第17章 因式分解 单元测试·冲刺卷 2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷 第17章 因式分解 单元测试·冲刺卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B C A B D C 1．C 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 2．D 本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 解： ； 故选D 3．B 本题考查因式分解时公因式的确定，需注意系数符号和字母指数． 根据公因式的定义，取系数的最大公约数和相同字母的最低次幂． 解：∵系数、、12的最大公约数为3，考虑符号取， 字母m的最小指数为3，的最小指数为2， ∴公因式为， 故选：B． 4．C 此题考查了因式分解和多项式的乘法互为逆运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项系数，即可求出的值． ， 又可因式分解为， ． ． 故选：C． 5．B 本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． ， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 6．C 此题考查因式分解的应用，通过简化每个表达式，计算出 x、y、z 的具体数值，然后比较大小． x 通过提取公因数简化，y 利用平方差公式简化，z 通过完全平方公式简化． 解：∵ ， ， ∴， 故选：C． 7．A 将给定的因式分解展开，得到 ，与原表达式 对比，得出 ，从而或，即可得答案． 本题考查了因式分解，恒等式的性质，幂的意义，熟练掌握因式分解是解题的关键． 解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或， 故选：A． 8．B 本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 9．D 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可． ，则A不符合题意； ，则B不符合题意； 无法因式分解，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 10．C 本题考查了因式分解，涉及等腰三角形的判定，构成三角形的条件：将进行分组，再因式分解，即可判断；通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 解： ， ，故正确； 由得， ∴， 即 ∵，，是的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形．故正确； 由 得 ∴ ∴，，， ∵， ∴以，，作为三边不能构成三角形，故错误， 综上，正确的有，共2个． 故选：． 11． 本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取最低的． 根据公因式概念解答即可． 解：∵， ∴应提取的公因式是． 故答案为：． 12．2（答案不唯一） 此题主要考查了因式分解，正确得出等式是解题关键． 设，可得，从而得到，，即可求解． 解：设， ∴， ∴，， 当，时， ． 此时，能分解为两个一次因式的乘积． 故答案为：2（答案不唯一） 13． 本题考查了因式分解的应用．根据所给的图形直接求出大方形的面积，再利用6个小长方形的面积之和等于大长方形的面积即可得出答案． 解：大长方形的面积为：， 6个小长方形的面积之和为：； ∴． 故答案为：． 14．12 本题考查了代数式求值，分组分解法分解因式，把化简为，再求出的值，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解： ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：12． 15．4 此题主要考查了平方差公式的应用，熟练应用平方差公式是解题关键． 将已知关系式利用平方差公式分解因式，进而求出即可． 解：，且， ． 故答案为：4． 16． 本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 17．(1) (2) 此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解； （2）根据分组分解法进行因式分解． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．， 本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 19．(1) (2)三角形为等边三角形，理由见解析 本题考查分组分解法，因式分解的应用，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． （1）解： ； （2）解：三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ∴， ∴， ∴这个三角形为等边三角形． 20．(1) (2) (3) 本题综合考查了完全平方公式和因式分解，对给出的代数式进行适当变形是解题关键； （1）根据即可求解； （2）根据，结合，且，即可求解； （3）根据即可求解； （1）解：∵， ∴当时，有最小值． （2）解：， ∵，且， ∴； （3）解： ∵， ∴当时，有最小值． 21．(1)是 (2)是；理由见解析 (3)①见解析  ②不是；理由见解析 本题主要考查了数字类的规律探索，因式分解的应用． （1）由可得答案； （2）利用平方差公式把因式分解得到，据此可得结论； （3）①设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数），根据长方形周长计算公式求出周长，再根据（2）即可证明结论； ②根据长方形面积计算公式求出面积，再根据（2）所求即可得到结论． （1）解：∵， ∴36是神秘数， 故答案为：是； （2）解：是，理由如下： ， 因为k是非负整数， 所以是正整数， 所以由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数； （3）解：①设长方形相邻两边的长分别为(m为正整数)， 所以长方形的周长为， 由（2）知，神秘数一定可以用（k为非负整数)表示， 所以是神秘数； ②不是，理由如下： 设长方形相邻两边的长分别为（m为正整数)， 所以长方形的面积为， 因为k是非负整数， 所以是奇数， 因为和是连续的正整数， 是偶数， ∴， 所以长方形的面积不是神秘数． 22．(1) (2)当时，多项式有最大值13 (3)5 本题考查因式分解，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）仿照题干所给的方法，进行因式分解即可； （2）配方法求最值即可； （3）配方法结合非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． （1）解：； （2）由题意，∵， ∴当时，多项式有最大值13； （3）， ， ， ， ， ∴． 23．(1) (2) (3) 本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． （1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可； （3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可． （1）解： ， 故答案为：； （2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值18； （3）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 24．(1)提公因式法，2 (2) (3)； 本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． （1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 学科网（北京）股份有限公司 $人教版2024八年级上册 第17章 因式分解 单元测试·冲刺卷 试卷分析 一、试题难度 难度分布 容易 较易 适中 较难 4 28 60 8 三、知识点分布 一、单选题 1 0.94 判断是否是因式分解 2 0.85 综合提公因式和公式法分解因式；分组分解法 3 0.85 公因式 4 0.75 已知因式分解的结果求参数 5 0.75 综合提公因式和公式法分解因式 6 0.65 因式分解的应用；提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式 7 0.65 已知因式分解的结果求参数；平方差公式分解因式 8 0.65 判断能否用公式法分解因式；完全平方公式分解因式 9 0.64 平方差公式分解因式；完全平方公式分解因式；判断是否是因式分解；提公因式法分解因式 10 0.4 完全平方公式分解因式；因式分解的应用；构成三角形的条件；等腰三角形的定义 三、知识点分布 二、填空题 11 0.85 公因式；提公因式法分解因式 12 0.75 已知因式分解的结果求参数 13 0.65 因式分解的应用 14 0.65 分组分解法；已知字母的值 ，求代数式的值 15 0.65 平方差公式分解因式 16 0.64 已知式子的值，求代数式的值；提公因式法分解因式 三、知识点分布 三、解答题 17 0.85 综合提公因式和公式法分解因式；分组分解法 18 0.75 已知因式分解的结果求参数 19 0.75 因式分解的应用；分组分解法 20 0.65 十字相乘法；因式分解的应用 21 0.65 数字类规律探索；综合提公因式和公式法分解因式 22 0.65 综合运用公式法分解因式 23 0.64 运用完全平方公式进行运算；平方差公式分解因式 24 0.6 提公因式法分解因式 $ 2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷 第17章 因式分解 单元测试·冲刺卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 3．多项式因式分解时应提取的公因式为（   ） A． B． C． D． 4．若可因式分解为，则的值为（   ） A．9 B．8 C． D． 5．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 6．若，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 7．分解因式后得，则n等于（   ） A．2或 B．4 C．6 D．8 8．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．下列因式分解结果正确的是(　　) A． B． C． D． 10．在对多项式因式分解时，有一些多项式无法用提公因式和公式法分解，将其进行重新分组后可用上述两种方法继续分解，这种方法叫分组分解．如： ．下列说法中： ①因式分解： ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形． ③若a，b，c为实数满足，则以a，b，c作为三边能构成等腰三角形．其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 12．若能分解为两个一次因式的乘积，则的一个可能值是 13．如图1，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到一个多项式的因式分解：．则根据图2可以写出一个多项式的因式分解是 ． 14．若，则 ． 15．已知，且，则的值为 ． 16．已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分） 17．将下列各式分解因式． (1)； (2)． 18．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 19．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)解决问题：因式分解：； (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 20．阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若，则的最小值为___________； (2)因式分解：___________； (3)若，求的最小值． 21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，，因此4，12，20这三个数都是神秘数． (1)直接判断：36_______神秘数；（填“是”或“不是”） (2)设两个连续偶数为和(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？请说明理由； (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数； ②在①的条件下，面积是否为神秘数？请说明理由． 22．教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ (1)用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) (2)用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． (3)若，求的值． 23．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值． 解：． ，当时，P有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：_______； (2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值； (3)已知，求的值． 24．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $