河南省洛阳市老城区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 关于二次函数的图象，下列说法中错误的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，图象从左到右下降 D. 函数图象有最高点 4. 将一元二次方程配方后，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 5. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为( ) A. B. C. D. 8. 根据下列表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 1 A. B. C. D. 9. 如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，．点从顶点出发，沿着某条直线在菱形内部运动到一点，再从该点沿着直线运动到顶点，设点的运动路程为，，图2是点运动时，随的变化关系图象，则点运动的总路程是（ ） A. B. 6 C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个两根和为2的一元二次方程_________． 12. 已知点，在二次函数的图象上，则________（填“>”“<”或“=”） 13. 在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（铺灰部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，则空白区域的宽度为______． 14. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（为任意实数）．其中正确的结论有________． 15. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，．当时，的长为_____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程：(1) x(2x－5)＝4x－10 (2) x2－4x－7＝0 17. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度得到，将绕坐标原点逆时针旋转得到，画出和； （2）如果通过旋转可以得到，请在图中标出旋转中心并写出点的坐标． 18. 已知关于的方程， （1）求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为1，求其另一根． 19. 某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． （1）直接写出点P的坐标__________； （2）若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 20. 如图，要使用长为米的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为米，靠墙的一面不用篱笆），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（中间的篱笆将长方形分成两个小长方形）． （1）如果要围成面积为平方米的长方形花圃，那么的长为多少米？ （2）能围成面积是平方米的花圃吗？如果能求出的长，如果不能说明理由． 21. 根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2．当售价调为多少时，平均每周的销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 0 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为4，请直接写出的值． 23. （1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（每小题3分，共15分） 【11题答案】 【答案】（答案不唯一） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】②③④ 【15题答案】 【答案】5或 三、解答题（共8小题，共75分） 【16题答案】 【答案】(1) ；(2) 【17题答案】 【答案】（1） 和如图所示； （2） 点位置如图， 【18题答案】 【答案】（1） 证明：∵ 方程为， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． （2）另一个根为 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）的长为米； （2）解：不能围成面积为平方米的花圃，理由如下， 设的长为米，则米， 根据题意得，， 整理得：， ∴， ∴方程无实数根， ∴不能围成面积为平方米的花圃． 【21题答案】 【答案】任务一：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；任务二：每辆车的售价调为22万元时，平均每周的销售利润最大，最大利润为98万元 【22题答案】 【答案】（1） （2）顶点坐标为， 如图所示， （3）的值为2或3 【23题答案】 【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答； （2）或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $