第二十五章 图形的相似（单元测试·提升卷）数学冀教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形 3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在的网格中，点A、B在格点处，线段与竖格线交于点C，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北唐山·三模）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（   ） A．3 B．2 C．4 D．23 6．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A与直尺的0刻度重合且在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2025·河北唐山·二模）如图，梯形中，，，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A．6 B．5 C．8 D．4 10．（2025·河南开封·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）为研究黄帝文化，某数学小组来到黄台山公园，设计用手电筒来测量轩辕阁的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到轩辕阁顶端处，已知，，测得米，米，米，那么轩辕阁的高度约为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．（2025·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 14．（24-25九年级上·河北承德·期中）如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为 ． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某单位现有一块形状为三角形的建筑用地，其中．现该单位要求施工方将扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地）、要求原来位于A、B，C三个顶点的三棵树在正方形的边上，如图是施工方设计的一种方案，则扩建后的正方形用地的边长为 ． 16．（2024·河北张家口·模拟预测）如图， 在中， ，，为边的高， 点A在x轴上， 点B在y轴上， 点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点 B随之沿y轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动连接，线段的长随t的变化而变化，当 最大时， ．当的边与坐标轴平行时， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，已知直线，若，，，则的长为多少？ 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 19．（8分）（24-25九年级上·河北保定·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 20．（8分）（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 21．（9分）（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 22．（9分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当P点在上运动时，t为何值时的面积为7？ (3)当与的一边平行时，求t的值． 23．（11分）（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 24．（12分）（24-25九年级上·河北沧州·期末）在中，，，P是线段延长线上的一个动点，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图，当时． ①与_________相似，； ②求证：； ③已知，，求与之间的数量关系； (2)当时，若，，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形 3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在的网格中，点A、B在格点处，线段与竖格线交于点C，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北唐山·三模）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（   ） A．3 B．2 C．4 D．23 6．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A与直尺的0刻度重合且在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2025·河北唐山·二模）如图，梯形中，，，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A．6 B．5 C．8 D．4 10．（2025·河南开封·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）为研究黄帝文化，某数学小组来到黄台山公园，设计用手电筒来测量轩辕阁的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到轩辕阁顶端处，已知，，测得米，米，米，那么轩辕阁的高度约为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．（2025·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 14．（24-25九年级上·河北承德·期中）如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为 ． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某单位现有一块形状为三角形的建筑用地，其中．现该单位要求施工方将扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地）、要求原来位于A、B，C三个顶点的三棵树在正方形的边上，如图是施工方设计的一种方案，则扩建后的正方形用地的边长为 ． 16．（2024·河北张家口·模拟预测）如图， 在中， ，，为边的高， 点A在x轴上， 点B在y轴上， 点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点 B随之沿y轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动连接，线段的长随t的变化而变化，当 最大时， ．当的边与坐标轴平行时， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，已知直线，若，，，则的长为多少？ 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 19．（8分）（24-25九年级上·河北保定·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 20．（8分）（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 21．（9分）（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习习）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 22．（9分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当P点在上运动时，t为何值时的面积为7？ (3)当与的一边平行时，求t的值． 23．（11分）（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 24．（12分）（24-25九年级上·河北沧州·期末）在中，，，P是线段延长线上的一个动点，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图，当时． ①与_________相似，； ②求证：； ③已知，，求与之间的数量关系； (2)当时，若，，请直接写出的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可． 本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时除以， 得， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级下·河北唐山·开学考试）下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形； B．菱形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形； D．等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握相似图形的定义和特点． 根据相似图形的三条特点①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况，结合选项即可判断出答案． 【详解】解：A、矩形的四个角都为直角，但邻边的比值不一定相等，只有邻边比值相等的矩形才相似，所以矩形不都是相似图形，故本选项错误，不符合题意； B、菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，故本选项错误，不符合题意； C、菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，故本选项错误，不符合题意； D、等边三角形都是相似三角形，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）在的网格中，点A、B在格点处，线段与竖格线交于点C，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，根据“相似三角形对应边成比例”即可得解． 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， 又， ． ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 5．（2025·河北唐山·三模）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为18．阴影部分三角形的面积为8．若，则等于（   ） A．3 B．2 C．4 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定及性质；由平移的性质得，，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用平移的性质，相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，交于，交于， 由平移得：，， ， ， ， ， 解得：， 故选：C． 6．（2025·河北张家口·模拟预测）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A与直尺的0刻度重合且在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，数轴与实数．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 在数轴上数8对应的点为，在直尺上刻度3对应的点为点，刻度5对应的点为点，如图，先证明，然后利用相似三角形的性质求出，从而得到点在数轴上表示的数． 【详解】解：在数轴上数8对应的点为，在直尺上刻度3对应的点为点，刻度5对应的点为点，如图， ， △△， ， 即， 解得， 点在数轴上表示的数是4． 故选：C． 7．（2025·河北唐山·二模）如图，梯形中，，，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，由勾股定理可得，再证明即可得到． 【详解】解：在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可． 【详解】解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，由四边形是平行四边形，得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点, ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴，， ∴， 解得： 故选: A． 10．（2025·河南开封·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）为研究黄帝文化，某数学小组来到黄台山公园，设计用手电筒来测量轩辕阁的高度，如图，点处放一水平的平面镜．光线从点出发经平面镜反射后刚好射到轩辕阁顶端处，已知，，测得米，米，米，那么轩辕阁的高度约为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答，解题的关键是掌握相似的三角形的判定与性质． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 12．（2025·河北邯郸·三模）在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（    ） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：①当时，过点作于，则，设，则，，由勾股定理得：，证，得，即，由此解出即可；②当时，则，则，由勾股定理求出，证，得，即，由此求出即可． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 【答案】 【分析】利用网格构建，利用平行线分线段成比例得到，由此可解．本题考查平行线分线段成比例定理，利用格点构造等比例线段是解题的关键． 【详解】解：如图，利用网格构建， ∴ ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河北承德·期中）如图，在中，点E是边上的点，点F是边上的点，且，，点D是中点，若的面积为32，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据，可得到，再由，可证得，从而得到，可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是中点， ∴． 故答案为：9． 15．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某单位现有一块形状为三角形的建筑用地，其中．现该单位要求施工方将扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地）、要求原来位于A、B，C三个顶点的三棵树在正方形的边上，如图是施工方设计的一种方案，则扩建后的正方形用地的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出两个相似三角形是解题关键．先利用勾股定理求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则扩建后的正方形用地的边长为， 故答案为：． 16．（2024·河北张家口·模拟预测）如图， 在中， ，，为边的高， 点A在x轴上， 点B在y轴上， 点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点 B随之沿y轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动连接，线段的长随t的变化而变化，当 最大时， ．当的边与坐标轴平行时， ． 【答案】   和   【详解】本题主要考查了三角形顶点在坐标轴上滑动．熟练掌握等腰三角形性质，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． ①由等腰三角形的性质可得 ，从而可求出，然后根据当O，D，C共线时， 取最大值，是等腰直角三角形，求出即可； ②根据等腰三角形的性质求出，分轴、，轴，两种情况，列式计算即可． 【题目详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 当O，D，C共线时，取最大值， 此时 ． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ∵， 为边的高， ∴，， ∴， 当轴时，， ∴， ∴， 即 ， 解得，； 当轴时，， ∴， ∴， 即 ， 解得，， 则当 或 时，的边与坐标轴平行． 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，已知直线，若，，，则的长为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， ． 18．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． (1)求证：； (2)若，求BD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， 又， ； （2）解：∵， ∴，即， ． 19．（24-25九年级上·河北保定·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ． 20．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键． （1）连接，，，相交于点P，则点P即为所求． （2）由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    （2）解：由图可得，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， ， 故答案为：；；； （3）解：如图，即为所求． 21．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，．点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动，在上以每秒4个单位长度的速度运动，点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，P、Q两点同时出发，当一点到达端点另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)线段的长 ．（用含t的代数式表示） (2)当P点在上运动时，t为何值时的面积为7？ (3)当与的一边平行时，求t的值． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3)或 【分析】（1）首先求出点P到达点B的时间为（秒），点Q到达点C的时间为（秒），然后根据题意分两种情况分别列式即可； （2）首先表示出，然后根据的面积为7列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，然后分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒） ∵，， ∴ ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动 ∴点Q到达点C的时间为（秒） ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P到达点A的时间为（秒） ∴当时，； 当时，； （2）∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动 ∴ ∴ ∵当P点在上运动时，，的面积为7 ∴，即 ∴（舍去）或 ∴当时，的面积为7． （3）如图所示，当时，即点P点在上运动时，当时 ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P点在上运动时，当时 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程和几何动点问题，勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，构建方程解决问题． 23．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸  解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 24．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在中，，，P是线段延长线上的一个动点，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，． (1)如图，当时． ①与_________相似，； ②求证：； ③已知，，求与之间的数量关系； (2)当时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)①， ②证明见解析 ③ (2) 或 【分析】（1）①证明，得到即可； ②根据，结合，证明； ③根据，列出比例式求解即可； （2）根据时，，均为等腰三角形，推出，根据角的和差关系，推出，证明，列出比例式出，求出的长即可求出的长度，因此只需要在中求出即可． 【详解】（1）解：①，， ∴， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ②由①知：，， ∴，， ∴， ∴， ③∵，，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，由题可知：， 因此如图1、图2所示，过B点作交延长线于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图1： ， 此时：， ∴此时：； 如图2： 此时：， ∴此时：； ∴的长为：或者． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识．正确应用相似三角形的判定及性质是解题的关键，特别要注意两个三角形相似时的对应关系． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 图形的相似·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D B D C C C C A A A C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14．9 15． 16．   和   三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ，，，， ，···································2分 ，···································5分 ．···································7分 18．（8分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， 又， ；···································4分 （2）解：∵， ∴，即， ．···································8分 19．（8分） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ．···································3分 又，···································6分 ．···································8分 20．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键． （1）连接，，，相交于点P，则点P即为所求． （2）由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；   ···································3分 （2）解：由图可得，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， ， 故答案为：；；；···································6分 （3）解：如图，即为所求．···································8分 21．（9分） 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ．···································2分 ，，， ． ， ， ．···································4分 ，，， ， ， ， ，···································6分 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解，···································8分 答：飞虹塔的高度为米． 22．（9分） 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3)或 【分析】（1）首先求出点P到达点B的时间为（秒），点Q到达点C的时间为（秒），然后根据题意分两种情况分别列式即可； （2）首先表示出，然后根据的面积为7列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，然后分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，点P从点C出发，沿折线向终点A运动，在上以每秒3个单位长度的速度运动， ∴点P到达点B的时间为（秒） ∵，， ∴ ∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动 ∴点Q到达点C的时间为（秒） ∵在上以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P到达点A的时间为（秒） ∴当时，； 当时，；···································2分 （2）∵点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动 ∴ ∴ ∵当P点在上运动时，，的面积为7 ∴，即 ∴（舍去）或 ∴当时，的面积为7．···································4分 （3）如图所示，当时，即点P点在上运动时，当时 ∴ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，即点P点在上运动时，当时 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当与的一边平行时，或．···································9分 【点睛】本题综合考查了一元二次方程和几何动点问题，勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，构建方程解决问题． 23． （11分） 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形．···································5分 （2）解：作图如图． 拓展延伸  解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ，···································10分 矩形也是黄金矩形．···································11分 24．（12分） 【答案】(1)①， ②证明见解析 ③ (2) 或 【分析】（1）①证明，得到即可； ②根据，结合，证明； ③根据，列出比例式求解即可； （2）根据时，，均为等腰三角形，推出，根据角的和差关系，推出，证明，列出比例式出，求出的长即可求出的长度，因此只需要在中求出即可． 【详解】（1）解：①，， ∴， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，；···································2分 ②由①知：，， ∴，， ∴， ∴，···································4分 ③∵，，， ∴；···································6分 （2）∵，， ∴，， ∵将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，由题可知：， 因此如图1、图2所示，过B点作交延长线于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图1： ， 此时：， ∴此时：；···································9分 如图2： 此时：， ∴此时：； ∴的长为：或者．···································12分 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识．正确应用相似三角形的判定及性质是解题的关键，特别要注意两个三角形相似时的对应关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $