专题02 一元二次方程12考点（期末真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期北师大版

专题02 一元二次方程 12大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念和解 考点02 一元二次方程的解法-直接开平方法 考点03 一元二次方程的解法-配方法 考点04 一元二次方程的解法-公式法 考点05 一元二次方程的解法-因式分解法 考点06 一元二次方程的解法-综合选择 考点07 根的判别式 考点08 根与系数的关系 考点09 实际问题-营销问题 考点10 实际问题-增长率问题 考点11 实际问题-动态几何问题 考点12 实际问题-其它问题 地 城 考点01 一元二次方程的概念和解 1．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)若一元二次方程的二次项系数是3，则常数项是（） A．5 B． C．2 D． 2．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)下列式子中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 4．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)若为一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 7．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．或 8．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)已知方程的一个根是，则m的值为（   ） A． B．2 C．7 D． 9．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个解为： ．（写出一个即可） 11．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)已知是一元二次方程的根，则式子的值为 ． 12．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 13．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是 ．（写出一个即可） 14．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 15．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 16．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 17．(24-25九上·陕西安康汉阴县·期末)若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为 ． 地 城 考点02 一元二次方程解法-直接开平方法 1．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)一元二次方程的解为（   ） A．， B． C． D．， 4．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)解方程：． 地 城 考点03 一元二次方程解法-配方法 1．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 3．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)用配方法解方程：． 4．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)用配方法解方程：． 地 城 考点04 一元二次方程解法-公式法 1．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)解方程：． 2．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)解方程：． 3．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)解方程：． 4．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)解方程：． 地 城 考点05 一元二次方程解法-因式分解法 1．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)已知一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 2．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)已知反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称，则正数的值为 ． 3．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)解方程：． 4．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)已知点与关于原点对称，求的值． 5．(24-25九上·陕西宝鸡千阳县部分学校·期末)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 6．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)解方程：． 7．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)解方程：． 8．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)解方程：． 9．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)解方程：． 10．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)解方程：． 11．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)解方程：． 12．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)解方程：． 13．(23-24九上·浙江台州仙居县白塔中学·期中)解方程： 14．(24-25九上·陕西咸阳·期末)解方程：． 15．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)解方程：． 地 城 考点06 一元二次方程解法-综合选择 1．(23-24九下·陕西汉中勉县·期末)解方程：． 2．(24-25九上·陕西榆林神木·期末)解方程：． 3．(24-25九上·陕西西安第二十六中学·期末)解方程：． 4．(24-25九上·陕西渭南临渭区·期末)解方程：． 5．(24-25九上·陕西西安·期末)解方程：． 6．(24-25九上·陕西商洛洛南县城关中学·期末)解方程：． 7．(24-25九上·陕西西安某校·)解方程：． 8．(23-24九上·陕西西安碑林区第二十六中学·期末)解方程：． 地 城 考点07 根的判别式 1．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（   ） A．这个函数的图象开口向下 B．当，y的值随x值的增大而增大 C．这个函数的最小值是3 D．一元二次方程没有实数根 2．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知关于的一元二次方程没有实数根，点、为反比例函数的图象上两点，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．(24-25九上·陕西安康汉阴县·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 6．(23-24九上·陕西咸阳武功县·期末)一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 7．(23-24九上·陕西榆林子洲县·期末)已知关于x的一元二次方程，对该方程的根的判断，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 8．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 9．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．7 B．4 C．9 D． 10．(24-25九上·陕西商洛·)请写出一个关于x的一元二次方程，使它没有实数根： ．（写出一个即可） 11．(23-24九上·陕西宝鸡陇县·期末)一元二次方程根的判别式的值是 ． 12．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 13．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)若关于的一元二次方程无实数根，求整数的最大值． 14．(23-24九上·陕西延安志丹县·期末)若关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 15．(24-25九上·陕西榆林神木·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 16．(23-24九上·陕西延安富县·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 地 城 考点08 根与系数的关系 1．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 2．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．7 B．4 C．9 D． 3．(24-25九上·陕西安康平利县部分学校·期末)若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是 ； 4．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个根，则这个矩形的周长为 ． 5．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线 ． 6．(22-23九上·陕西西安新城区·期末)已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数，求的值 7．(24-25九上·陕西咸阳永寿县·期末)已知关于x的一元二次方程有两个实数根．若，求及m的值． 8．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)已知关于x的一元二次方程有，两个实数根．若，求的值． 9．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 10．(23-24九上·陕西安康岚皋县·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个根为和，且满足，求的值． 11．(22-23九上·陕西西安经开第一中学·期末)关于的一元二次方程的两实数根分别为、，且，求的值． 地 城 考点09 实际问题-营销问题 1．(23-24九上·陕西延安富县·期末)某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？ 2．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)某商品的进价为每件50元，当售价为每件80元时，可销售100件．经市场调研，售价每件每提高1元，销售量将减少5件．当售价每件提高多少元时，销售利润为2880元？ 3．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 4．(22-23九上·陕西渭南韩城·)某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价每上涨1元，则每天的销售量就减少2个．每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元？ 5．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)某商店要经营一种新上市的文具，进价为元/件．试营销阶段发现，这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系． (1)设商店销售这种文具每天的销售利润为W，当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ (2)若商店想要每天获利元，售价应定为多少元？ 6．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． (1)若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 7．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 地 城 考点10 实际问题-增长率问题 1．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)某公司今年6月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是320万元． (1)求每个月生产成本下降的百分率； (2)该公司9月份的生产成本是否会超过260万元？请说明理由． 2．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 3．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)年某市政府投资了万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车，年投资了万元，求年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率． 地 城 考点11 实际问题- 动态几何 1．(24-25九上·陕西咸阳·期末)榆林豆腐是用榆林“桃花水”和当地优质黑豆经过脱皮、浸泡、磨浆等多道工序制作而成，清香爽口，软中带韧，弹而不裂，具有鲜、活、嫩、香的特点．某豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，由于引进了新的设备，豆腐产量逐年递增，到2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤．请你计算该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率． 地 城 考点12 实际问题- 其它问题 1．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)某社区新建了一栋三层停车楼，每一层的布局都如图所示．已知每层长70米，宽30米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．现停车位需要喷漆，且每层的喷漆面积为1200平方米．    (1)通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，多余的50个车位可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，该停车场就会少租出1个车位．当每个车位月租金上涨多少元时，总的月租金收入最大？最大收入是多少？ 2．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)某农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（门不用篱笆围），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 3．(24-25九上·陕西咸阳杨凌区·期中)茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不需要围篱笆），求这个茶园的长和宽． 4．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 5．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 350元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数． 6．(24-25九上·陕西铜川·期末)在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级学生之间都通过握手来告别，一共握手66次，那么该校数学社团中九年级学生共有多少名？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 12大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念和解 考点02 一元二次方程的解法-直接开平方法 考点03 一元二次方程的解法-配方法 考点04 一元二次方程的解法-公式法 考点05 一元二次方程的解法-因式分解法 考点06 一元二次方程的解法-综合选择 考点07 根的判别式 考点08 根与系数的关系 考点09 实际问题-营销问题 考点10 实际问题-增长率问题 考点11 实际问题-动态几何问题 考点12 实际问题-其它问题 地 城 考点01 一元二次方程的概念和解 1．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)若一元二次方程的二次项系数是3，则常数项是（） A．5 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式知识点，解题的关键是将给定方程化为一元二次方程的一般形式． 先把方程化为一般形式，再根据一般形式确定常数项． 【详解】一元二次方程的一般形式是，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将方程移项化为一般形式为， 常数项是2． 故选：C． 2．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)下列式子中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，故此选项错误； B、当时，是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：C． 3．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 4．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由于关于的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则且． 解得且． 故选：D． 5．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入方程得， 解得：， 故选：． 6．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)若为一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解．将代入原方程，然后解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， 故选B． 7．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由关于的一元二次方程的一个根是，得，然后求出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故选：． 8．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)已知方程的一个根是，则m的值为（   ） A． B．2 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把方程已知的根代入方程中，即可求得m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， ∴， 故选D． 9．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义直接代入求值即可． 【详解】解：把代入一元二次方程，得： ， 解得， 故选：B． 10．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个解为： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的概念“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”是解题关键．先确定方程的左边分解因式后，含有因式，再根据一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，写出一个符合条件的一元二次方程为，即， 故答案为：（答案不唯一）． 11．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)已知是一元二次方程的根，则式子的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程得到，整理得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个根为： （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解的定义写出一个满足方程的解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 故答案为：（答案不唯一）． 13．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程，即为一元二次方程，据此进行作答即可． 【详解】解：∵两个根分别是和2的关于x的一元二次方程， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 14．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得， 故答案为： 15．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程根的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 16．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根；根据一元二次方程的解的定义可得，进而可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个实数根是， ， ， 的值是， 故答案为：． 17．(24-25九上·陕西安康汉阴县·期末)若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：1． 地 城 考点02 一元二次方程解法-直接开平方法 1．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题利用直接开平方法求解． 【详解】解： 直接开平方得：， 故选：C． 2．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是掌握平方根的定义和用直接开平方法解一元二次方程的方法和步骤． 用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴ 故选：B． 3．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)一元二次方程的解为（   ） A．， B． C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用直接开平方法解方程即可，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解： ∴，， 故选：A． 4．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解知识点，解题的关键是利用直接开平方法将方程转化为两个一元一次方程． 先对原方程进行移项，得到完全平方式等于一个常数的形式，再利用直接开平方法求解． 【详解】解：， 移项，得， ， ，． 地 城 考点03 一元二次方程解法-配方法 1．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)用配方法解方程时，下列配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，即， 故选：A． 2．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解本题的关键．根据一元二次方程完全平方公式配方，即可得出选项． 【详解】∵， ， ， 故选：B． 3．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配成完全平方式（）的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：两边都加，得： ， 即， 两边开平方，得：， 即或 解得：，． 4．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项将原方程变形为，再将等号左边写成完全平方式的形式，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，． 地 城 考点04 一元二次方程解法-公式法 1．(24-25九上·陕西汉中宁强县·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：． ∴， ∴ 解得  ，． 2．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解一元二次方程的方法是解题的关键；先把方程整理为一般形式：，利用公式法求解即可． 【详解】解：原方程整理为：， ∵， ∴， 即． 3．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式． 对于一元二次方程，可以先计算判别式的值，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． ． 方程的解为． 4．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法、因式分解法或配方法求解一元二次方程是解题的关键．先将一元二次方程整理成一般形式，求出判别式，得方程有两个不相等的实数根，然后利用公式法求出此方程的解． 【详解】解：， 移项，得，， ， ， ，． 地 城 考点05 一元二次方程解法-因式分解法 1．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)已知一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，先解方程方程，结合三边关系，即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，，， 当三边为，，时，，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为， 当三边为，，时，，不能构成三角形， 综上可知：这个三角形的周长为， 故答案为：． 2．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)已知反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称，则正数的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称可得值互为相反数，据此即可得到，解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得：或（舍）， 故答案为：2． 3．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，整理得到，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 则或， 解得：，． 4．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)已知点与关于原点对称，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，代数式的值，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数可得，，解方程可得的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴，， 解得，， ∴． 5．(24-25九上·陕西宝鸡千阳县部分学校·期末)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，得，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴． 6．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 7．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先运用平方差公式将左边的式子因式分解，再移项、提取公因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 8．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 则或， 所以． 9．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或 ，． 10．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解： ∴， 即， ∴， ∴， 解得：． 11．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先把方程整理得，然后利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： 或 ，． 12．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法：直接开放法、配方法、公式法、因式分解法等．将原方程整理为，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：． 13．(23-24九上·浙江台州仙居县白塔中学·期中)解方程： 【答案】， 【分析】该题考查了解一元二次方程，先移项，再提公因式，得到两个一元一次方程，解方程即可； 【详解】 ， ， 或， 14．(24-25九上·陕西咸阳·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了解一元二次方程，原方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程即可 【详解】解： ∴ 则或 解得， 15．(24-25九上·陕西安康旬阳部分学校·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用提公因式法进行因式分解，求解即可． 【详解】解：， ， ， 则或， 所以． 地 城 考点06 一元二次方程解法-综合选择 1．(23-24九下·陕西汉中勉县·期末)解方程：． 【答案】，． 【分析】先将方程化为一般形式，再通过判别式判断根的情况，最后用求根公式求解．本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 【详解】解： 整理得 ∵ ，， ∴ ∴ 即， ∴，． 2．(24-25九上·陕西榆林神木·期末)解方程：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程．先根据得出方程有两个不相等的实数根，然后代入公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 3．(24-25九上·陕西西安第二十六中学·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先确定利用公式法求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 4．(24-25九上·陕西渭南临渭区·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程，掌握求根公式是解题的关键． 根据题意，先确定的值，再判定根的判别式，由即可求解． 【详解】解： ， ， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ， ∴ ． 5．(24-25九上·陕西西安·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程．利用公式法求解即可． 【详解】解：， ， ， 即：，． 6．(24-25九上·陕西商洛洛南县城关中学·期末)解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得：，． 7．(24-25九上·陕西西安某校·)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解： 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 解得， 8．(23-24九上·陕西西安碑林区第二十六中学·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法．利用配方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得： ∴ ∴ ∴或 ∴，； 地 城 考点07 根的判别式 1．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 下列各选项中，正确的是（   ） A．这个函数的图象开口向下 B．当，y的值随x值的增大而增大 C．这个函数的最小值是3 D．一元二次方程没有实数根 【答案】D 【分析】将，，代入，得，解方程组即可求出、、的值，进而得出二次函数解析式，然后由二次函数的图象与系数的关系即可判断选项；由的图象与性质即可判断选项；把化成顶点式，然后求其最值，即可判断选项；对于一元二次方程，先求出，然后根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系即可判断选项；综上，即可得出答案． 【详解】解：将，，代入，得： ，解得：， ， ， 该函数图象开口向上，故选项错误； 该抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，故选项错误； ， 该函数的最小值是，故选项错误； 对于一元二次方程， ， 一元二次方程没有实数根，故选项正确； 故选：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，把化成顶点式，二次函数的最值，抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况，解三元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质及一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键． 2．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)已知在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，且）的图象在每个象限内随的增大而增大，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根． 【详解】解：∵在每一个象限内y随着x增大而增大， ∴， ∵ ， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有个实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 4．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)已知关于的一元二次方程没有实数根，点、为反比例函数的图象上两点，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据一元二次方程根的判别式得出的范围，再根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 即， ，且， ， 反比例函数的图象过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 5．(24-25九上·陕西安康汉阴县·期末)一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 即该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6．(23-24九上·陕西咸阳武功县·期末)一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴原方程没有实数根， 故选：B． 7．(23-24九上·陕西榆林子洲县·期末)已知关于x的一元二次方程，对该方程的根的判断，正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据与0的关系直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，准确计算．利用两根之和等于求解即可． 【详解】解：设另一个根为t，则有， 故选：A 9．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．7 B．4 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入即得答案． 【详解】解：根据题意，得，， ． 故选：A． 10．(24-25九上·陕西商洛·)请写出一个关于x的一元二次方程，使它没有实数根： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，写出一个一元二次方程，利用根的判别式判断方程没有实数根，符合题意即可． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵， ∴方程没有实数根， 故符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 11．(23-24九上·陕西宝鸡陇县·期末)一元二次方程根的判别式的值是 ． 【答案】33 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根的判别式为．根据根的判别式的定义，计算的值即可． 【详解】解：由得， ，，， ． 故答案为：33 12．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 证明判别式的值大于等于0即可． 【详解】证明：∵， ∴该方程总有两个实数根． 13．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)若关于的一元二次方程无实数根，求整数的最大值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式求出k的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴整数的最大值为． 14．(23-24九上·陕西延安志丹县·期末)若关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，直接根据根的判别式计算即可． 【详解】证明：∵ ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 15．(24-25九上·陕西榆林神木·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得． 16．(23-24九上·陕西延安富县·期末)已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】的取值范围为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据关于的一元二次方程有两个实数根可得，计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ，即， 解得， 故的取值范围为． 地 城 考点08 根与系数的关系 1．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一根为（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是理解题意，准确计算．利用两根之和等于求解即可． 【详解】解：设另一个根为t，则有， 故选：A 2．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．7 B．4 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入即得答案． 【详解】解：根据题意，得，， ． 故选：A． 3．(24-25九上·陕西安康平利县部分学校·期末)若是关于的方程的一个根，则这个方程的另一个根是 ； 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数之间的关系得到，即可得出结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴； ∴方程的另一个根为：． 故答案为：． 4．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个根，则这个矩形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系得出矩形的长与宽的和，从而得出答案． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根， ∴矩形的长与宽的和为10， 则矩形的周长为20， 故答案为：20． 5．(24-25九上·陕西安康旬阳县·期末)若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系，求出二次函数图象的对称轴． 【详解】解：方程的两个根是和， 二次函数的图象的对称轴是直线， 故答案为：． 6．(22-23九上·陕西西安新城区·期末)已知关于x的一元二次方程的两根互为相反数，求的值 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根互为相反数， ∴， 即 解得： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 7．(24-25九上·陕西咸阳永寿县·期末)已知关于x的一元二次方程有两个实数根．若，求及m的值． 【答案】， 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有，两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为5， ∴， 解得：． 8．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)已知关于x的一元二次方程有，两个实数根．若，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有，两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为5． 9．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，再代入到，即可求出答案． 【详解】（1）∵方程有两个实数根， ， 解得； （2）和是一元二次方程的两个根， ，， ， ， ， 解得，． ， ． 10．(23-24九上·陕西安康岚皋县·期中)已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个根为和，且满足，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法，掌握根的判别式的含义是解本题的关键； （1）先计算，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， 无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系，得． ， ， 即， 解得． 11．(22-23九上·陕西西安经开第一中学·期末)关于的一元二次方程的两实数根分别为、，且，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两实数根分别为、， ， ， ， ， 把代入得：， 解得：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键． 地 城 考点09 实际问题-营销问题 1．(23-24九上·陕西延安富县·期末)某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？ 【答案】每件文化衫应降价3元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件文化衫应降价元，根据“月获利恰好为8400元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每件文化衫应降价元， 根据题意，列方程得， 整理，得， 解得，， 当时，销售量为1400件，而，故（舍去）； 当时，销售量为1200件，而，故， 答：每件文化衫应降价3元． 2．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)某商品的进价为每件50元，当售价为每件80元时，可销售100件．经市场调研，售价每件每提高1元，销售量将减少5件．当售价每件提高多少元时，销售利润为2880元？ 【答案】当售价每件提高2元时，销售利润为2880元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当售价每件提高x元时，销售利润为2880元，则售价为元，每天可售出件，根据销售利润为2880元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设当售价每件提高x元时，销售利润为2880元，则售价为元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当售价每件提高2元时，销售利润为2880元． 3．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】(1)道路宽度为10米 (2)每平方米草莓平均利润下调48元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 4．(22-23九上·陕西渭南韩城·)某商店以每个8元的成本价购进了一批玩具陀螺，如果以每个14元的价格出售，那么每天可销售40个，经市场调查发现，若每个陀螺的售价每上涨1元，则每天的销售量就减少2个．每个陀螺涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元？ 【答案】4元 【分析】设每个陀螺涨价元，则每天可售出个，根据：利润每个玩具的利润销售量，即可列出方程，解方程，再根据要让顾客得到实惠，即可求解． 【详解】解：设每个陀螺涨价元，则每天可售出个， 依题意，得， 解得，， ∵要让顾客得到实惠， ， 答：当每个陀螺张价4元时，才能让顾客得到实惠的同时商店每天获得的利润为320元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确解答是解决本题的关键． 5．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)某商店要经营一种新上市的文具，进价为元/件．试营销阶段发现，这种文具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系． (1)设商店销售这种文具每天的销售利润为W，当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ (2)若商店想要每天获利元，售价应定为多少元？ 【答案】(1)销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大 (2)售价应定为元或元 【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据确定与的函数关系式，即可求解； （2）令，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴当时，W有最大值2250， ∴销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大； （2）解：根据题意可得：， ∴， 解得：或． ∴售价应定为元或元． 6．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． (1)若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 【答案】(1)34 (2)每件大衣应降价20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若降价7元，则平均每天销售数量为（件）， 故答案为：34； （2）解：设每件大衣应降价元， 由题意得，， 整理，得， 解得，， 要尽快减少库存， ， 答：每件大衣应降价20元． 7．(24-25九上·陕西西安临潼区·期末)随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 【答案】商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个电热毯降价x元时，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元，根据“平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个”，列出一元二次方程，解方程再根据最快时间将该电热毯的库存清空，即可得出答案． 【详解】解：设每个电热毯降价元时，利润能达到2100元， 由题意可列方程为， 整理方程得， 解得，， ∵需要尽快清空库存， ∴取较大值20， 答：商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元． 地 城 考点10 实际问题-增长率问题 1．(24-25九上·陕西延安延长县·期末)某公司今年6月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是320万元． (1)求每个月生产成本下降的百分率； (2)该公司9月份的生产成本是否会超过260万元？请说明理由． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为，根据题意，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可； （2）求出该公司9月份的生产成本（预测值），再进行比较即可． 【详解】（1）解：设每个月生产成本的下降率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 每个月生产成本下降的百分率为； （2）解：该公司9月份的生产成本不会超过260万元，理由如下： 预测9月份的生产成本为： （万元）， ， 该公司9月份的生产成本不会超过260万元， 答：该公司9月份的生产成本不会超过260万元． 2．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为． 3．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)年某市政府投资了万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车，年投资了万元，求年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率． 【答案】年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，3出方程是解题的关键． 【详解】解：设年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为， 依题意得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为． 地 城 考点11 实际问题- 动态几何 1．(24-25九上·陕西咸阳·期末)榆林豆腐是用榆林“桃花水”和当地优质黑豆经过脱皮、浸泡、磨浆等多道工序制作而成，清香爽口，软中带韧，弹而不裂，具有鲜、活、嫩、香的特点．某豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，由于引进了新的设备，豆腐产量逐年递增，到2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤．请你计算该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为． 地 城 考点12 实际问题- 其它问题 1．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)某社区新建了一栋三层停车楼，每一层的布局都如图所示．已知每层长70米，宽30米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．现停车位需要喷漆，且每层的喷漆面积为1200平方米．    (1)通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，多余的50个车位可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，该停车场就会少租出1个车位．当每个车位月租金上涨多少元时，总的月租金收入最大？最大收入是多少？ 【答案】(1)通道的宽是5米 (2)当每个车位的月租金上涨150元时，总的月租金收入最大，最大收入是12250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用知识点，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方程和函数关系式。 （1）通过设通道的宽是米，根据每层总面积和喷漆面积列出关于通道宽的方程，求解得到通道宽。 （2）设每个车位的月租金上涨元，总的月租金收入为元，根据租金上涨与出租车位数量的关系列出月租金收入的函数关系式，再利用二次函数性质求最大值。 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形． 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是5米． （2）设每个车位的月租金上涨元，总的月租金收入为元． 依题意，得． ， 当时，最大，最大值为12250元． 答：当每个车位的月租金上涨150元时，总的月租金收入最大，最大收入是12250元． 2．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)某农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（门不用篱笆围），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】养殖场的面积能为，此时的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． 设，根据题意表示出，列出方程并解方程即可． 【详解】解：养殖场的面积能为，理由如下：                     设，则，                   由题意得：，                          整理得：，                   解得：或， ∴养殖场的面积能为，此时的值为或． 3．(24-25九上·陕西咸阳杨凌区·期中)茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不需要围篱笆），求这个茶园的长和宽． 【答案】这个茶园的长和宽分别为、． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．设当茶园垂直于墙的一边长为时，则另一边的长度为，根据茶园的面积为，列出方程并解答． 【详解】解：设茶园垂直于墙的一边长为，则另一边的长度为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为、． 4．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 5．(24-25九上·陕西西安临潼区部分学校·期末)某大剧院举办文艺演出，其收费标准如下： 购票人数 收费标准 不超过30人 350元/人 超过30人 每增加1人，每张票的单价减少5元，但单价不低于280元 某公司组织一批员工去大剧院观看此场演出，若共支付12000元的购票费用，求观看演出的员工的人数． 【答案】观看演出的员工的人数为40人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设观看演出的员工的人数有x人，则单价为元，根据共支付12000元的购票费用，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设观看演出的员工的人数有x人，则单价为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：观看演出的员工的人数为40人． 6．(24-25九上·陕西铜川·期末)在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级学生之间都通过握手来告别，一共握手66次，那么该校数学社团中九年级学生共有多少名？ 【答案】12名 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设该校数学社团中九年级学生共有名，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设该校数学社团中九年级学生共有名， 根据题意，可得， 解得，（舍去）． 答：该校数学社团中九年级学生共有12名． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $