精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县绥棱县第五中学2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

第五中学2025－2026学年度第一学期初四数学月考试题 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 实数2021的相反数是（ ） A. 2021 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某一物体由若干相同的小正方体组成，其主视图和左视图分别如图所示，则该物体所含小正方体的个数最多有（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8．个 5. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 8. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1； ④若点，，均在二次函数图象上，则； ⑤（m为任意实数）． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共30分，每小题3分） 11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 13. 如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可） 14. 圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为______cm． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________． 16. 已知，是一元二次方程的两个根，则_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，则的值为______． 18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，点D为边AC的中点，点P为边BC上任意一点，若将△CDP沿DP折叠得△EDP，若点E在△ABC的中位线上，则CP的长度为 __________________． 19. 如图，在三角形中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______． 20. 如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________． 三、解答题（60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求在旋转过程中所扫过的面积（结果保留） 23. 如图，在中，，是的平分线． （1）尺规作图：作，圆心O在线段上，且经过A，D两点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 24. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．） （1）求灯杆AB的高度； （2）求CD的长度． 25. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 26. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度为　 　米/分，点M的坐标为　 　； （2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 27. 综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4． （4）求证：． 28. 如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形． 　　 （1）求抛物线的解析式； （2）当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五中学2025－2026学年度第一学期初四数学月考试题 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 实数2021的相反数是（ ） A. 2021 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：2021的相反数是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查相反数的定义，正确掌握其概念是解题关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查算术平方根的定义、幂的乘方、同底数幂相乘以及代数式的化简，逐项判断即可：A选项混淆了算术平方根与平方根；C选项指数相加错误；D选项不能直接化简为y；B选项正确应用了幂的乘方法则． 【分析】对于A：∵ 表示算术平方根， ∴ ，而不等于 ，∴ A错误， 对于B：∵ ，且 ， ∴ ，∴ B正确， 对于C：∵ ， ∴ ，而不等于 ，∴ C错误， 对于D：∵ ，与不相等， ∴ D错误． 故选：B． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； BCD既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 4. 某一物体由若干相同的小正方体组成，其主视图和左视图分别如图所示，则该物体所含小正方体的个数最多有（） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8．个 【答案】C 【解析】 【分析】考查由三视图判断几何体；让最底层的行数乘以列数判断出最底层小正方体最多的个数是解决本题的重点． 由所给视图可判断出最底层的行数和列数以及第二层小正方体的个数，让最底层的行数乘以列数即可得到最底层小正方体最多的个数，加上第二层小正方体的个数即为所求． 【详解】解：由主视图可得最底层小正方体的列数为3，由左视图可得最底层小正方体的行数为2，∴最底层最多有个正方体， ∵第二层只有1个正方体， ∴该物体所含小正方体的个数最多有7个． 故选：C． 5. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过有理数和无理数的概念判断，然后利用概率计算公式计算即可． 【详解】有理数有：，，； 无理数有：，5.06006000600006……； 则取到的卡片正面的数是无理数的概率是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可． 6. 把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：∵∠1＝47°， ∴∠3＝90°−∠1＝90°−47°＝43°， ∴∠4＝180°−43°＝137°， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2＝∠4＝137°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． 7. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AC为切线， ∴∠OAC=90° ， ∵∠C=40°， ∴∠AOC=50°， ∵OB=OD ， ∴∠ABD=∠ODB ， ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°， ∴∠ABD=∠ODB=25°． 故选B 8. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包， 依据题意得： 均为正整数， 或或或 小明共有4种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 9. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点C的位置对x分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算求出函数解析式，再判断即可． 【详解】解：由题意可知：当点C到点E时，；当点A到点E时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角梯形，设与交于点H， ∵，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向下的抛物线； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角三角形，设与交于点H， ∵ ，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向上的抛物线． 综上所述，只有选项A，当时，对应的函数图象是开口向下的抛物线；当时，对应的函数图象是开口向上的抛物线，选项A符合题意． 10. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1； ④若点，，均在二次函数图象上，则； ⑤（m为任意实数）． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断． 【详解】解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为， ∴当x=1时，， 故结论①正确； 根据函数图像可知， 当，即， 对称轴为，即， 根据抛物线开口向上，得， ∴， ∴， 即， 故结论②正确； 根据抛物线与x轴的一个交点为， 对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)， ∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1， 故结论③正确； 根据函数图像可知：， 故结论④错误； 当时，， ∴当时，， 即， 故结论⑤错误， 综上：①②③正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系． 二、填空题（共30分，每小题3分） 11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确理解科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 13. 如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可） 【答案】或或（只需写出一个条件即可，正确即得分） 【解析】 【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可． 【详解】解：如图所所示， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD． ∴∠BAC=∠EAD． （1）当∠B=∠E时， （2）当∠C=∠D时， （3）当AB=AE时， 故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键． 14. 圆锥的底面半径为6cm，它的侧面展开图扇形的圆心角为240°，则该圆锥的母线长为______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长为：2π×6=12π（cm）； ∴圆锥侧面展开图的弧长为12π cm， 设圆锥的母线长为R cm， ∴， 解得R=9． 故答案为：9． 【点睛】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，及弧长公式． 15. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有3个整数解， ∴这3个整数解为，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，正确得出关于m的不等式组是解题的关键． 16. 已知，是一元二次方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出和的值，再将通分变形，代入求值． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ ，, ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ , ∴ ． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、平行四边形的性质、一次函数的应用、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，延长，交轴于点，连接，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式和反比例函数的解析式，联立可得点的坐标，然后根据平行四边形的对角线互相平分可得点的坐标，最后利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，延长，交轴于点，连接，交于点， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 联立，解得或， ∴， 设点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点， ∴，解得， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，点D为边AC的中点，点P为边BC上任意一点，若将△CDP沿DP折叠得△EDP，若点E在△ABC的中位线上，则CP的长度为 __________________． 【答案】2或8﹣2 【解析】 【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点只能落DM和MN上，分别画出图像，利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：①如图，设BC边中点为M，连接DM， 当E在DM上时， 由折叠可知，CP＝PE，∠C＝∠DEP， ∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°， ∴AB＝15，CM＝BC， ∴CD＝6， ∴DM＝，DE＝6， ∴EM＝， 在Rt△PEM中，PM2＝PE2+EM2， ∴（﹣CP）2＝CP2+（）2， ∴CP＝2； ②如图，设AB边的中点为N，连接DN， 当E点落在DN上时， ∵BC＝9，AC＝12，∠C＝90°， ∴CD＝6，DN＝， 由折叠可知，DE＝CD，∠C＝∠DEP＝90°， ∵DE∥CB， ∴∠CDE＝90°， ∴四边形CDEP是矩形， ∵DE＝CD， ∴四边形DCPE是正方形， ∴CP＝CD＝6，此时点落在的延长线上（不符合，舍去） ③如图，设BC、AB中点分别为M、N，连接MN、DN， 当E点落在MN上时， 由折叠可知，DE＝CD，CP＝PE，∠C＝∠DEP＝90°， ∵BC＝9，AC＝12， ∴CM＝，CD＝6，DN＝，MN＝6， 在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2， ∴62＝NE2+（）2， ∴NE＝， ∴EM＝6﹣， 在Rt△PEM中，PE2＝EM2+PM2， ∴CP2＝（﹣CP）2+（6﹣）2， ∴CP＝； 综上所述，CP的值为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键． 19. 如图，在三角形中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、最短距离问题，关键是线段的转换； 通过以为底边构造等腰直角三角形，将进行转换，得到一个以为边的三角形，进而得到两边和的最小值． 【详解】解：过点在下方作等腰直角，连接， ∵， ∴， ∴， 当三点共线，且时最小为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：的最小值是：． 故答案为： ． 20. 如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据待定系数法分别求出直线、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐标，得出规律，从而求得点Pn的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， 所以直线的解析式为， 解，求得， ∵， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴， 解求得， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴， ．．． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键． 三、解答题（60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分，然后进行减法计算，再将除法转化为乘法进行计算，然后根据特殊角三角函数值求出x，再将x代入化简后的分式即可． 【详解】解：， ， ， ， ； ∵， ∴原式＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟悉因式分解及分式的运算法则是解题的关键． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， （1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求在旋转过程中所扫过的面积（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所求， 点的坐标为； （2） 如图，即为所求； 点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、扇形面积，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由勾股定理得，， 在旋转过程中所扫过的面积为． 23. 如图，在中，，是的平分线． （1）尺规作图：作，圆心O在线段上，且经过A，D两点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2）的半径为6． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作圆，相似三角形的判定和性质． （1）作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接，通过等边对等角和角平分线的定义可得出，从而有，证明，利用相似三角形的性质列式求得即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的半径为6． 24. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．） （1）求灯杆AB的高度； （2）求CD的长度． 【答案】（1）12m；（2）25.6m 【解析】 【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可； （2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD． 【详解】解：（1）延长BA交CG于点E， 则BE⊥CG， 在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m， ∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC•cosα=12×=（m）， 在Rt△BCE中，∠BCE=60°， ∴BE=CE•tan∠BCE==18（m）， ∴AB=BE-AE=18-6=12（m）； （2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°， ∴DE=≈36（m）， ∴CD=DE-CE=≈25.6（m）． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键． 25. 如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． （1）求证：是的切线； （2）为边上的中线，若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线，A是切点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答； （2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ 设的半径为r， 则，， ∴， ∴， 解得 ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ， ∵为边上的中线， ， ∴， 即的值是． 26. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度为　 　米/分，点M的坐标为　 　； （2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 【答案】（1）240，（6，1200）；（2）y=﹣240x+2640；（3）经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等． 【解析】 【分析】(1)根据函数图象得出AB两地的距离,由行程问题的数量关系由路程时间=速度就可以求出结论; (2)先由行程问题的数量关系求出M、N的坐标,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由待定系数法就可以求出结论; (3) 设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，可得乙的速度：1200÷20=60（米/分），分别分①当0＜x≤3时②当3＜x＜﹣1时③当＜x≤6时④当x=6时⑤当x＞6时5种情况讨论可得经过多长时间两人距C地的路程相等. 【详解】（1）由题意得：甲的骑行速度为： =240（米/分）， 240×（11﹣1）÷2=1200（米）， 则点M的坐标为（6，1200）， 故答案为240，（6，1200）； （2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0）， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640； 即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=﹣240x+2640； （3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等， 乙的速度：1200÷20=60（米/分）， 如图1所示：∵AB=1200，AC=1020， ∴BC=1200﹣1020=180， 分5种情况： ①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x， x=＞3， 此种情况不符合题意； ②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间， ∴1020﹣240x=60x﹣180， x=4， ③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间， ∴240x﹣1020=60x﹣180， x=＜， 此种情况不符合题意； ④当x=6时，甲到B地，距离C地180米， 乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米）， 即x=6时两人距C地的路程相等， ⑤当x＞6时，甲在返回途中， 当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6， 此种情况不符合题意， 当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180， x=8， 综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等． 【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用,一次函数与二元一次方程组的关系的运用,行程问题的数量关系的运用,注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用.. 27. 综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4． （4）求证：． 【答案】（1）45，，； （2）； （3）； （4）证明：如图：将顺时针旋转，连接， 由（2）中的结论可证 根据旋转的性质可得：， 在中有 【解析】 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形； （2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论； （3）证明即可得出结论； （4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形 ， 为等腰三角形 （2）如图：将顺时针旋转， 由旋转的性质可得：， 由（1）中结论可得 为正方形， 在和中 （3）为正方形对角线 ， ， （4）略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，能够综合运用这些性质是解题关键． 28. 如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形． 　　 （1）求抛物线的解析式； （2）当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或（3，-3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）求出直线BC解析式，通过△EGF为等腰直角三角形表示出G点坐标，将G点代入BC解析式即可求得m的值，从而求得G点坐标； （3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC是直角三角形时，当△BCG为直角三角形时，当△CBG为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m的值，即可求得G点坐标． 【小问1详解】 将点A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直线对称轴，可得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵A（0，-4），D， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∵轴交抛物线于点B， ∴B（4，-4）， 设直线BC解析式为y=kx+b′， 将B（4，-4），C（6，0）代入解析式得， ，解得， ∴直线BC解析式为y=2x-12， 由题意可得，△ADB为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形EGFH为正方形， ∴△EGF为等腰直角三角形， ∴， 点G随着E点运动到达上时，满足直线BC解析式y=2x-12， ∴， ∴，此时； 【小问3详解】 B（4，-4），C（6，0），， ∴,，, 要使以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形， 需满足： 当△BGC是直角三角形时，， ， 解得，，， 此时G或（3，-3）； 当△BCG为直角三角形时，， ， 解得，， 此时G； 当△CBG为直角三角形时，， ， 解得，， 此时G； 综上所述：点G坐标为或（3，-3）或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $