第二章一元二次方程暑假练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

2024-2025学年北师大版九年级上册数学 第二章 一元二次方程 综合训练（含答案） 班别_________姓名__________学号________成绩___________ 1． 选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1 2、将方程x2+6x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是（　　） A．9 B．11 C．6 D．14 3、已知m是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的一个根，则2020﹣m2+4m的值为（ ） A．2021 B．2020 C．2019 D．﹣2020 4、关于x的一元二次方程（a—1）x2+x+a2—1=0的一根为0则a的值为（ ） A、1 B、—1 C、1或—1 D、 5、关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 6、当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 7、如图，有一面积为600的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为xm，则列方程正确的是(   )    A．x(69+1-2x)=600 B．x(69-1+2x)=600 C．x(69-2x)=600 D．x(35+1-2x)=600 8、方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 9、某景点的参观人数逐年增加，据统计，2020年为10万人次，2022年为12.1万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　） A．10（1+x）＝12.1 B．10（1﹣x）＝12.1 C．10（1+x）2＝12.1 D．10[（1+x）+（1+x）2]＝12.1 10、 某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有（ ）人参加聚会。 A.5 B.9 C.10 D.11 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11、把方程x（x﹣1）=2（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式为　　 ． 12、方程的根是 ． 13、若关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2024＝0有一个根为﹣1，则a+b＝　 　． 14、若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　． 15、已知一个直角三角形的两条边长恰好分别是方程 x2 14x 48 0 的两根,则此三角形的斜边长为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16、解方程：（1） (2) 17、 已知关于的方程. 求证：方程有两个不相等的实根. 18、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和． (1)填空：+=________，=_______； (2)求的值. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19、某商业街有店面房共195间，2021年平均每间店面房的年租金为10万元；由于物价上涨，到2023年平均每间店面房的年租金上涨到了12.1万元． （1）求2021年至2023年平均每间店面房年租金的平均增长率. （2）按此平均增长率不变，则2024年平均每间店面房的年租金为多少万元？ 20、已知关于的一元二次方程有实数根. （1）求的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2,AB,BC的长是方程的两根，求BC的长. 21、 某种服装，平均每天可销售30件，每件赢利40元，网查发现，若每件降价1元，则每天可多售6件， （1）每件服装降价2元后，可售出商品　 　件； （2）每件服装降价x元后，可售出商品　 　件（用含x的代数式表示）； （3）如果每天要赢利2100元，每件应降价多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22、阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则___________； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值. 23、如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为？ 参考答案 1、 B 2、 D 3、 A 4、 B 5、 D 6、 B 7、 A 8、 C 9、 C 10、 C 11、 12、 13、 2024 14、 2 15、 10 16（1）解：x2＝5x， x2-5x＝0， x（x-5）＝0， x1＝0，x2＝5， （2）解：原方程化为：（x+1）（x﹣5）=0， ∴x+1=0或x﹣5=0， ∴x1=﹣1，x2=5。 17、解：∵△=［-（）］2-4（） = =1＞0 ∴方程有两个不相等的实根。 18、解：（1）+=________，=_______； (2)∵由（1）得+=，= ∴=－2×= ∴== 19、解：（1）设2010年至2012年平均每间店面房年租金的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：＝10%，＝－2.1（不合题意舍去）． 答：2010年至2012年平均每间店面房年租金的平均增长率为10%． （2）12.1×（1+10%）=12.1×1.1=13.31 答：按此平均增长率不变，则2024年平均每间店面房的年租金为13.31万元. 20、解：（1）∵方程有实数根 ∴△≥0 解得：≤2 又∵是二次项系数， ∴≠0 ∴的取值范围是≤2且≠0 （2） AB=2是方程r的根 ∴把代入方程，可得 ∴原方程是： 解得： ∴ BC的长是 。 21、解：（1）每件服装降价2元后，可售出商品　 42 　件； （2）每件服装降价x元后，可售出商品　(30+6x) 　件; (3)设每件服装降价x元，依题意，得 （40-x)(30+6x)=2100 解得 答：如果每天要赢利2100元，每件应降价5元或30元。 22．（1）解：一元二次方程的两个根为， ，， ∴， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ； （3）解：实数、满足，， 与看作是方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， ． 23．（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 方程x2=﹣x的解是　　． 关于x的方程2x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 　 　． 已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____． 请你写出一个二次项系数为1，两根之和为5的一元二次方程_______________________。 已知（a2+b2）2—（a2+b2）—6=0，则a2+b2=____________ 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于__________． 若一个三角形的三边都是方程的解，则此三角形的周长是_________． 若关于x的一元二次方程ax2+bx+6＝0的一个根为x＝﹣2，则代数式6a﹣3b+2的值为 　 　． 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围． 已知，则_______． 用配方法解方程x2﹣2x＝5时，配方后正确的是（　　） A、（x+1）2＝5 B、（x+1）2＝6 C、（x﹣1）2＝5 D、（x﹣1）2＝6 用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2﹣9=0； （2）2x2+3x+1=0． 24、 已知2是关于x的方程x2+ax+a﹣3=0的一个根，求a的值及方程的另一个根． 济南市某一企业2014年完成工业总产值100万元，如果要在2016年达到169万元，那么2014年到2016年的工业总产值年平均增长率是多少？计划2018年工业总产值要达到280万元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成？ 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 20. “疫情”期间,某商场积压了一批商品,现欲尽快清仓,确定降价促销．据调查发现,若每件商品盈利50 元时,可售出500 件,商品单价每下降1元,则可多售出20 件．设每件商品降价 x 元． （1）每件商品降价 x 元后,可售出商品 件（用含 x 的代数式表示）; （2）若要使销售该商品的总利润达到28000 元,求 x 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$