精品解析：河南省周口市鹿邑县2025-2026学年上学期第一次月考九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期第一次学情分析 九年级数学（人教版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. 3x2+2x+y＝0 B. 4x2+﹣2＝0 C. （x+1）2＝x2+1 D. x2﹣2x+1＝﹣x 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误； C、原式可化为2x＝0，是一元一次方程，故本选项错误； D、原式可化为x2﹣x+1＝0，是一元二次方程，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】考查了一元二次方程的定义，解题关键是抓住含有一个未知数，并且未知数的这个常数是2的整式方程进行判断． 2. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 4. 已知为一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4048 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根；利用一元二次方程根的定义，将所求表达式变形后代入已知条件求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即 ∴. 故选：D． 5. 一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式列式判断即可． 【详解】解：∵x2﹣3x+6＝0， △＝(﹣3)2﹣4×1×6＝﹣6＜0， ∴方程没有实数根， 即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程根的情况，熟记根的判别式公式是解题的关键． 6. 用配方法将方程变形为，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】将方程用配方法变形，即可得出m的值. 【详解】解：， 配方得：， 即， 则m=5. 故选B. 【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是利用完全平方公式对方程进行变形. 7. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：， 解得：，， 当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论． 8. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的抛物线的解析式是． 故选：B． 9. 已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口、对称轴与y轴的关系以及与y轴的交点即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴与负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交原点， ∴a＜0，b＞0，c＝0， ∴一次函数图象应该过第一、三象限，B错误； C、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，交y轴与负半轴， ∴a＞0，b＞0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，C正确； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴正半轴， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，D错误． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b、c的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 10. 函数的最大值和最小值分别是（ ） A. 4和 B. 和 C. 5和 D. 5和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值． 先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：， ， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ， 时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：C． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 方程(m+3) +3mx＝0是关于x的一元二次方程，则m＝__________． 【答案】m=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出m+3≠0，|m|﹣1=2，求出即可． 【详解】∵（m+3）x|m|﹣1+3mx=0是关于x的一元二次方程，∴m+3≠0，|m|﹣1=2，解得：m=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）． 12. 设、是方程的两个实数根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系；利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算. 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴，， ∴. 故答案为：. 13. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4k=0，然后解一元一次方程即可求解． 【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4k=0， 解得k=3． 故答案为:3. 14. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2＋1(a<0)的图象上，若x1>x2>0，则y1____y2.(填“>”“<”或“＝”) 【答案】< 【解析】 【详解】∵a＜0， ∴二次函数y=ax2+1（a＜0）的图象开口向下. ∵二次函数y=ax2+1（a＜0）的图象的对称轴为：x=0， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴当x1＞x2＞0时，y1＜y2. 故答案为<. 15. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论： ①abc＞0， ②a﹣b+c＜0， ③2a=b， ④4a+2b+c＞0， ⑤若点（﹣2，）和（，）在该图象上，则．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】由图象可先判断、、的符号，可判断①；由时函数的图象在轴下方可判断②；由对称轴方程可判断③；由对称性可知当时，函数值大于0，可判断④；结合二次函数的对称性可判断⑤；可得出答案． 【详解】解：二次函数开口向下，且与轴的交点在轴上方， ，， 对称轴为， ， ， ， 故①、③都不正确； 当时，， ， 故②正确； 由抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一交点在2和3之间， 当时，， ， 故④正确； 抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， ， ， 故⑤不正确； 综上可知正确的为②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性，注意数形结合． 三、解答题． 16. 解方程： （1）x2＝x＋12 （2）2（x＋3）2＝x（x＋3） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】解：（1）， ， ， 或， 或， 即； （2）， ， ，即， 或， 或， 即． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，熟练掌握各方法是解题关键． 17. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得； （2）由一元二次方程根与系数关系， ∵， ∴ 即，解得． 又由（1）知：， ∴． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程． 18. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）， （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）. 【解析】 【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3， 解得：m=2， ∴y=+2x+3=， ∴顶点坐标为：（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． 【点睛】 19. 如图，在中，，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动，点从点出发沿边以的速度向点移动，点、同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）几秒后，的面积为？ （2）几秒后，的长为？ 