12.6等腰三角形（第一课时）导学案 2025-2026学年北京版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦等腰三角形第一课时，核心知识点为等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”性质。通过折纸操作（探究1）导入，以轴对称知识为学习支架，引导学生从动手实践中抽象性质，再进行逻辑证明，构建“操作-抽象-证明”的知识脉络。 该导学案亮点在于融合动手探究与逻辑推理，通过折纸操作发展几何直观与空间观念，例题练习分层设计，从角度计算到线段证明，培养推理能力与模型意识，助力学生用数学思维解决问题，提升应用意识。

课程基本信息 课题 等腰三角形（第一课时） 学习目标 1. 探索并证明等腰三角形的两个性质. 2. 能利用性质证明两个角相等或两条线段相等. 3. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用. 探究1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 由此你能概括出等腰三角形的性质吗？尝试证明。 例1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC中个各角的度数. 解： 练习.(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是 . (2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是 . (3)已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边的长为 . (4)已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长为6，则它的周长为  . 例2.如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE， 求证：AH=2BD. 练习.已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F． 求证：DE=DF． 例3.已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE. 求证：BD=CE. 练习.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC. 求证：∠B=∠D 课堂检测 1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( 　 ) A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80° 2.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为_________． 3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数. 答案： 探究1： △ABC 是一个等腰三角形，AB = AC。 性质1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。 性质2：等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合（三线合一）。 例1： 设 ∠A = x ∵ AD = BD，∴ ∠ABD = x ∵ BD = BC，∴ ∠C = ∠BDC = 2x ∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠C = 2x 在 △ABC 中：x + 2x + 2x = 180° 5x = 180°，x = 36° ∴ ∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72° 练习： (1) 110° 为顶角时，底角 = (180° - 110°)/2 = 35° (2) 80° 可能是顶角或底角： - 若 80° 为顶角，底角 = 50° - 若 80° 为底角，另一底角 = 80°，顶角 = 20° (3) 第三边长为 7（因为 3+3<7，不能构成三角形） (4) 周长为 16 或 17： - 若腰为 5，周长为 5+5+6 = 16 - 若腰为 6，周长为 6+6+5 = 17 例2： ∵ AB = AC，AD ⊥ BC，∴ BD = DC 在 △AEH 与 △BEC 中： AE = BE，∠AEH = ∠BEC，∠EAH = ∠EBC（同余角） ∴ △AEH ≌ △BEC（ASA） ∴ AH = BC 又 BC = 2BD ∴ AH = 2BD 练习（DE = DF）： 连接 AD ∵ AB = AC，D 为 BC 中点 ∴ AD 平分 ∠BAC（三线合一） 又 DE ⊥ AB，DF ⊥ AC ∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边距离相等） 例3： 连接 BC ∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠ACB ∵ AD = AE，∴ ∠ADE = ∠AED 又 ∠ADB = 180° - ∠ADE，∠AEC = 180° - ∠AED ∴ ∠ADB = ∠AEC 在 △ABD 与 △ACE 中： AB = AC，∠ABD = ∠ACE，∠ADB = ∠AEC ∴ △ABD ≌ △ACE（AAS） ∴ BD = CE 练习（∠B = ∠D）： 连接 AC 在 △ABC 与 △ADC 中： AB = AD，BC = DC，AC = AC ∴ △ABC ≌ △ADC（SSS） ∴ ∠B = ∠D 课堂检测 1. A（65° 或 50°） - 若 50° 为顶角，底角 = 65° - 若 50° 为底角，另一底角 = 50°，顶角 = 80° 2. 70° 或 20° - 若 AB 垂直平分线交 AC 于上方，底角 = 40° - 若交 AC 延长线于下方，底角 = 90° - 50° = 40° 的补角情况分析后得 70° 或 20° 3. ∵ AB = AD，∴ ∠ABD = ∠ADB ∠ADB = (180° - 26°)/2 = 77° ∴ ∠B = 77° ∵ AD = DC，∴ ∠C = ∠DAC ∠ADC = 180° - 77° = 103° ∴ ∠C = (180° - 103°)/2 = 38.5° （或根据外角定理：∠ADC = ∠B + ∠BAD = 77° + 26° = 103°，再求 ∠C） 学科网（北京）股份有限公司 $