精品解析：四川省成都市实验外国语学校2025-2026学年高二上学期第二阶段考试数学试题

成都市实验外国语学校高2024级第二阶段 数学考试试题 （本考试满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 2. 样本数据2，4，6，8，的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义直接计算可得. 【详解】由平均数的定义，平均为. 故选：C. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下述正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相等 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)， 显然事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，因此，事件A，事件B既不互斥也不对立，故A，B均错误； 事件A，事件B中有不同的结果，于是得事件A与事件B不相等，故C错误； 因为，则，所以A与B相互独立，故D正确. 故选：D. 4. 如图，在四面体中，分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案. 【详解】根据题意， . 故选：A 5. 已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，结合椭圆之间的关系，利用代入法进行求解即可. 【详解】由， 设，因为的面积为， 所以有， 点在椭圆上， 所以， 故选：C 6. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 7. 已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知直线过定点，结合圆的性质分析的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径， 因为，即， 可知直线过定点， 则，可知点在圆内， 当且仅当时，取到最小值. 故选：C. 8. 点分别为椭圆的上顶点和右焦点，若直线交椭圆于点两点，点为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点，将中点坐标代入直线方程，再利用点差法可得，结合，可求出的值，进而求出离心率. 【详解】由题设，则线段的中点为， 由三角形的重心性质可知，，即，解得， 即，将该点代入直线，得，即， 又为线段的中点，则，则， 又为椭圆上的点，， 以上两式相减，得 ，即， ，化简得， 由，解得，即离心率为， 故选：. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A. B. 此次竞赛成绩低于70的学生比率估计为 C. 此次竞赛成绩众数的估计值为75 D. 此次竞赛成绩平均数的估计值不超过80 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的特征计算即可判断A；观察图形即可判断BC；根据平均数的定义计算即可判断D. 【详解】A：，解得，故A错误； B：由图可知，此次竞赛成绩低于70的学生比率为，故B正确； C：由图可知，众数位于组内，所以其估计值为75，故C正确； D：此次竞赛的平均成绩为： ，不超过80，故D正确. 故选：BCD 10. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为正三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：设点A在底面的投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：因为侧面是正三角形，故A正确； 对于选项B：由题意可知：，， 则，可知. 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以， 同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为，其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 故选：ABD. 11. 点为上的任意一点，直线与圆交于两点，以为始边，逆时针旋转到为终边的最小正角分别为和，下列命题正确的有（ ） A. 当直线的倾斜角为时，直线与圆相切 B. 面积的最大值为2 C. 和的面积分别为和，则的最小值为 D. 当为常数，为变数时，是定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系、直线方程、直线与圆的位置关系、三角函数等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A： 因为直线的倾斜角为，所以， 所以直线的方程为，即. 因为圆心到该直线的距离为，所以直线与圆相切，A正确； 对于B： 不妨取为例，如下图所示： 由于，所以， 当时，取最大值为2，B正确； 对于C： 由图像可以看出，以为底，以点到直线的距离为高，来得到的面积， 所以要求的最小值，则直线与圆相切，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以，C错误； 对于D： 由在直线上得： ，两式相减得①， ， ， ， . 所以 化简得，所以. 所以，为定值，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆（为实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则_____ 【答案】3 【解析】 【分析】根据条件可知直线过圆心，将圆心坐标代入直线即可解得结果. 【详解】由题意可知，直线经过圆心， 则，解得. 故答案为：3. 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，二面角的平面角为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由图可得，利用空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故答案为：. 14. 已知是椭圆上的两个动点，，则以为直角顶点的等腰直角的个数为_____ 【答案】2 【解析】 【分析】当轴时，有两个满足条件的三角形，当不垂直于x轴时，通过分析可知点从左顶点运动到右顶点的过程中，是逐渐减小的，可得此种情况没有满足题意的等腰直角三角形. 【详解】过作斜率为的直线分别交右侧的椭圆于， 因为椭圆的对称性得出关于轴对称，轴， 同理可知左侧的椭圆也存在，所以有两个满足条件的三角形. 当不垂直于x轴时，不妨假设，， ， 由复合函数的单调性知，在上单调递减， 所以点从左顶点运动到右顶点的过程中，不存在另一个异于的点（注意因为此时不垂直轴，则点关于轴的对称点不合题意），使得. 综上，满足条件的三角形只有2个. 故答案为：2. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为． （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （2）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 【答案】（1），估计平均成绩为分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，再结合平均数的求法进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 所以； 估计这50名学生的平均成绩为： 分. 【小问2详解】 50名学生在小组的人数分别为，， 设小组中的两个人分别为，小组中的三个人分别为， 从低于60分的学生中随机抽取2名学生，则有以下情况： ，一共有种情况， 其中2名学生成绩不在同一分组的有，一共有种情况， 所以从低于60分的学生中随机抽取2名学生，这2名学生成绩不在同一分组的概率为. 16. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 【答案】（1） 直线的方程可化为 联立，解得 故直线恒过定点 （2）当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，若过定点，则与m无关，理解可得，求解可得定点坐标；（2）根据圆的性质可得：当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，据此运算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长 设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短 则直线的斜率为 由得直线的斜率为，解得 此时的方程为，即 圆心到直线的距离为 ∴最短弦长 故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1） 因为底面，，底面， 所以，， 又底面是正方形，所以， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设． 依题意得，，，． 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则有 即取，则， 因为平面，因此平面． （2） 依题意得， 因为， 所以． 由已知，且，平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，由证明； （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明； （3）求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意得，且，． 设平面的一个法向量为， 则 即，取． 易知平面的一个法向量为， 所以． 所以平面与平面的夹角为． 18. 已知圆的圆心在直线上，且过两个点，点为圆上不同于的两个动点． （1）求圆的方程； （2）为圆上一点，当面积最大时，求直线的方程； （3）若，是否存在与动直线恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1） 设圆心，利用圆心到圆上两点距离相等的条件，建立关于的方程， 解方程得到圆心坐标，再代入半径公式求出半径，即可； （2）分析三角形面积最大的条件：当到直线的距离最大时，面积最大，确定的坐标，利用两点式求出直线的方程； （3）设，，由，利用圆方程化简，设直线的方程为，联立圆的方程，利用韦达定理代入条件，推导直线满足的条件，得出直线恒与某定圆相切. 【小问1详解】 设圆心为， 圆经过点和，因此：， 即：， 解得：，因此圆心为，， 所以圆的方程为：； 【小问2详解】 △AOM 的面积公式为：其中 () 是向量和的夹角， 面积最大时，即， 此时与垂直，即在轴上，圆与轴的交点为和， 对于：斜率，方程为：； 对于：斜率，方程为：； 所以直线的方程或； 【小问3详解】 设，由，利用圆方程化简得： ， 设直线方程为，联立圆方程得：， 由韦达定理，，代入， 得：， 直线方程为， 点到直线距离为：， 斜率不存在时，直线到距离也为， 故定圆以为圆心，半径，方程为. 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为． （1）求的方程； （2）求证：直线与的斜率乘积为； （3）若分别记的斜率为，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：设，因为为中点，所以， 根据题意直线与的斜率都存在， 所以直线与的斜率乘积为， 因为在椭圆上，所以，两式相减可得， 化简得，可得 因此直线与的斜率乘积为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，而解得参数求得椭圆方程. （2）设，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （3）设，有，计算直线的直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【小问1详解】 根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，由（1）可知, 因为点在椭圆上，所以， 由题意， 故将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 同理，将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以的斜率为， 故， 因为点在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校高2024级第二阶段 数学考试试题 （本考试满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据2，4，6，8，的平均数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下述正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. 与相等 D. 与相互独立 4. 如图，在四面体中，分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点．的面积为，则的横坐标的绝对值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 7. 已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 点分别为椭圆的上顶点和右焦点，若直线交椭圆于点两点，点为的重心，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（ ） A. B. 此次竞赛成绩低于70的学生比率估计为 C. 此次竞赛成绩众数的估计值为75 D. 此次竞赛成绩平均数的估计值不超过80 10. 如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（ ） A. 为正三角形 B. C. 与底面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 点为上的任意一点，直线与圆交于两点，以为始边，逆时针旋转到为终边的最小正角分别为和，下列命题正确的有（ ） A. 当直线的倾斜角为时，直线与圆相切 B. 面积的最大值为2 C. 和的面积分别为和，则的最小值为 D. 当为常数，为变数时，是定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆（为实数）上任意一点关于直线的对称点都在圆上，则_____ 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，二面角的平面角为，则_____. 14. 已知是椭圆上的两个动点，，则以为直角顶点的等腰直角的个数为_____ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为． （1）求图中的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （2）从低于60分的学生中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩不在同一分组的概率． 16. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 18. 已知圆的圆心在直线上，且过两个点，点为圆上不同于的两个动点． （1）求圆的方程； （2）为圆上一点，当面积最大时，求直线的方程； （3）若，是否存在与动直线恒相切的定圆？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为． （1）求的方程； （2）求证：直线与的斜率乘积为； （3）若分别记的斜率为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $