湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2026届高三上学期月考（四）数学试题

湖南师大附中2026届高三月考试卷（四） 数  学 时量：120分钟 满分：150分 得分：______________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，，，则（ ） A. ，   B. ，，， C. ，，，，   D. 2.已知复数，是方程的两个虚根，则（ ） A.4   B.2 C.0   D. 3.已知，为正实数，且，则的最小值为（ ） A.12   B.16   C.18   D.20 4.某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条.学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为（ ） A.36   B.72   C.108   D.216 5.已知下列各图的正方体中，，，，分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（ ） 6.已知，为直线与圆的交点，为圆心，若是一个面积为的钝角三角形，则实数的值为（ ） A.    B.    C.    D. 7. 已知斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当时，的面积为（ ） A.16　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ） A. 　　　　　　　　 B. C. 　　　　　　　 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点分别为B，C，D，且，，则下列说法正确的有（ ） A. 　　　　　 B. C. 　　　　　 D. 点C的坐标是 11. 已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则（ ） A. B. 在处取得极小值 C. 存在唯一的实数使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则当时，数列的前项和最小。 13. 已知，，则。 14. 同时抛掷两枚质地相同的正六面体骰子，将朝上的点数之积记为，在平面直角坐标系中，动点的初始位置为原点，并按以下规则移动： （1）如果为的倍数，则点向左平移一个单位； （2）如果除以的余数为，则点向下平移一个单位； （3）如果除以的余数为，则点向右平移一个单位； （4）如果除以的余数为，则点向上平移一个单位。 则两个骰子同时抛掷次后，点位于的概率为。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 某校100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，。 （1）求图中的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生成绩的平均分和第80百分位数； （3）从成绩区间是：，的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组恰好抽到1人的概率。 16.（本小题满分15分） 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点在椭圆上。 （1）求椭圆的方程； （2）设过点的一条直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值。 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形。是边的中点，平面，。 （1）在直线上是否存在一点，使得直线平面？ （2）若平面平面。 ①求证：； ②求二面角的平面角的余弦值。 18.（本小题满分17分） 设数列的前项和为，已知。 （1）求的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项，若不存在，请说明理由； （3）已知函数，其中表示不超过的最大整数，设，数列的前项和为，求除以的余数。 19.（本小题满分17分） 已知函数. （1）判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； （2）若函数在区间上恒成立，求正整数的最小值； （3）求证：，. 湖南师大附中2026届高三月考试卷（四） 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B A B D C D AC BD BCD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B 【解析】，，，所以，，，，，，，. 2.A 【解析】因为，则，解得，，即，故. 3.B 【解析】由题意，，为正数，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 4.A 【解析】每条路线安排一男一女，故总的分配方案种数为. 5.B 【解析】对于A选项，连接，，，如图1所示，在正方体中，因为，分别为，的中点，所以，同理可证，由图可知，，为异面直线，因为，，故四边形为平行四边形，故，则，因为四边形为正方形，所以，故，A不满足要求； 对于B选项，连接，，，，如图2所示，由图可知，直线，为异面直线，因为，分别为，的中点，所以，同理可得，因为，，故四边形为平行四边形，故，所以，异面直线，所成角等于或其补角，在正方体中，易知为等边三角形，故，故异面直线，所成角为，B满足要求； 对于C选项，连接，，，如图3所示，在正方体中，，，因为，分别为，的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为，分别为，的中点，所以，故，所以，共面，C不满足要求； 对于D选项，在正方体中，取棱的中点，连接，，，如图4所示，由图可知，直线，为异面直线，因为，分别为，的中点，所以，同理可证，故，故异面直线，所成角为或其补角，因为，，，分别为，的中点，所以，，故四边形为平行四边形，所以，，因为平面，故平面，因为平面，故，不妨设正方体的棱长为2，则，，所以，故，D不满足要求. 6.D 【解析】圆化成标准方程为，则圆心，半径，圆心到直线的距离，由，又为钝角三角形，所以，则，故，综上，，可得，则。 7.C 【解析】设直线的方程为：，设，两点的坐标分别为，，联立消得：，，，由，得， ，，则（舍）， 直线的方程为：，， 原点到直线的距离，。 8.D 【解析】由可得，，同理由，可得， 设，易知，代入上式可得，，则， 令，则，易知为增函数，， 当时，，当时，，即当时，取最小值。即的最小值为。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9.AC 【解析】对于，令，则，故正确； 对于，，令，则，令，则， 所以，。故错误，正确； 对于，由两边同时求导， 得，令，则，故错误。 10.BD 【解析】因为，，所以相邻两对称轴间的距离为，即最小正周期，所以，又因为点在的图象上，所以，即，结合图象可知，，所以，，又，所以。由图可知点的横坐标为，故，所以，解得。 11.BCD 【解析】设，则， 可得在区间上单调递减，在上单调递增， 故，即，得，故选项不正确； 可设，可得，所以，，所以， 所以，，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，故选项正确； 又因为，，结合图象知，存在唯一的实数使得，故正确； 由于，而，， 所以，故选项正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 【解析】令，得，当时，，当时，，综上所述：数列的前项和最小当且仅当。 13. 【解析】由题知当时，函数取得最大值。函数，其中，。函数在处取得最大值，则有，且，解得，，所以。 14. 【解析】记点向左、向下、向右、向上移动的概率分别为，，，，则，，，，两个骰子同时抛掷次后，点位于的情况有种：两次向右，一次向左，一次向上；两次向上，一次向下，一次向右。故所求概率为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】（1）由，解得。 ……………………………………… 3分 （2）平均分为。 ………………………………………………… 6分 因为，， 所以以第百分位数在内，设第百分位数为， 则，解得。 ………………………………………………… 9分 （3）根据题意，成绩区间是：，的两组的人数分别为人，人， 按照分层抽样的方式抽取的人数分别为人，人。 所以在成绩区间是的这组恰好抽到人的概率。 ………………………………………………… 13分 16.【解析】（1）设椭圆的右焦点，则， 由点在椭圆上可得，解得， 所以椭圆的方程为。 ………………………………………………… 4分 （2）法一：由题意，直线的斜率显然不为，设直线的方程为，代入椭圆的方程， 则，其中，解得， ……………………………………… 6分 设，，则，， ……………………………………… 8分 ， …………………………… 11分 令，由得，， （当且仅当时，等号成立）， 所以面积的最大值为。 ………………………………………………… 15分 法二：由题意，直线的斜率一定存在，设的方程为，代入椭圆的方程， 则，其中，解得k^{2}\lt\frac{1}{4}， …………………………… 6分 设，，则，， ……………………………………… 8分 可得，点到直线的距离为， ， …… 11分 令，，令，， 在区间上递增，在上递减，所以时，， 所以面积的最大值为。 …… 15分 17.【解析】（1）存在，点是的中点。理由如下： 当点是的中点时，是三角形的中位线，…… 1分 所以，又平面，…… 2分 所以以平面。…… 3分 （2）①过作于，若与不重合， 平面平面，且两平面交线为， 平面，…… 4分 又在平面内， ，…… 5分 平面，在平面内， ，，为平面内两条相交直线，…… 6分 平面，又在平面内，…… 7分 ，矛盾。…… 8分 故与重合，平面，在平面内，所以。…… 9分 ②以为原点，过作的平行线为轴，以，所在的直线分别为，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，，，…… 11分 设平面的法向量为， 则，令，得。…… 12分 设平面的法向量为， 则，令，得。…… 13分 设二面角的平面角为，则，…… 14分 由图知二面角的平面角为钝角， 所以。…… 15分 18.【解析】（1）当时，，得； 当时，，，作差得， 即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以。 （2） 因为 ，，由题意知：， 所以 ．……………………………………………………………………………… 5分 假设在数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列， 则，即， 化简得：， 又因为，，成等差数列，所以， 所以，即， ………………………………………………………… 7分 又，所以， 即，所以，这与题设矛盾． 所以在数列中不存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列．………………………… 10分 （3）由（1）可知， 因为 ， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， …………………………………………………… 11分 所以 ， …………………………………………………… 13分 而， ……………………………… 15分 考虑到当时，能被16整除， 也能被16整除， 所以除以16的余数等于除以16的余数， 而， 所以除以16的余数等于10． ……………………………………………………………………………… 17分 19.【解析】（1）在区间上的零点个数为1，理由如下： ，当时，， 故在区间上单调递增，又因为， 故在区间上有且仅有1个零点．………………………………………………………… 4分 （2）当时，，于是， …………………………………………………… 6分 下面证明：在区间上恒成立． 令，，则， 由（1）可知在区间恒成立，于是在区间上单调递增， 所以， 综上，正整数的最小值为3． …………………………………………………………………………………… 10分 （3）先证明左边： 学科网（北京）股份有限公司 $