【答案】（1）1秒后，的面积为 （2）2秒后，的长为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设秒后，的面积为，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）设秒后，的长为，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设秒后，的面积为， 由题意，，， ∴， ∴，解得或（不合题意，舍去）； 故1秒后，的面积为； 【小问2详解】 由（1）和勾股定理可得：， 解得（舍去）或； 故2秒后，的长为． 20. 阅读范例，解答问题： 范例：解方程： 解：（1）当时，即， 原式可变为，解得：，， （2）当时，即 原式可变为，解得：，， ∵，∴，均舍去， ∴原方程的解为，． 依照上例解法，解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】首先分两种情况：和，然后根据绝对值的意义，把方程化简求解即可． 【详解】解：（1）当时，即， 则原式可变为， 解得：，， ∵，∴（舍去）， ∴； （2）当时，， 原式可变为，解得：，， ∵，∴（舍去）， ∴， 综上所述，原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、绝对值的意义，解本题的关键在准确找出两种情况：和，进行分类讨论． 21. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，-2），过点A、C画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长． 【答案】（1）y=x2﹣x﹣2；（2）OP=． 【解析】 【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x-2）（x+1），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式； （2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可． 【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-1，0）、B（2，0）， ∴设该二次函数的解析式为：y=a（x-2）（x+1）（a≠0）． 将x=0，y=-2代入，得-2=a（0-2）（0+1）， 解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=（x-2）（x+1），即y=x2-x-2； （2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2-x-2，则C（0，-2）． 设OP=x，则PA=PC=x+1， 在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2， 解得，x=，即OP=． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．利用待定系数法求二次函数解析式时，注意合理利用抛物线解析式的三种形式． 22. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为 （2）售价应降低3元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2017年及2019年“阳光玫瑰”的种植面积列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每天可售出千克，根据总利润、每千克的利润、销售数量的关系列出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可． 【小问1详解】 解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意可得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． ∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 23. 如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标． 【答案】（1）y=-x2+6x-5；（2）点P的横坐标为4或或． 【解析】 【分析】（1）求出C（0，-5）、点B（5，0），将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）分点P在直线BC上方、点P在直线BC下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）当x=0时，y=x-5=-5，即点C（0，-5），同理点B（5，0）， 将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：y=-x2+6x-5； （2）令y=-x2+6x-5=0，解得：x=1或5，即点A（1，0）， ∵OB=OC=5，∴∠OCB=∠OBC=45°， AM=AB=2， 以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形， 则PQ=AM=2，PQ⊥BC， 如图，作PD⊥x轴交直线BC于D，则∠PDQ=45°， ∴PD=PQ=4， 设点P（x，-x2+6x-5），则点D（x，x-5）， ①当点P在直线BC上方时， PD=-x2+6x-5-x+5=4， 解得：x=1或4（舍去1）； ②点P在直线BC下方时， PD=-x2+6x-5-x+5=-4， 解得：x=， 故点P的横坐标为4或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第一次学情分析 九年级数学（人教版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. 3x2+2x+y＝0 B. 4x2+﹣2＝0 C. （x+1）2＝x2+1 D. x2﹣2x+1＝﹣x 2. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 0 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 4. 已知为一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 4048 5. 一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 用配方法将方程变形为，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 8. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 已知y＝bx﹣c与抛物线y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 函数的最大值和最小值分别是（ ） A. 4和 B. 和 C. 5和 D. 5和 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 方程(m+3) +3mx＝0是关于x的一元二次方程，则m＝__________． 12. 设、是方程的两个实数根，则___________． 13. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为_____． 14. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2＋1(a<0)的图象上，若x1>x2>0，则y1____y2.(填“>”“<”或“＝”) 15. 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论： ①abc＞0， ②a﹣b+c＜0， ③2a=b， ④4a+2b+c＞0， ⑤若点（﹣2，）和（，）在该图象上，则．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）． 三、解答题． 16. 解方程： （1）x2＝x＋12 （2）2（x＋3）2＝x（x＋3） 17. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 18. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）， （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 19. 如图，在中，，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动，点从点出发沿边以的速度向点移动，点、同时出发．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动． （1）几秒后，的面积为？ （2）几秒后，的长为？ 20. 阅读范例，解答问题： 范例：解方程： 解：（1）当时，即， 原式可变为，解得：，， （2）当时，即 原式可变为，解得：，， ∵，∴，均舍去， ∴原方程的解为，． 依照上例解法，解方程：． 21. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，-2），过点A、C画直线． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长． 22. “阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2017年种植“阳光玫瑰”100亩，到2019年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 23. 如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点P（不与点B、C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $