精品解析：山东省淄博市张店区2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期期中学业水平测试 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该文字图案是轴对称图形，符合题意； B．该文字图案不轴对称图形，不合题意； C，该文字图案不是轴对称图形，不合题意； D，该文字图案不是轴对称图形，不合题意． 故选：A． 2. 如图所示，其中三角形的个数是（　　） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的定义解答即可，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个. 故选D. 【点睛】本题考查了三角形的概念，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角. 3. 如图，在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 4. 如图，为估计池塘岸边，两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，两点之间的距离不可能是（ ） A. 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．由三角形三边关系定理得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴各个选项中，A、B两点的距离不可能是100米． 故选：D． 5. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握两短边的平方和等于最长边的平方，三条线段能够组成直角三角形，是解题的关键． 根据勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角和三线合一定理，根据等边对等角可判断A，根据三线合一定理可判断B、D，根据现有条件无法推出C中的结论，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴； ∵中点， ∴，平分， 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中只有C选项中的结论不一定成立， 故选：C． 7. 如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（ ） A. 小于 B. 小于 C. 等于 D. 与互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，所以，然后通过全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， 故选：． 8. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如下图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理列出方程，进行计算即可． 【详解】解：设“矩尺”的较长的直角边的长为x尺，则斜边长为尺，根据勾股定理得： ， 解得：， 即“矩尺”的较长的直角边的长为12尺， 故选：C． 9. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交边于点，若，则的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、以及性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点D作于点M，先根据角平分线的判定与性质定理可得，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点D作于点M， 由题中作图可知，平分， ， ， ， ， 在中，， ， 的面积为， 故选：B． 10. 如图，分别以的顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点；再分别以的顶点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，直线相交于点，连接．若的周长为，且，则下列关于与之间的关系中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图知，分别是的垂直平分线，由的周长为，可得，连接，过点D作于点G，可得，得，得，得，得，即得． 【详解】解：由作图知，分别是垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 连接，过点D作于点G， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形内角和性质，四边形内角和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边长x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系，即可解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为和， ∴此三角形第三边长x的取值范围为，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 12. 如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，由直角三角形的性质得，进而由折叠的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定填写即可． 【详解】解：添加的条件为：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，小刚为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点（点在一条直线上），在点处测得过木棍顶端的视线与地面的夹角，测得过楼顶的视线与地面的夹角，且量得点与楼底之间的距离与木棍的高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是___________m． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，则等于___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点作交的延长线于点，连接，过点作延长线于点，得到是等腰直角三角形，垂直平分，可证，得到，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，连接，过点作延长线于点， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵点边的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 在是等腰直角三角形中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：5 ． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 如图，点是内一点，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先根据已知条件，求出，再根据三角形内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∵． 17. 如图，已知点，在线段上，，，．问与全等吗？请说明理由． 【答案】全等，见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，由得，再由，根据平行线的性质得，根据即可证明． 【详解】解：与全等，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 18. 如图，，长为3m，长为4cm，长为12cm．求正方形 的面积． 【答案】正方形的面积 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，然后再根据勾股定理求出CF的长度，最后即可求出正方形的面积． 【详解】解：在中， 在中， ∴正方形的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 19. 如图1，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜，要求建自助取货柜的地方到甲、乙两个居民楼的距离之和最短．如图2，如果把甲、乙两个居民楼和自助取货柜所在的位置分别看作点，道路看作一条直线（点看作在直线上），请用尺规在如图2所示的图形中作出点．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称解决最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”，通过作对称点转化距离和． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求． 【详解】 如图所示，点即为所求． 20. 如图，在中，，平分，，连接． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义以及平行线的性质： （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据等腰三角形的性质可得的度数，再结合平行线的性质可得的度数，的度数，再由角平分线的定义可得的度数，从而得到，即可解答． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以为等腰三角形； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 21. 如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点（网格的格点）处，直线与网格中竖直的线相重合，请利用网格完成以下问题： （1）在图中，直接画出关于直线对称的； （2）在的边上找一点，连接，使平分的面积； （3）仅用直尺在的边上找一点，使得点到，的距离相等，并求出该距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）先根据轴对称性质作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）取的中点D，连接即可； （3）利用网格特点作的角平分线，交于点E，则点E即为所求．过点作于点，作于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积得出，然后求出． 【小问1详解】 解：如图1，则即为所求； 【小问2详解】 解：如图1，则即为所求； 【小问3详解】 解：如图2，作的角平分线，交于点E，则点E即为所求．过点作于点，作于点， 则， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即该距离为． 22. 如图，在中，，，分别是，边上的高，与相交于点，的延长线交于点． （1）问与全等吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）与全等，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：与全等 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，分别是，边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 某数学兴趣小组的同学在学习七年级下册第二章《轴对称》时，深入研究了三角形问题，并发现：等边三角形的三个内角都相等、三条边都相等；反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形；还有，有一个角是的等腰三角形也为等边三角形．如图1，小颖同学画了一个边长为2的等边，取了边的中点，并在边上取了任意一点（点不与顶点重合），连接，现请你和小颖同学一起运用相关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 （1）当___________时，为等边三角形； 【问题探究】 （2）以为边在其左侧作等边． ①如图2，当时，小颖在边上截取了，使，并连接，发现为等边三角形，还借此进一步发现之间存在一定的数量关系，请直接写出小颖发现的之间的这个数量关系； ②如图3，当时，请写出之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图4，在某次军事演习中，甲、乙、丙三舰艇联合执行打击敌舰丁的任务，舰艇甲在指挥中心（点）北偏东的点处，舰艇乙在指挥中心正西方向的点处，舰艇丙（如图4，点所示）由指挥中心出发沿着指挥中心正北方向行驶．现甲、乙两舰艇同时监测到敌舰丁在点处，并测得三点恰好构成等边，且甲、乙两舰艇到指挥中心的距离分别为113.52海里和58.48海里（即海里，海里），问舰艇丙行驶过程中与敌舰丁之间是否存在最短距离（即两点之间是否存在最短距离），若存在，请你帮小颗同学直接写出该最短距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1）1 （2）①；②，理由见解析 （3）86 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及最短路径问题，解题的关键是利用等边三角形的性质构造全等三角形，结合对称思想解决最短距离问题． （1）根据等边三角形边长相等，结合的长度得的值； （2）通过构造等边三角形，证明三角形全等，结合线段和差推导与的数量关系； （3）作对称点转化线段，利用等边三角形性质和垂线段最短求、的最短距离． 【详解】解：等边边长为2，P是AB中点， ． 若等边三角形， ． 故答案为：1 （2）① 时，AD与AQ的关系 由、均为等边三角形，得，，，故． 证 得． 又，， 故， 即． ② 时，、为等边三角形， 得，，， 故． 证， 得． 此时， 即． （3） 作点F关于正北方向直线（OM）的对称点，连接， 由最短路径原理，N到OM的最短距离为与OE的夹角（）对应的垂线段长度． 如图： ，，为等边三角形， 最短距离为海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业水平测试 初二数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 博物馆是历史的见证者和收录者，是人们直观感受历史脉络，提升历史认知的重要场所．以下四个博物馆标识，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，其中三角形的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 如图，在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为估计池塘岸边，两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则，两点之间的距离不可能是（ ） A 70米 B. 80米 C. 90米 D. 100米 5. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 3、4、5 D. 4、5、6 6. 如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 如图，在由大小相同的小正方形组成的的网格中，都是该网格的格点，连接，则下列关于与的关系中正确的是（ ） A. 小于 B. 小于 C. 等于 D. 与互补 8. 在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具，如下图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长为（ ） A. 7尺 B. 8尺 C. 12尺 D. 13尺 9. 在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于点，，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交边于点，若，则的面积为（ ） A 24 B. 30 C. 45 D. 60 10. 如图，分别以的顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点；再分别以的顶点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，直线相交于点，连接．若的周长为，且，则下列关于与之间的关系中正确的是（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 一个三角形两边长分别为和，则此三角形第三边长x的取值范围为______． 12. 如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠，使点落在边上的点处，则______度． 13. 如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________．（写出一个即可） 14. 如图，小刚为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点（点在一条直线上），在点处测得过木棍顶端的视线与地面的夹角，测得过楼顶的视线与地面的夹角，且量得点与楼底之间的距离与木棍的高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是___________m． 15. 如图，在中，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，则等于___________． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. 如图，点是内一点，，．求的度数． 17. 如图，已知点，在线段上，，，．问与全等吗？请说明理由． 18. 如图，，长为3m，长为4cm，长为12cm．求正方形 的面积． 19. 如图1，甲、乙两个居民楼在一条道路的同一侧，要在道路旁建一个快递自助取货柜，要求建自助取货柜的地方到甲、乙两个居民楼的距离之和最短．如图2，如果把甲、乙两个居民楼和自助取货柜所在的位置分别看作点，道路看作一条直线（点看作在直线上），请用尺规在如图2所示的图形中作出点．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 20. 如图，中，，平分，，连接． （1）请判断的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 21. 如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在小正方形的顶点（网格的格点）处，直线与网格中竖直的线相重合，请利用网格完成以下问题： （1）在图中，直接画出关于直线对称的； （2）在的边上找一点，连接，使平分的面积； （3）仅用直尺在的边上找一点，使得点到，的距离相等，并求出该距离． 22. 如图，在中，，，分别是，边上的高，与相交于点，的延长线交于点． （1）问与全等吗？请说明理由； （2）若，，求的长． 23. 某数学兴趣小组的同学在学习七年级下册第二章《轴对称》时，深入研究了三角形问题，并发现：等边三角形的三个内角都相等、三条边都相等；反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形；还有，有一个角是的等腰三角形也为等边三角形．如图1，小颖同学画了一个边长为2的等边，取了边的中点，并在边上取了任意一点（点不与顶点重合），连接，现请你和小颖同学一起运用相关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 （1）当___________时，为等边三角形； 【问题探究】 （2）以为边在其左侧作等边． ①如图2，当时，小颖在边上截取了，使，并连接，发现为等边三角形，还借此进一步发现之间存在一定数量关系，请直接写出小颖发现的之间的这个数量关系； ②如图3，当时，请写出之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图4，在某次军事演习中，甲、乙、丙三舰艇联合执行打击敌舰丁的任务，舰艇甲在指挥中心（点）北偏东的点处，舰艇乙在指挥中心正西方向的点处，舰艇丙（如图4，点所示）由指挥中心出发沿着指挥中心正北方向行驶．现甲、乙两舰艇同时监测到敌舰丁在点处，并测得三点恰好构成等边，且甲、乙两舰艇到指挥中心的距离分别为113.52海里和58.48海里（即海里，海里），问舰艇丙行驶过程中与敌舰丁之间是否存在最短距离（即两点之间是否存在最短距离），若存在，请你帮小颗同学直接写出该最短距离；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $