精品解析：吉林省吉林九校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题

吉林省吉林九校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 6. 圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知第二象限角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数 10. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存在等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 三、填空题 12. 已知，那么__________________． 13. 已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________. 14. 已知函数，则的最小值与最大值之积为___________. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 16. 已知数列满足． （1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）设，求的前项和． 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 18. 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间和最大值 （2）当时，设且，求证 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省吉林九校2025-2026学年高三上学期11月期中联考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用集合的交、补运算求结果． 【详解】由题设，则． 故选：B 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算化简，然后结合共轭复数的概念和复数的几何意义可得. 【详解】因为，所以， 所以，故， 因此在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 4. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 9 B. 3 C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积运算律求得，进而求出目标值. 【详解】由，得，由，得 则，而，所以. 故选：C 6. 圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 7. 已知第二象限角满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式和同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式代入化简所求表达式可得，即可得出答案. 【详解】因为，且为第二象限角，所以， 于是 . 故选：D. 8. 已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得为图象的一条对称轴，即可求出，再由的取值范围，求出的取值范围，再结合极值点及正弦函数的性质得到，解得即可. 【详解】由题意可得：的最小正周期，又， 且，所以为图象的一条对称轴， 所以（），解得（）， 又，所以，故. 当时，则，若函数在区间上恰有3个极值点， 则，解得，故的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 9. 已知函数，则（　　） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 的图象关于直线对称 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用周期公式直接计算判断；选项B，根据中心对称的定义，计算对称中心处的函数值判断；选项C，根据轴对称的定义，验证判断；选项D，先进行图象平移得到新函数，再根据奇偶性定义判断. 【详解】选项A，对于函数，最小正周期，题中，所以，所以A正确； 选项B，若函数图象关于点中心对称，则有，但，所以B错误； 选项C，若的图象关于直线对称，则，又， ，所以，所以C正确； 选项D，将的图象向左平移个单位长度后得到的函数为，则， 所以，即不是偶函数，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知中，是边上靠近的三等分点，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是：（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于C，由A知，，利用三点共线可得，即可判断；对于D，由C知，，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可. 【详解】对于A，由题意得，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A知，， 由于M、O、N三点共线，可知，即，故C正确； 对于D，由C知，，且，， 所以， 当且仅当 ，即时取得等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 11. 三次函数的图像与轴有两个交点，则（ ） A. 有唯一的极值 B. C. 存在等差数列，使 D. 过点可作曲线的两条切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求函数的极值点，并根据极值点和零点的定义，即可判断AB，根据的特征，判断，即可求等差数列，判断C，根据导数的几何意义，求切点个数，即可判断D. 【详解】A.，得或， ，的变化情况如表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数有2个极值，故A错误； B.极小值，若函数的图象与轴的交点有2个，则，即， 即函数 其中极大值点就是一个零点，另一个零点是2，所以，故B正确； C.当时，满足， 则， ， 同理，满足，故C正确； D.设过点作曲线的切线的切点为，则，， 则，即， 即，得，或， 有两个切点，所以过点可作曲线的两条切线，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 已知，那么__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过对进行变形，利用诱导公式逐步化简，从而得到与的关系，进而求出的值. 【详解】因为， ，所以． 故答案为： 13. 已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角. 【详解】因为，所以，即①. 因为向量在向量方向的投影向量是， 所以.所以②， 将①代入②得，，又，所以. 故答案为： 14. 已知函数，则的最小值与最大值之积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式与二倍角公式化简得，然后换元：设，，则，运用导数研究在上的单调性，求出的最值，即可得解． 【详解】根据，， 可得 ， 所以， 设，，则，求导数得， 当或时，；当时，， 所以在与上是增函数，在上是减函数； ，，，， 可知的最小值为，的最大值为， 即的最小值为，最大值为． 则的最小值与最大值之积为. 故答案为： 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，已知向量，，． （1）若，求的值； （2）记，R． ①求的对称中心； ②若任意，求的值域． 【答案】（1） （2）①对称中心为 ；② 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列等式，结合三角恒等变换求解即可. （2）①化简，再利用正弦函数图象的性质求解即可；②整体法求函数的值域. 【小问1详解】 由，得， 由，得，则，， 所以. 【小问2详解】 ①依题意， 由，得， 所以的对称中心为. ②由，得， 则当，即时，；当，即时，． 所以的值域为． 16. 已知数列满足． （1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式变形化简，利用等比数列的定义即可证明得解； （2）利用错位相减法求和即可得解. 【小问1详解】 由，得， 所以． 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故． 【小问2详解】 由（1）知． 设的前项和为， 所以，① ，② ①－②得 . 所以． 17. 如图，平面四边形中，，，.的三个内角，，的对边分别是，，，且. （1）求角； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式化简，求出，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由正弦定理求出，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为在中，， 故，而， 故， 即，又，， 可得，，又，； 【小问2详解】 由于，，， 故， 则； 又， 故， 又为锐角， 所以 ， 故； 18. 已知数列的前项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用与的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 时，, 两式相减得， ，，，， 相乘得，所以， 当时符合上式， 所以； 【小问2详解】 ， 当为奇数时， . 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间和最大值 （2）当时，设且，求证 【答案】（1）增区间，减区间，最大值1； （2），，， 当，即，解得，则在内是增函数； 当，即，解得，则在内是减函数. 且，将取对数，得到， ，， ，，， 设， ， ，，，， ，， ，，， ， ， ，， ，是减函数，， ， ，，， ，，在内是减函数， ，. 【解析】 【分析】（1）求，解出的的范围,即可得的增区间，解出的的范围，即得的减区间； （2）求，解出的的范围为的增区间，解出的的范围为的减区间；将取对数，整理后得到，由得到从而得到，构造函数，求，求出，得到，得到，从而得到是减函数，得到，从而得到，即，在内是减函数，得到. 【小问1详解】 ，，， 当，即，解得，则在内是增函数； 当，即，解得，则在内是减函数. 则，综上，的增区间为，减区间为，最大值为1. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $