精品解析：广西防城港市东兴市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025年秋季学期九年级期中教学质量监测数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 1 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（） A. 顶点坐标 B. 有最小值为1 C. 开口向下 D. 对称轴是直线 8. 由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为，则列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判定 10. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A. 13米 B. 28米 C. 15米 D. 16米 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转__度后能与原来图形重合． 14. 已知是关于x的一元二次方程，则m满足________． 15. 在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是________． 16. 已知，则代数式______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 18. 抛物线的图像过点． （1）求抛物线解析式； （2）将该二次函数的解析式化为的形式； （3）x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？ 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点，的坐标； （2）求的面积． 20. 已知关于的方程有两个不等实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根为，且，求的值． 21. 如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． （1）求A，B两点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 22. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本；若销售单价降x元． （1）该商品每月的销售量为 ，每件利润为 ；（用含x的代数式表示） （2）若该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应降多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应降多少元？ 23. 综合与实践 【问题背景】 在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接． 【发现问题】 （1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是 ； 【初步探究】 （2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级期中教学质量监测数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转180°后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念． 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，形如 （其中 为常数，且 ）的函数是二次函数．逐一判断各选项是否符合定义，即可解题． 【详解】解：选项 A：中，，且为整式，∴它是二次函数，符合题意． 选项 B：的最高次项为一次，∴它不是二次函数，不符合题意． 选项 C：中含有分式，不是整式，∴它不是二次函数，不符合题意． 选项 D：中，可能为 0，∴它不一定是二次函数，不符合题意． 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点P关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点， ∴P点关于原点对称的点为， 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查已知一元二次方程的根求参数，将根代入方程，求解m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴代入方程得：， 即， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质和三角形内角和定理，熟练掌握“旋转前后对应角相等”以及“三角形内角和为”是解题的关键．利用旋转的性质得出对应角相等，再结合三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴． 在中， ∵三角形内角和为，，， ∴ ． 故选：． 6. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是计算判别式的值来判断根的情况． 确定一元二次方程的系数，计算判别式，根据的值判断根的情况：时，方程有两个相等的实数根． 【详解】解：对于方程，其中，，， 计算判别式． 当时，方程有两个相等的实数根，对应选项A． 故选：A． 7. 对于抛物线，下列说法正确的是（） A. 顶点坐标 B. 有最小值为1 C. 开口向下 D. 对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数顶点式中、、对应的开口方向、顶点坐标、最值及对称轴是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】∵抛物线中，， ∴开口向下，故C正确．顶点坐标为，故A错误；对称轴为直线，故D错误； ∵， ∴有最大值1，故B错误． 故选：C． 8. 由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为，则列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论． 【详解】设每天的增长率为， 依题意，得：． 故选：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较函数值的大小，通过直接代入函数计算，的值，然后比较大小． 【详解】解：将、代入，得： ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD、BC于E、F两点，则阴影部分的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EDB=∠OBF，DO=BO， 在△EDO和△FBO中， ∴△DEO≌△BFO(ASA)， ∴S△DEO=S△BFO， 阴影面积 故选：A. 11. 廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A. 13米 B. 28米 C. 15米 D. 16米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数解析式与点坐标的对应关系是解题的关键． 先根据点、的高度确定其纵坐标，代入抛物线解析式求出对应的横坐标，再计算两点的水平距离． 【详解】解：∵点、距水面高为米， ∴点、的纵坐标为， 将代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴水平距离（米）， 故选：． 12. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握抛物线的相关性质． ①根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线与轴的交点个数即可得结论；④根据抛物线的对称轴和等于1时小于0即可得结论；⑤根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论． 【详解】解：①观察图象得∶抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴位于y轴左侧， ∴， ∴， ，则①错误； ②∵对称轴，即， ， ．故②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； ④当时，， 即，故④错误； ⑤当时，有最大值， ∴当时，的值最大， 当时，， ∴， 即，即，故⑤正确． ∴正确的有3个， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转__度后能与原来图形重合． 【答案】72 【解析】 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵360°÷5=72°， ∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合． 故答案为72． 14. 已知是关于x的一元二次方程，则m满足________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程的二次项系数不为0”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，确定二次项系数不为0，进而求解m的取值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故答案为：． 15. 在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移变换，熟练掌握 “上加下减，左加右减” 的平移规则是解题的关键．根据抛物线平移的 “上加下减，左加右减” 规则，逐步对原抛物线进行平移变换． 【详解】解：原抛物线为 ．向上平移1个单位后，得到 ． 再向右平移2个单位，得到 ． 故答案为 . 16. 已知，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体代入的思想是解题的关键；根据题意可知，整理，即可求解； 【详解】解：根据题意可得； ； 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法解方程 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴， 18. 抛物线的图像过点． （1）求抛物线解析式； （2）将该二次函数的解析式化为的形式； （3）x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？ 【答案】（1） （2） （3）当时，y的值随着x的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，将一般式化为顶点式，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法即可将一般式化为顶点式； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， ∴解析式为； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线 ∵， ∴当时，y的值随着x的增大而增大． 19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示， ，． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的绘制、中心对称点的坐标特征以及三角形面积的割补法计算，熟练掌握中心对称的坐标规律和割补法求图形面积是解题的关键． （1）根据中心对称点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）确定、的坐标，再描点连线得到； （2）利用“割补法”，用矩形面积减去周围三角形面积计算的面积． 【小问1详解】 ∵关于原点中心对称的点，横、纵坐标互为相反数，、， ∴，． 【小问2详解】 解：的面积为． 20. 已知关于的方程有两个不等实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两根为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． （1）求A，B两点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数解析式的求解、二次函数与一次函数的图象关系，熟练掌握函数图象上点的坐标特征及函数图象与不等式的关系是解题的关键． （1）分别令直线方程中、，求解对应的坐标； （2）将A、B坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数； （3）根据图象，确定抛物线在直线上方的x取值范围． 【小问1详解】 解：令，代入得， 解得， ∴， 令，代入得， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过、， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：∵直线与坐标轴交于、， ∴由图象可知，不等式的解集是． 22. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本；若销售单价降x元． （1）该商品每月的销售量为 ，每件利润为 ；（用含x的代数式表示） （2）若该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应降多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应降多少元？ 【答案】（1） 件，元 （2） 30元 （3） 20元 【解析】 【分析】本题考查代数式表示、一元二次方程和二次函数的应用． （1）根据销售单价降低x元，销售量增加件，每件利润减少x元，直接写出代数式； （2）根据利润公式列方程，解方程后选择降价较多的解以满足顾客实惠； （3）设每月利润为，建立利润关于x的二次函数，通过顶点公式求最大值对应的x值． 【小问1详解】 解：销售单价降低x元，则销售量为（件），每件利润为（元）， 故答案为：件；元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得 ，， ∵要求顾客获得更多实惠，即销售单价更低， ∴， 答：销售单价应降30元； 【小问3详解】 解：设每月利润为， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 对称轴为直线， ∴当时，利润最大， 答：销售单价应降20元． 23. 综合与实践 【问题背景】 在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接． 【发现问题】 （1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是 ； 【初步探究】 （2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1），； （2）证明：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ； （3）的最小值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）通过旋转性质得，结合、证，得；由且（等腰顶角），得与关系． （2）利用旋转得，结合推导，再由证，得． （3）延长到使，证得，确定的轨迹，过作，求长度即最小值． 【详解】（1）解：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ，， 故答案为：，， （2）略 （3）延长到，使，则， ，， ，， 由旋转得，， ， ，即， 又，， ， ， 在过且与夹角为的直线上， 过作于，则为的最小值， 在中，，， ，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $