第二十五章 图形的相似（单元测试·基础卷）数学冀教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北唐山·三模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，若在线段上存在一点，使得与是位似图形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D．或 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，为边上一点，，过点作，垂足分别为，则（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025·河北石家庄·二模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 14．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当 s时，的面积是； （2）当 s时，以、，为顶点的三角形与相似． 16．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在矩形中，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 18．（8分）（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 20．（8分）（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． (1)当点P恰好为中点时， mm． (2)若矩形的周长为220mm，求出的长度． 21．（9分）（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 22．（9分）（2025·河北保定·一模）探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 23．（11分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 24．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点． 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕．    （1）嘉嘉的思路是先证明，再证明，就可以证明M是边的三等分点，请你按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇猜想点G即为边的三等分点． （2）①利用尺规作图补全图形． ②淇淇的猜想______（填“正确”或“不正确”） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河北唐山·三模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，若在线段上存在一点，使得与是位似图形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D．或 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，为边上一点，，过点作，垂足分别为，则（　　） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025·河北石家庄·二模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 14．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为 ． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当 s时，的面积是； （2）当 s时，以、，为顶点的三角形与相似． 16．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在矩形中，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 18．（8分）（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 20．（8分）（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． (1)当点P恰好为中点时， mm． (2)若矩形的周长为220mm，求出的长度． 21．（9分）（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 22．（9分）（2025·河北保定·一模）探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 23．（11分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 24．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点． 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕．    （1）嘉嘉的思路是先证明，再证明，就可以证明M是边的三等分点，请你按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇猜想点G即为边的三等分点． （2）①利用尺规作图补全图形． ②淇淇的猜想______（填“正确”或“不正确”） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了线段成比例．如果四个数、、、满足，那么这四个数就称为成比例的数，记作 或者或者；因此判断四条线段是否成比例，需验证是否存在两对线段的乘积相等即可，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，故错误； B、，故错误； C、，故错误； D、，故正确． 故选D． 2．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图所示，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项A正确，符合题意，选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：A 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在中，点在边上，过点作，交于点．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C ． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，已知直线，若，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确列出比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，则，然后代入求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 8．（2025·河北唐山·三模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由网格知，即可得，即可得到，再由勾股定理解三角形确定，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 9．（2025·河北邯郸·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，若在线段上存在一点，使得与是位似图形，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形的含义与性质，根据位似图形的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图， ∵与是位似图形， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴； ∴的横坐标为； 故选：A 10．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，为边上一点，，过点作，垂足分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．通过证明，可得． 【详解】解： 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 故选：A． 11．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．借助正方形的性质和已知条件，易证，故结论①正确；利用①可得，故结论③正确；且可得，可证得，故结论④正确；而，所以结论⑤不正确；根据相似三角形的性质得到，可判断②错误． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为中点，， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，即，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，结论④正确； ∵，， ∴， ∴和不相似，结论⑤不正确． ∵，，和不相似，， ∴，，， ∴， ∴，故②错误， 综上可知正确的结论为：①③④，共计3个． 故选：C． 12．（2025·河北石家庄·二模）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：2． 14．（2025·河北邯郸·三模）如图，在中，，点分别在边上，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，且使折叠后的四边形面积为面积的2倍，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，根据折叠可得，．根据，得出．证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠使点落在边上的点处， ∴（折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分），（折叠前后两部分图形全等）． ∵， ． 在 和中，∵，， ∴， ， 即， 解得：（负值已舍去）． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图所示，在中，，，，点从开始沿边向点以的速度移动；点从开始沿边向点以的速度移动，如果同时出发，用表示时间（）． （1）当 s时，的面积是； （2）当 s时，以、，为顶点的三角形与相似． 【答案】 2或4 3或 【分析】（1）根据题意，，结合动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为，则，，，根据面积公式解答即可． （2）分和两种情况解答． 本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，相似三角形，解题的关键是掌握这些知识点． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵动点P的速度为，动点Q的速度为，设运动时间为， ∴，，， 故， 整理，得， 解得或， 故或, 故答案为：2或4． （2）当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 故答案为：3或． 16．（24-25九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在矩形中，，为边的中点，连接，，点，分别是，边上的两个动点，连接，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题关键在于利用矩形性质、勾股定理确定，得出，再对以为腰的两种情况（、），结合相似三角形判定与性质，通过设未知数、列比例式求解 ，核心是分类讨论等腰三角形腰的情况，借助相似关系转化边长计算． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ， ， 由折叠可知，， 当时，， ， ， ， 即，解得， ； 当时，， ， ， 又， ， ，即，解得， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设． （1）代入计算即可； （2）构建方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， ； （2）解：， ， ， ，， 18．（8分）（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 20．（8分）（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点． (1)当点P恰好为中点时， mm． (2)若矩形的周长为220mm，求出的长度． 【答案】(1)60 (2)20 【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到； 对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长． 【详解】（1）解：∵P为中点，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：60； （2）解：∵四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴. ∵矩形的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 21．（9分）（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴． 22．（9分）（2025·河北保定·一模）探究发现：多出来一块巧克力 现有一块的巧克力板，每小块巧克力是边长为1的正方形，海燕先从两边端点处斜向切开，再从点处向下切开（如图1），与交于点，把巧克力分成三块（如图2），再将这三块重新组合起来（如图3），海燕惊喜地发现巧克力居然多出一块．于是海燕猜想按照这样不停地操作下去，就有吃不完的巧克力了． (1)海燕猜想是否正确； (2)请借助图4，求出长度，并说明多出一块巧克力的理由． 【答案】(1)不正确 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查图形的变化，相似三角形的判定和性质的运用，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据图示可得，宽度不变，长度减少了，由此即可求解； （2）根据题意可证，则，，根据面积关系即可求解． 【详解】（1）解：海燕猜想不正确，宽度不变，长度减少了； （2）解：如图所示， ， ， ， ， ， 多出一块巧克力． 23．（11分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（12分）（2025·河北邯郸·模拟预测）【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点． 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕．    （1）嘉嘉的思路是先证明，再证明，就可以证明M是边的三等分点，请你按照嘉嘉的证明思路写出证明过程． 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇猜想点G即为边的三等分点． （2）①利用尺规作图补全图形． ②淇淇的猜想______（填“正确”或“不正确”） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②正确 【分析】（1）根据折叠可知，根据得出，从而，根据得出，从而，从而得出M是的三等分点； （2）①分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长EF，交于点G； ②连接CG，可证得，从而，设，，则，，，根据勾股定理得出，从而得出，求得，进而得出结果． 【详解】（1）证明：由折叠可知，， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 由折叠知，， ， ∴， ， ， 即M是的三等分点； （2）解：①如图，    分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长，交于点G； ②淇淇猜想是正确的，理由如下： 连接， ，，， ∴， ， ，，， ，， ， ∴ ， 设，，则，，， ， ， ， ， ，故淇淇的猜想是正确的， 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D A A C C C D A A C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．2 14． 15． 2或4 3或 16． 或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设． （1）代入计算即可； （2）构建方程求出的值即可． 【详解】（1）解：设， 则， ；····································3分 （2）解：， ， ，···································4分 ，，···································7分 18．（8分） 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵， ，···································2分 ，···································4分 ， ，···································6分 ．···································8分 19．（8分） 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； ···································2分 （2）根据坐标系可得)，)；···································4分 （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：．···································8分 20．（8分） 【答案】(1)60 (2)20 【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到； 对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长． 【详解】（1）解：∵P为中点，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：60；···································3分 （2）解：∵四边形为矩形， ∴. ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴. ∵矩形的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．···································8分 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 21． （9分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴．···································4分 （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴，···································6分 ∴ ，即 ， ∴．···································9分 22．（9分） 【答案】(1)不正确 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查图形的变化，相似三角形的判定和性质的运用，理解图示，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据图示可得，宽度不变，长度减少了，由此即可求解； （2）根据题意可证，则，，根据面积关系即可求解． 【详解】（1）解：海燕猜想不正确，宽度不变，长度减少了；···································4分 （2）解：如图所示， ， ， ，···································6分 ， ， 多出一块巧克力．···································9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：；···································3分 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴；···································6分 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，···································8分 ∵， ∴， ∴， ∴，···································10分 ∴．···································11分 24．（12分） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②正确 【分析】（1）根据折叠可知，根据得出，从而，根据得出，从而，从而得出M是的三等分点； （2）①分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长EF，交于点G； ②连接CG，可证得，从而，设，，则，，，根据勾股定理得出，从而得出，求得，进而得出结果． 【详解】（1）证明：由折叠可知，， 四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 由折叠知，， ， ∴， ， ， 即M是的三等分点；···································4分 （2）解：①如图，   ···································8分 分别以C和E为圆心，和为半径画弧，两弧交于点F，延长，交于点G； ②淇淇猜想是正确的，理由如下： 连接， ，，， ∴， ， ，，， ，， ， ∴ ，···································10分 设，，则，，， ， ， ， ， ，故淇淇的猜想是正确的，···································12分 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $