精品解析：广东省广州市番禺区恒润实验学校2025-2026学年八年级上学期九月月考数学试卷

2025-2026学年第一学期八年级9月调研 数学科问卷 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 2，2，3 D. 10，5，5 2. 下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ ） A. 人能直立在地面上 B. 校门口的自动伸缩栅栏门 C. 古建筑中的三角形屋架 D. 自行车能在地面上运动而不会倒 3. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 7. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在DE上，点F在AB上，△ABC≌△EDC，若∠ACE＝50°，则∠DAB＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 9. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（ ） A. B. C. D. 随点B、C的移动而变化 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，点A在点B的北偏西方向，点C在点B的北偏东方向，点C在点A的北偏东方向，则的度数为______． 12. 如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是______； 13. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 14. 将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则________度． 15. 如图，已知，则为______． 16. 如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为____________秒时，和全等． 三、解答题（共9道小题） 17. 在中，． （1）求长度的取值范围； （2）若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 18. 如图，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）在中作边上的高； （3）若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 20. 如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． （1）求证：； （2）若，，请求出的长． 21. 如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 22. 把三角形纸片沿折叠． （1）如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； （2）如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 23. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结． （1）当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； （2）当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 24. （1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 25. 初步探索 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝45°，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于点E，∠EBA=∠ACB，DE与AB相交于点F． （1）当点D与点C重合时（如图①），∠EBA＝______°； （2）灵活应用：在（1）的条件下，试探究线段BE与DF的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：当点D与点C不重合时（如图②），你认为（2）中线段BE与DF的数量关系是否仍然成立？直接写出你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级9月调研 数学科问卷 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 2，2，3 D. 10，5，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和大于第三边.通过计算各选项中线段的长度和，判断是否满足条件. 根据三角形的三边关系来逐一进行判断求解. 【详解】解： A.因为，所以不能组成三角形，故此项不符合题意； B.因为，所以 不能组成三角形，故此项不符合题意； C.因为，所以能组成三角形，故此项符合题意； D.因为，所以不能组成三角形，此项不符合题意. 故选：C. 2. 下列实际情景运用了三角形稳定性的是（ ） A. 人能直立在地面上 B. 校门口的自动伸缩栅栏门 C. 古建筑中的三角形屋架 D. 自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 3. 用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图所示，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角性质．先由，就可以得出，就可以得出，就可以得出，就可以由三角形的外角与内角的关系求出结论． 【详解】解：， ， ． 在和中， ， ， ． ． ． 故选：B． 7. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，若的面积为，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 8. 如图，点A在DE上，点F在AB上，△ABC≌△EDC，若∠ACE＝50°，则∠DAB＝（　　） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据△ABC≌△EDC得到∠E＝∠BAC，然后由三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵△ABC≌△EDC， ∴∠E＝∠BAC， ∵∠DAC＝∠E+∠ACE， ∴∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠DAB＝∠ACE＝50°， 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形全等的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，三角形外角的性质． 9. 已知等腰三角形的底边长为，一边上的中线把其周长分成两部分，这两部分的差为，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查等腰三角形的定义，理解题意，结合图形分情况分析求解即可． 【详解】解：是边的中点， ． （1）如图①，当时， 即当时，； （2）如图②，当， 即时，． 综上所述，腰长为或． 故选C． 10. 如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（ ） A. B. C. D. 随点B、C的移动而变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，设，则，由角平分线的定义推出，，再由三角形内角和定理推出，则可得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图，点A在点B的北偏西方向，点C在点B的北偏东方向，点C在点A的北偏东方向，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了方向角与平行线的性质，掌握正北方向线互相平行，利用平行线同旁内角互补的性质是解题的关键. 本题结合方向角的定义与平行线的性质，需通过正北方向线的平行关系，将方向角转化为三角形的角度和差，推导的度数. 【详解】解：如图： 由题意，得，，，， ，， ， ， . 故答案为： ． 12. 如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是______； 【答案】AB=AC（答案不唯一）． 【解析】 【分析】首先根据已知条件，判断可选的三角形判定定理，然后添加条件即可. 【详解】已知∠B=∠C．加上公共角∠A=∠A．要使△ABD≌△ACE，只要添加一条对应边相等即可．故可添加 AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等，答案不唯一． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理．根据已知条件选择判定定理是解决本题的关键. 13. 已知的三边分别为a，b，c，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 14. 将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则________度． 【答案】43 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 15. 如图，已知，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得，，，即得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为____________秒时，和全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为1或秒时，和全等． 故答案为：1或． 三、解答题（共9道小题） 17. 在中，． （1）求长度的取值范围； （2）若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】（1） （2）的周长为16，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵在中， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 18. 如图，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （）由全等三角形的性质得，再通过三角形外角性质求出即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）在中作边上的高； （3）若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】（1） （2） 解：如图，即为中边上的高， （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 20. 如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． （1）求证：； （2）若，，请求出的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）3 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 21. 如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：平分， ， 是的高， ， ， ，， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义． （1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到； （2）利用等面积法计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ． 即的长度为． 22. 把三角形纸片沿折叠． （1）如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； （2）如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1） 解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 23. 如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结． （1）当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； （2）当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 【答案】（1） （2）①；②10 【解析】 【分析】本题考查三角形的角平分线与三角形内角和定理，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题． （1）利用三角形的面积公式求出的长，再根据中线的性质即可解决问题； （2）①根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，从而求解；②根据三角形内角和可求出，然后根据角平分线的定义求得，从而求解． 【小问1详解】 解：因为为边上的高，，的面积为24， 所以， 所以． 因为是边上的中线， 所以． 【小问2详解】 解：①因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． ②因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以． 故答案为： 24. （1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 【答案】 （1）， 证明：点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2）， 证明：，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 25. 初步探索 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝45°，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于点E，∠EBA=∠ACB，DE与AB相交于点F． （1）当点D与点C重合时（如图①），∠EBA＝______°； （2）灵活应用：在（1）的条件下，试探究线段BE与DF的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：当点D与点C不重合时（如图②），你认为（2）中线段BE与DF的数量关系是否仍然成立？直接写出你的猜想． 【答案】（1） （2） ．理由如下： 延长，相交于点G ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴即． （3）成立， 【解析】 【分析】(1)根据已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝45°，计算∠ACB=45°，再结合∠EBA=∠ACB，计算即可． （2）延长，相交于点G，证明和即可． （3）仿照（2）证明思想，构造证明即可． 【小问1详解】 因为∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝45°， 所以∠ACB=45°， 因为∠EBA=∠ACB， 所以∠EBA=22.5°， 故答案为：22.5°． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 成立．理由如下： 过点D作DGCA，与延长线相交于点G，交AB于点H， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵DGCA， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，DGCA，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴即． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $