精品解析：湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

长沙大学附属中学高三期中考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，由复数的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合N，然后利用交集运算求解即可. 【详解】， 又因为，所以. 故选：B. 3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 4. 已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性及给定等式列式求出的表达式，进而求出最小值. 【详解】由函数图象关于点对称，得，即， 由，得，于是，而， 因此或，或， 所以当时，. 故选：D 5. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 6. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，则三个内角中最小的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的面积公式化简得出，结合基本不等式以及正弦值的有界性可得出的值，可得出，利用等号成立的条件可得出、与之间的等量关系，可知为最小内角，进而可求得的值，即为所求. 【详解】由三角形的面积公式可得， 整理可得，即， 又因为，则，当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，由勾股定理可得，故为最小内角，且. 因此，三个内角中最小的角的正弦值为. 故选：C. 7. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解. 【详解】将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 8. 已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题意得出，进行下一步转化得出最小值是即可. 【详解】因为，， ，，则，故， 又，，，，，故最小值是， 故选：C． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点，，则（ ） A. 为 B. 线段的中点坐标为 C. 点B到x轴的距离为5 D. 直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A. 的最小值为4 B. C. 存在点Q，使得 D. 当时，点R在C上且满足，则有 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意求得，再根据基本不等式判断A，由条件确定的范围，结合离心率公式判断B，由短轴端点对焦点的张角最大判断C，设出直线方程，与椭圆方程联立，再求出相关距离，并化简计算后判断D. 【详解】因为的周长为8，所以，即， 又在椭圆外，代入椭圆得，所以， 选项A，， ， 当且仅当时等号成立，因此的最小值是4，A正确； 选项B，椭圆离心率为，所以，B正确； 选项C，设椭圆上顶点为，焦点为， ， 因为，当时，，此时为锐角，因此不存在，使得为直角，因此不成立，C错； 选项D，时，，从而，椭圆方程为， 当直线斜率存在时，设直线方程为，设， 由得， ，， ，， ， ，所以，即， 所以原点到直线的距离为， ， 当直线斜率不存在时，不妨设在第一象限，在第四象限，由得，设，，由得，即． 即，， ，也满足， 综上，为定值，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题，一般设动直线方程为，交点坐标为，直线方程与椭圆方程联立，消元，应用韦达定理得，由动直线（或交点）满足的条件求得关系，再求出要证定值的量，然后代入韦达定理的结论化简即可得． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】A.的展开式中含的项为， 所以，A正确； B.令，得， 令，得， 两式相加得，，B错误； C.令，得， 所以，C正确； D.等式两边对求导得：， 令，得，D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知条件求得椭圆的方程.设出的坐标，根据直线、、的方程求得，进而求得与的面积之比. 【详解】焦点在轴上，两个顶点分别为点，，， ，， 椭圆的方程为； 设，，可得， 直线的方程为：， ，，直线方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理为：，即， ，计算可得， 代入直线的方程可得.，则， 又. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得，进而得，从而有，即可求解. 【详解】设等比数列公比为，因为等差数列的前项和为，且， 所以，解得， 又等比数列的首项为，且，所以，解得，所以， 则， 故答案为：. 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，利用，可求得. 【详解】由题知， ， ， ， . 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 设的内角的对边分别为，已知. （1）若. （i）求； （ii）求； （2）求的最大值. 【答案】（1）（i）3；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由和差角公式化简等式，代入即可求得； （ii）由同角三角函数的关系求得，由和差角公式求得，然后由正弦定理求得边； （2）由正切的和差角公式和（i）中的关系化简，然后由基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 （i），展开化简得： 所以； （ii）由，而为三角形内角，故， 所以， 由正弦定理，得. 【小问2详解】 由（1）可得，故均为锐角， 所以， 当且仅当时，取到最大值. 16. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式； （2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 设等比数列的公比是， 由，得，解得， 所以的通项公式为，此时，， 满足，故. 结合（1）知， 所以数列前项和. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若函数存在唯一极值点，求的取值范围； （3）若函数存在极大值，记作，求证：. （参考结论：当时，.这里表示从0的右边逼近表示从0的左边逼近0.） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，进而建立关于的方程，解之即可求解； （2）由题意可知在上有唯一解.利用导数讨论的性质即可求解； （3）由（2）确定，进而，构造函数，利用导数讨论的性质即可证明. 小问1详解】 且， 则，所以切线方程为， 令，则， 由题意得，解得； 【小问2详解】 存在唯一极值点等价于方程在上有唯一解. 设， 则，由， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 所以在上的值域为，在上的值域为， 故只需，解得，即实数的取值范围为； 小问3详解】 设， 当时，， 由零点的存在性定理知，存在使得， 即当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以存在极大值为，极小值为，不符合题意； 当时，由（2）知，存在唯一的零点， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以存在极小值为. 故若存在极大值，则，且， 有，得，即，即， 则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 所以，即. 【点睛】难点点睛：本题考查了导数的综合应用，难度较大，特别是第三问证明不等式时难点所在，解答时要结合函数极值以及构造函数，利用函数单调性进行证明. 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解， （2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 所以的方程为，代入点，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 （i）方法一：设，则， 因为三点共线，所以. 当轴时，三点不共线，所以斜率不为0， 设的方程为. 联立双曲线，得， 所以， 又，所以， 即， ，化简得. 显然，，所以，直线恒经过定点. 方法二：设，则，直线， 联立双曲线， 得， ， 且， 由，则直线， 整理得， 又， ，显然直线过定点，得证； （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 可设，联立双曲线， 整理得， 则. 与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以， . 令，则， 令，则， 在上单调递减， 则，此时，即， 的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙大学附属中学高三期中考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，则（ ） A B. C. D. 3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 2或 D. 或 4. 已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若的面积为，则三个内角中最小的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知点，，则（ ） A. 为 B. 线段的中点坐标为 C. 点B到x轴的距离为5 D. 直线的一个方向向量为 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A. 的最小值为4 B. C. 存在点Q，使得 D. 当时，点RC上且满足，则有 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知椭圆的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为____. 13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____． 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 设的内角的对边分别为，已知. （1）若. （i）求； （ii）求； （2）求的最大值. 16. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列前项和为，且.令，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值； （2）若函数存在唯一极值点，求的取值范围； （3）若函数存极大值，记作，求证：. （参考结论：当时，.这里表示从0的右边逼近表示从0的左边逼近0.） 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $