估计师生竞赛成绩的众数和中位数 (2)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 【详解】（1）根据频率分布直方图性质可得：， 所以， 2分 频率分布直方图可得，师生竞赛成绩的众数为， 3分 前三组的频率为， 前四组的频率为，则中位数在，设中位数为， 可得，所以，即中位数为82.5. 6分 （2）因为第四组和第五组的频率之比为， 故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，， 第五组抽取人数为人，记为，， 8分 从人中选出人，共有，，，，，，，， ，，，，，，共有种， 其中选出的人来自同一区间的有，，，，，，，共有种， 11分 则选出的人中来自同一组的概率为． 13分 16．（15分）某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取n名会员进行线上问卷调查，将会员的评分（满分10分）从低到高分为四个等级： 会员评分 满意等级 不满意 一般 满意 非常满意 并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的会员数为40人．    (1)求样本容量n及频率分布直方图中的t值． (2)若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估： （ⅰ）若会员满意度评分的均值x低于8分，则需要提升公司产品的体验感，否则全力开发新产品．根据所学的统计知识，判断该公司应采用的运营策略，并说明理由． （ⅱ）记会员评分的样本标准差为s，试估计会员总体在区间的人数的百分比．（参考数据：） 【详解】（1）由频率分布直方图可知，评分在的频率， 故样本容量． 2分 又，故． 4分 （2）各组评分的区间中点值分别为4.5，5.5，6.5，7.5，8.5，9.5． （ⅰ）会员满意度评分的均值， 故该公司应全力开发新产品． 7分 （ⅱ）因为方差 ，则， 10分 故． 区间内评分不小于6.67的频率满足，解得， 区间内评分不大于9.33的频率满足，即， 13分 所以样本在区间的频率为， 因此用样本估计总体知，所有会员在区间的人数的百分比约为． 15分 17．（15分）每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为p、q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为． (1)求p和q的值； (2)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【详解】（1）记事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 记事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件 “第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得相互独立， 且， 2分 记事件 “甲，乙各有一轮胜出”，事件 “甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 6分 从而有，解得， 8分 （2）记事件 “甲两轮都胜出”，事件 “乙两轮都胜出”， 事件 “甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ， 11分 . 15分 18．（17分）为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”. (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生中“运动爱好者”的人数； (2)在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间（单位：分钟）：，已知这10个数的平均数，方差，若剔除其中的20和12两个数，求剩余8个数的平均数与方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，解得. 2分 每天平均运动时间不低于85分钟的频率估计为0.0025×20+（100-85）×0.01=0.2， 故该校学生中“运动爱好者”的人数估计为3000×0.2=600. 5分 （2）， 剔除其中的20和12两个数， 7分 剩余8个数的平均数. 9分 因为 ， 13分 则， 方差为. 17分 19．（17分）在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“⊙”． (1)若，．求字母A正确接收的概率； (2)若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小． 【详解】（1）字母A的密码为“⊙”，一共接收2个符号，2个都正确， 则字母A正确接收，所以字母A正确接收的概率为； 3分 （2）， 若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为1，可分3种情况：传输为“⊙”或“⊙”或“⊙”， 所以， 6分 同理，若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为2，可分3种情况：传输为“⊙⊙”或“⊙⊙”或“⊙⊙”， 所以， 9分 当时，， 所以， 12分 当时，， 所以， 所以， 15分 若，则； 若，则； 若，则. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第五章 统计与概率·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C B D D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．38 13． 14．/0.625 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）根据频率分布直方图性质可得：， 所以， 2分 频率分布直方图可得，师生竞赛成绩的众数为， 3分 前三组的频率为， 前四组的频率为，则中位数在，设中位数为， 可得，所以，即中位数为82.5. 6分 （2）因为第四组和第五组的频率之比为， 故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，， 第五组抽取人数为人，记为，， 8分 从人中选出人，共有，，，，，，，， ，，，，，，共有种， 其中选出的人来自同一区间的有，，，，，，，共有种， 11分 则选出的人中来自同一组的概率为． 13分 16．【详解】（1）由频率分布直方图可知，评分在的频率， 故样本容量． 2分 又，故． 4分 （2）各组评分的区间中点值分别为4.5，5.5，6.5，7.5，8.5，9.5． （ⅰ）会员满意度评分的均值， 故该公司应全力开发新产品． 7分 （ⅱ）因为方差 ，则， 10分 故． 区间内评分不小于6.67的频率满足，解得， 区间内评分不大于9.33的频率满足，即， 13分 所以样本在区间的频率为， 因此用样本估计总体知，所有会员在区间的人数的百分比约为． 15分 17．【详解】（1）记事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”， 记事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件 “第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得相互独立， 且， 2分 记事件 “甲，乙各有一轮胜出”，事件 “甲，乙两轮都胜出”， 则， ， 6分 从而有，解得， 8分 （2）记事件 “甲两轮都胜出”，事件 “乙两轮都胜出”， 事件 “甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”， ， 11分 . 15分 18．【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，解得. 2分 每天平均运动时间不低于85分钟的频率估计为0.0025×20+（100-85）×0.01=0.2， 故该校学生中“运动爱好者”的人数估计为3000×0.2=600. 5分 （2）， 剔除其中的20和12两个数， 7分 剩余8个数的平均数. 9分 因为 ， 13分 则， 方差为. 17分 19．【详解】（1）字母A的密码为“⊙”，一共接收2个符号，2个都正确， 则字母A正确接收，所以字母A正确接收的概率为； 3分 （2）， 若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为1，可分3种情况：传输为“⊙”或“⊙”或“⊙”， 所以， 6分 同理，若字母G接收的3个符号中，收到“⊙”的个数为2，可分3种情况：传输为“⊙⊙”或“⊙⊙”或“⊙⊙”， 所以， 9分 当时，， 所以， 12分 当时，， 所以， 所以， 15分 若，则； 若，则； 若，则. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第五章 统计与概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．甲､乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生之间的随机数，当出现或3时，表示此局乙获胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组代表比赛三局的结果.根据以下产生的20组随机数估计乙获胜的概率为（    ） 977 864 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 394 027 556 488 730 145 537 908 A．0.35 B．0.4 C．0.45 D．0.5 2．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（   ） A．270 B．240 C．180 D．150 3．不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D． 4．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 5．某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 6．冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 7．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 8．一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 █ █ 1 2 3 3 6 8 12 12 则下列关于成绩统计的说法，正确的有（    ） A．众数与被遮盖的数据无关 B．方差与被遮盖的数据有关 C．平均数有可能大于中位数 D．三个四分位数成等差数列 10．已知事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 11．某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 ． 13．设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则= . 14．设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中的值，估计师生竞赛成绩的众数和中位数 (2)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 16．（15分）某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取n名会员进行线上问卷调查，将会员的评分（满分10分）从低到高分为四个等级： 会员评分 满意等级 不满意 一般 满意 非常满意 并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的会员数为40人．    (1)求样本容量n及频率分布直方图中的t值． (2)若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估： （ⅰ）若会员满意度评分的均值x低于8分，则需要提升公司产品的体验感，否则全力开发新产品．根据所学的统计知识，判断该公司应采用的运营策略，并说明理由． （ⅱ）记会员评分的样本标准差为s，试估计会员总体在区间的人数的百分比．（参考数据：） 17．（15分）每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为p、q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为． (1)求p和q的值； (2)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 18．（17分）为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”. (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生中“运动爱好者”的人数； (2)在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间（单位：分钟）：，已知这10个数的平均数，方差，若剔除其中的20和12两个数，求剩余8个数的平均数与方差. 19．（17分）在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“⊙”． (1)若，．求字母A正确接收的概率； (2)若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期数学单元检测卷 第五章 统计与概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．甲､乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛.已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验估计乙获胜的概率.用计算机产生之间的随机数，当出现或3时，表示此局乙获胜，当出现其他数字时，表示此局甲获胜.以3个随机数为一组代表比赛三局的结果.根据以下产生的20组随机数估计乙获胜的概率为（    ） 977 864 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 394 027 556 488 730 145 537 908 A．0.35 B．0.4 C．0.45 D．0.5 2．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（   ） A．270 B．240 C．180 D．150 3．不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥但不对立 C．与相互独立 D． 4．有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 5．某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 6．冒险棋是一种多人参与的休闲益智类棋类游戏，其核心玩法如下：玩家从起点出发，通过掷骰子决定棋子移动步数，并结合陷阱等特殊路径机制行进，先到达终点者获胜（掷到几点，棋子就前进几步，若棋子停止的格子上有冒险文字，则玩家需按照冒险文字指示完成相应操作）．如图，已知甲执红棋、乙执蓝棋来到了同一个位置，甲先掷一次骰子，乙再掷一次骰子，则红棋比蓝棋更靠近终点的概率为（   ） A． B． C． D． 7．四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为2，中位数为1 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，极差为4 D．平均数为2，方差为2.4 8．一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖. 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 █ █ 1 2 3 3 6 8 12 12 则下列关于成绩统计的说法，正确的有（    ） A．众数与被遮盖的数据无关 B．方差与被遮盖的数据有关 C．平均数有可能大于中位数 D．三个四分位数成等差数列 10．已知事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果与互斥，那么 C．如果与相互独立，那么 D．如果与相互独立，那么 11．某校开展主题为“强国有我，筑梦前行”的演讲比赛，共有2位男生，3位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是男生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则下列各式正确的有（　　） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 ． 13．设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中 则= . 14．设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩（满分分）整理成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中的值，估计师生竞赛成绩的众数和中位数 (2)从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率． 16．（15分）某网络公司为了提升服务质量，从会员库中随机抽取n名会员进行线上问卷调查，将会员的评分（满分10分）从低到高分为四个等级： 会员评分 满意等级 不满意 一般 满意 非常满意 并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的会员数为40人．    (1)求样本容量n及频率分布直方图中的t值． (2)若该公司以抽取的样本为参考，每组数据以该组评分的区间中点值为代表进行评估： （ⅰ）若会员满意度评分的均值x低于8分，则需要提升公司产品的体验感，否则全力开发新产品．根据所学的统计知识，判断该公司应采用的运营策略，并说明理由． （ⅱ）记会员评分的样本标准差为s，试估计会员总体在区间的人数的百分比．（参考数据：） 17．（15分）每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为p、q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为． (1)求p和q的值； (2)求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 18．（17分）为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生的调查结果.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”. (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生中“运动爱好者”的人数； (2)在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间（单位：分钟）：，已知这10个数的平均数，方差，若剔除其中的20和12两个数，求剩余8个数的平均数与方差. 19．（17分）在某密码通信系统中，字母只通过符号“⊙”和“”传输，每个符号（⊙或）的传输可能出错，传输结果相互独立．系统只有两种传输模式：模式1：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“⊙”时，正确接收的概率为p，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为q，错误接收的概率为．模式2：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为r，．假设，已知字母A的密码为“⊙”，字母G的密码为“⊙”． (1)若，．求字母A正确接收的概率； (2)若，在字母G接收的3个符号中，记“收到⊙的个数为1”，“收到⊙的个数为2”，试比较和的大小． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $