第二十五章 图形的相似 巩固训练 2025-2026学年冀教版九年级数学上册

第二十五章 图形的相似 一、单选题 1．若，相似比为：，则与的周长的比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'，连接BB'、CC'，则BB'：CC'等于（　　） A．AB：AC B．BC：AC C．AB：BC D．AC：AB 3．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 4．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（　　） A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s 5．如图， 点是平行四边形内部一点， 过分别作和的平行线交平行四边 形的四边于． 连结分别交于和． 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍． 下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①；②；③；④；⑤；⑥．在②～⑥中与①相似的三角形的序号是（    ）． A．②③⑤ B．③④⑤ C．②④⑤⑥ D．③④⑤⑥ 8．如图，在矩形中，点、分别在边、上，， ，，，则的长是（ ） A．12 B．15 C． D． 二、填空题 9．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是 ． 10．若，，的周长为，则的周长为 ． 11．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 12．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2 cm，则线段BC＝ cm. 13．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，CD＝6，如果△ADC与△CDB相似，则BD的长度为 ．    三、解答题 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出缩小后的图形． (3)填空：直接写出点的坐标_____；与的周长比是_____；与的面积比是_____． 15．如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线交于点M，，． (1)求证：； (2)当时，求的值． 16．如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 17．如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 18．如图，在矩形中，，点P是边上一动点（不含端点），连接，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)设，若存在唯一点P，使，求a的值． 19．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G． （1）求证：AB=BG； （2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， 与的周长的比为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键． 2．A 【分析】利用旋转的性质得∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC，则可判断△ABB′∽△ACC′，然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断． 【详解】解：∵△ABC绕点A旋转任意角度得到△AB'C'， ∴∠B′AB=∠C′AC，AB′=AB，AC′=AC， ∴△ABB′∽△ACC′， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3．A 【分析】分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2； ②三角形的三边的长度为：，2，； ③三角形的三边的长度为：，3，； ④三角形的三边的长度为：，，3； ∵， ∴相似三角形的是①和②， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．A 【分析】分当△ADE∽△ABC时和当△ADE∽△ACB时两种情况，利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴ 当△ADE∽△ABC时， 即， 解得； 当△ADE∽△ACB时， 即， 解得； 综上所述，当运动时间是3s或4.8s时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似， 故选A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解． 5．D 【分析】设，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用已知条件求得，据此即可求解． 【详解】解：∵点是平行四边形内部一点， 过分别作和的平行线交平行四边形的四边于．四边形四边形， ∴四边形都是平行四边形，且相似， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， ∵四边形的面积是四边形的3倍． ∴， ∴， ∴、、都不成立， 成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6．B 【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可推导得出AC2=AD•AB，由此即可解决问题． 【详解】解：∵AD＝2，BD＝6， ∴BA＝8， ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2=AD•AB=2×8=16， ∵AC>0， ∴AC=4， 故选B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 7．B 【分析】网格的边长为1，则三角形①的三边之比是AB：AC：BC＝1：：，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就与①相似． 【详解】解：①的三边之比是AB：AC：BC＝1：：， ②中CD：BC：BD＝1：：2， ③△DEB中DE：BD：BE＝2：2：＝1：：， ④△FBG中，FB：FG：BG＝：：5＝1：：， ⑤△HGF中，HG：HF：FG＝：2：＝1：：， ⑥△EKF中，EK：EF：FK＝：：3， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选：B. 【点睛】此题考查了勾股定理、相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 8．C 【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出的长后利用勾股定理求解． 9． 【分析】根据相似三角形的性质，即相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比. 【详解】解：∵两三角形相似，且对应边比为2:3， ∴相似比k=2:3 ∴它们对应中线的比为2:3. 故答案为：2：3. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应中线的比等于相似比的性质. 10． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比等于相似比即可求解，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 11．/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点E是的黄金分割点，， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：． 12．6 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得AB：BC=AD：DE，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴AB：BC=AD：DE， 即2：BC=2：6， ∴BC=6cm． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 13．4或9 【分析】分类讨论，分或两种情形，根据题意，列出比例式计算可得 【详解】， ， 要使得△ADC与△CDB相似， 则或者， ①当时， ， ， ， ②当时， ， ， ， 综合①②:4或9 故答案为：4或9 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 14．(1)见解析 (2)见解析 (3)，， 【分析】（1）分别作出点关于轴对称的，再顺次连接即可； （2）将的横纵坐标都除以得到点的坐标，再描点连接即可； （3）根据坐标系直接得到点的坐标，再根据位似图形的周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可得， ∵与是关于原点位似，位似比为， ∴与的周长比是；与的面积比是， 故答案为：，，． 15．(1)详见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，由进一步得，即可证明； （2）先求出．由得到，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ． （2）解：，， ． ， ， ， ． 16．， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 17．(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)当时，存在唯一点P使 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键． （1）先证明，再由四边形是矩形，得出，从而得出，再证明，最后证得结果； （2）由（1）的，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式，构建方程解决问题． 【详解】（1）证明：， ． 又∵四边形是矩形， ． ． ． ． （2）解：， ， 即． 设，则． ， 即． ∵存在唯一点P使， ．即， 解得． 19．（1）证明见解析；（2）当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似． 【详解】试题分析：（1）利用平行分线段成比例定理得出，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案； （2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案． 试题解析：（1）证明：∵BF∥DE， ∴， ∵AD=BD， ∴AC=CG，AE=EF， 在△ABC和△GBC中： ， ∴△ABC≌△GBC（SAS）， ∴AB=BG； （2）当BP长为或时，△BCP与△BCD相似； ∵AC=3，BC=4， ∴AB=5， ∴CD=2.5， ∴∠DCB=∠DBC， ∵DE∥BF， ∴∠DCB=∠CBP， ∴∠DBC=∠CBP， 第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1： 在△BCP与△BCD中 ， ∴△BCP≌△BCD（AAS）， ∴BP=CD=2.5； 第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2： ∵∠CBD=∠CBP， ∴△BPC∽△BCD， ∵CH⊥BG， ∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH， ∴△ABC∽△CBH， ∴， ∴BH=，BP=． 综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $