第四章《图形的相似》综合测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 综合测试题 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列图形中，是相似图形的为（　　） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的面积比为4：9，则OA：OD为（　　） A．4：9 B．2：3 C．2：1 D．3：1 4．如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则AC的长度为（　　） A．2 B．6 C．3 D．4 5．如图，已知∠1＝∠2，点D在BC上，添加下列条件后，仍无法判定△ABC与△ADE相似的是（　　） A．∠B＝∠E B．∠2＝∠EDC C． D．DE∥AB 6．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，射线CE交BA的延长线于点F，若，AB＝6，则AF的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC∽△CBD，AB＝6，CD＝2，AC＝3，那么BC的值等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D．视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝2米，AC＝3.2米，AE＝0.8米，那么CD为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．6米 10．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．已知，则的值为　 　 ． 12．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的面积比为 　 　 ． 13．秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　 　 ． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．D是BC上一点，且CD＝3BD．CE⊥AD于点F，交AB于点E．若AC＝6，BC＝8，则AE的长为　 　 ． 15．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已知， （1）求的值； （2）若x+y＝15，求x，y的值． 17．书面装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术，如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是a m、b m、c m、d m，若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求a的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（﹣1，2）． （1）以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；点C1的坐标为 　 　 ； （2）若△ABC的周长是，则△A1B1C1的周长为 　 　 cm． 19．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 20．周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG、DE、MN、M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE；测得GE＝2.5米，EN′＝3米，N′N＝3.9米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？（结果精确到0.1米） 21．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，CE＝BF，点Q在线段AB上，且AE2＝AQ•AB． 求证：（1）∠CAE＝∠BAF； （2）△ACE∽△AFQ． 22．如图，△ABC和△ADE的顶点A重合，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D． （1）若AB＝3AD，BC＝4，求DE的长； （2）连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE． 23．数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔AB高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍CD与塔影一端重合在点M，测得棍影CM为1米；第二次测量另一时刻棍影EN与塔影BN一端重合在点N，测得EN＝1.5米，木棍移动距离CE＝12米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影BE的位置并测量出棍影QG长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影BF的位置并测量出棍影QH长为2米，两次塔影顶端EF的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 24．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AC⊥AB，E是AD的中点，连接并延长CE，与BA的延长线交于点F，CE与BD交于点G，连接DF． （1）试判断四边形ACDF的形状，并说明理由； （2）若平行四边形ABCD的面积是18，求CG的长． 25．【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题． 如图，已知△ABC～△A′B′C′，，点D，D′分别是线段CA，C′A′上的动点，连接BD，B′D′． （1）若点D，D′分别是线段CA，C′A′上的中点时，求证：． 证明：∵△ABC～△A′B′C′， ∴，∠C＝∠C′，∠A＝∠A′． … 请完成以上证明过程． （2）在（1）的前提下，如图，当△ABC的面积为4时，则△A'B'D'的面积为　 　 ； （3）点D，D′分别在线段CA，C′A′上的运动时，当　 　 时，△ABD～△A′B′D′，并求出的值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B D C A B D C 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2． 12．1：4． 13．11． 14．． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．已解：（1）∵， ∴设x＝2k，y＝3k； ； （2）由（1）知，x＝2k，y＝3k， ∵x+y＝15， ∴2k+3k＝15， 解得：k＝3， ∴x＝6，y＝9． 17．解：∵AB＝1.2+c+d＝1.2+2c＝1.2+4a，AD＝0.8+a+b＝0.8+2a， ∴， ∴a＝0.1， 经检验a＝0.1是原方程的解． ∴a的值为0.1m． 18．（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求， ∴点C1的坐标为（2，﹣4）， 故答案为：（2，﹣4）； （2）解：∵△A1B1C1与△ABC关于原点位似，且相似比为2：1，△ABC的周长是， ∴△A1B1C1的周长为， 故答案为：． 19．解：（1）∵FE∥CD， ∴，即， 解得，AC， 则CE＝AC﹣AE4； （2）∵DE∥BC， ∴，即， 解得，AB． 20．解：延长MM′交DE于H，如图，则HM＝EN＝EN′+N′N＝3+3.9＝6.9米，CD＝GE＝2.5米，MM′＝NN′＝3.9米， ∵CD∥HM， ∴∠ADC＝∠DMH， ∴Rt△ACD∽Rt△DHM， ∴， ∵AB∥MM′， ∴△ABD∽△MM′D， ∴，即， 解得AB≈1.4（米）． ∴遮阳篷的宽AB是1.4米． 21．证明：（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE＝∠BAF； （2）由（1）知：△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF， ∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB， ∴，即， ∴△ACE∽△AFQ． 22．（1）解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴3， ∴DE； （2）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE． 23．解：小天组：由题意得∠ABM＝∠DCM＝∠FEN＝90°， ∴CD∥AB∥EF， ∴△MCD∽△MBA，△NEF∽△NBA， ∴，， ∵CD＝CM＝EF＝1米，NE＝1.5米，CE＝12米， ∴EM＝CE﹣CM＝11米， ∴，， ∴AB＝BM， ∴，即1.5AB＝AB+12.5， ∴AB＝25米； 小河组：由题意得HP∥AF，PG∥AE， ∴∠PHQ＝∠AFB，∠PGQ＝∠AEB， ∵∠PQH＝∠ABE＝90°， ∴△PGQ∽△AEB，△PHQ∽△AFB， ∴，， ∴， ∴， ∵GQ＝1.5米，HQ＝2米，EF＝124米， ∴， ∴BE＝37.2米， ∵PQ＝1米， ∴， ∴AB＝24.8米，与25米非常接近，可视作测量或记录误差所致， 综上，两种方案都能得到合理结果，塔AB高度约为25米． 24．（1）证明：四边形ACDF是矩形，理由如下： ∵四边形ACDF是平行四边形， ∴AF∥CD， ∴∠FAE＝∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ∵， ∴△AEF≌△DEC（ASA）， ∴AF＝CD， ∵AC⊥AB， ∴∠CAF＝90°， ∴四边形ACDF是矩形； （2）如图： ∵S▱ABCD＝AB×AC＝18，AB＝3， ∴AC＝6， ∴， ∴∠ABO＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝FD＝AC＝6，CD＝AF＝BF﹣AB＝3， ∴， ∵AF∥CD， ∴∠CDG＝∠FBG，∠DCG＝∠BFG， ∴△CDG∽△FBG， ∴，即， ∴， ∴CG的长为． 25．（1）证明：∵△ABC～△A′B′C′， ∴，∠C＝∠C′，∠A＝∠A′， ∵， ∴， ∵∠C＝∠C′， ∴△BCD∽△B′C′D′， ∴； （2）解：∵由（1）易知△ABD∽△A′B′D′， ∴（）2， ∵△ABC的面积为4， 设△ABC边AC上的高为h， ∴S△ABC•AC•h2AD•h＝2S△ABD＝4， ∴S△ABD＝2， ∴S△A′B′D′＝8， 故答案为：8； （3）解：当△ABD∽△A′B′D′时，∠ADB＝∠A′D′B′， ∴∠CDB＝∠C′D′B′， ∴△BCD∽△B′C′D′， 此时，， 故当时，△ABD∽△A′B′D′， ∴， 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $