专题01 特殊的平行四边形9考点（期末真题汇编，陕西专用）九年级数学上学期北师大版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01特殊的平行四边形 ☆9大高频考点概览 考点01菱形的性质 考点02菱形的判定 考点03矩研形的性质 考点04矩研形的判定 考点05矩研形的性质和判定的综合 考点06正方形的性质与判定的综合 考点07与菱形有关的计算与证明 考点08与与矩形有关的计算与证明 考点09与正方形有关的计算和证明 目目 考点01 菱形的性质 1.(24-25九上陕西咸阳礼泉县期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OH1BC于 点H,若LADC=70°，则∠C0H的度数为() A.30 B.35° C.40° D.70° 2.(24-25九上陕西西安陕西师范大学附属中学期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ,点E在线段BD上，连接CE,若BE=BC,AB=10,BD=16,则tan ZBCE的值为() 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.3 C.2 D. 3.(23-24九上陕西榆林定边县第七中学期末)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分 别是AD,CD边上的中点，连接EF.若EF=2√2，BD=3,则菱形ABCD的面积为()· E O 4 B.32 C.6W2 D.12√2 4.(24-25九上陕西西安未央区·期末)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，点E在对角线BD上，且 BE=BA,那么∠AEB的度数是() B A.40° B.60° C.70° D.80° 5.(24-25九上陕西咸阳·期末)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是CD的中点，连接 OE,若菱形ABCD的周长为48，则OE的长是()· D A.4.8 B.6 C.8 D.12 6.(24-25九上陕西咸阳秦都区·期末)如图，己知菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O,且AC=8, BD=6,则菱形ABCD的边长为() A.4 B.5 6 D.7 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 7.(24-25九上陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,若 ∠B=40°，则∠EAF的度数为() B A.30° B.40° C.50° D.60° 8.(24-25九上陕西咸阳三原县·期末)若菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别为6,6√3，则菱形 ABCD的面积为 9.(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区期末)如图，AC为正方形ABCD的对角线，延长AB到E点，使得 AE=AC,以AC,AE为邻边作菱形AEFC,若菱形AEFC的面积为9√2cm2,则正方形ABCD的面积为 cm2. D B E 10.(24-25九上陕西延安志丹县期末)0.如图，菱形ABCD的边长是4，∠B=60°，E是对角线AC的中点， 以CE为直径作⊙0、G是⊙0上的点，连接AG,若AG是⊙0的切线，则线段AG的长为一 D G B 11.(23-24九上·陕西榆林高新区期末)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD,对角线AC、BD相 交于点O,若四边形AEBO是菱形，求证：四边形ABCD是矩形. A D B 12.(24-25九上陕西榆林横山区·期末)如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边CD,BC上的点，且 DE=BF,连接BE,DF相交于点G.求证：BE=DF. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A G D 13.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区期末)如图，在菱形ABCD中，连接BD,点E、F分别是AB、BC上的 点，连接DE,DF,EF,且BE=BF,求证：DE=DF. 14.(24-25九上陕西西安交通大学附属中学.期末)已知拋物线L:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点 A-2,0),点B4,0,与y轴交于点C0,4). 3 2 1 方-4321012345元 3 -5H (1)求拋物线L的表达式： (2)若点P是直线y=x+2上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到拋物线L',点B的对应点为 点Q,是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在， 请说明理由 15.(23-24八·第02讲矩形的性质和判定（知识解读达标检测）-)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点， 过点C作CE∥OD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.求证：四边形OCED是矩形. 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点02 菱形的判定 1.(22-23九上陕西咸阳武功县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点D为AB的中 点，连接CD,过点D作DE∥BC,且DE=BC,连接BE,求证：四边形BCDE是菱形. 2.(23-24九上陕西西安高新逸翠园中学等学校期中)如图，已知四边形ABCD,AD∥BC,请用尺规作图 法，在边AD上求作一点E,在边BC上求作一点F,使四边形BFDE为菱形.（保留作图痕迹，不写作法） B C 3.(24-25九上陕西西安未央区·期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O, BD平分∠ABC,过点D作DF∥AB分别交AC,BC于点E,F, D (I)求证：四边形ABFD是菱形； (2)若AC⊥AB,DF=2V5,AC=6,EF=V3,求E0的长. 4.(24-25九上陕西咸阳期末)如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE=CF, 连接BE、BF,LABE=LCBF,求证：四边形ABCD是菱形， 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 E 5.(24-25九上陕西咸阳秦都区·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是Rt△ABC的斜边AB上的 中线，过点A和点C分别作CD和AB的平行线交于点E. B (1)求证：四边形AECD是菱形； (2)若∠E=45°，AE=4,求四边形ABCE的面积. 6.(24-25九上陕西西安蓝田县·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点， BE∥AC,CE∥BD,BE与CE交于点E,求证：四边形BDCE是菱形. E 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边的中点，连接CD,过点A作AG∥DC,过点C作 CG∥DA,AG与CG相交于点G, D G (1)求证：四边形ADCG是菱形； ②若AB=5,a∠4CG=},求BC的长。 8.(24-25九上陕西咸阳三原县·期末)如图，四边形ABCD和四边形ABEC均为平行四边形，点E在DC的 延长线上，DA和EB的延长线交于点F,连接CF,连接AE分别交BC,CF于点G,H,己知 AC⊥DF,FC⊥DE, 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：四边形ACBF为正方形； (2)若CH=2,求FC的长， 9.(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团期末)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且 BD=2AB,AE∥BD,OE‖AB,求证：四边形ABOE是菱形. B 10.(19-20九上河南平顶山期末)如图，在四边形ABCD中，ABCD,AB=AD,对角线AC、BD交于点O, AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形. D 目目 考点03 矩形的性质 1.(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，连接BD,若点A 的坐标是(-2,0)，点C的坐标是(2,5，则BD的长为() AO A.√4 B.V29 C.4v3 D.6 2.(24-25九上陕西咸阳乾县吴店九年制学校期末)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点E, F分别在边AB,BC上，AE=2cm,BD、EF交于点G,若EG=FG,则BG的长为() 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 G A. 3 cm B.0 3 cm C.16 3 cm D.8 3.(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)己知一矩形的长和宽分别是一元二次方程x2-10x+21=0的两个根，则 这个矩形的周长为 4.(24-25九上陕西西安未央区期末)如图，在矩形ABCD中，CD=5,BC=12,点P为对角线BD上一动点， PE⊥BC于点E,PF⊥CD交CD于点F,则线段EF长的最小值为 A D D E 5.(24-25九上陕西西安陕西师范大学附属中学期末)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=15.点E在 对角线BD上，点F、G分别在边BC、CD上，且EF=FG,∠ABD+∠EFG=180°，则四边形DEFG周长 的最小值为一· D E F 6.(24-25九上陕西宝鸡高新区期末)如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=1,点M是AD边上一点，连 接CM,以CM为边向右作等边aCMN,连接BN,则BN的最小值为 N 7.(24-25九上陕西咸阳期末)如图，点E为矩形ABCD的边BC的延长线上一点，连接DE,请用尺规作图 法在边CD上求作一点F,连接BF,使得△BCFn△DCE.(保留作图痕迹，不写作法) 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D 8.(24-25九上·陕西榆林榆阳区期末)如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM=DN,求证： BN =CM D 9.(24-25九上陕西宝鸡高新区·期末)【问题提出】 (1)如图1，在矩形ABCD中，AB=8,BC=I2,点E是BC边上一点，连接AE,作EF⊥AE交CD于 点F,若AE=2EF,求CF的长； 【问题解决】 (2)学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教 育实践需要.如图2，矩形ABCD是某校的一块劳动实践基地，AB=20m,BC=30m,BC边上的点E处 有一口灌溉水井，AE和EF是两条互相垂直的小路，且AE=2EF,现在沿AF修了一条延伸至BC边上的 小路AM(点M在BC上，点F在AM上)，发现点M到灌溉水井E的距离EM=BC.求灌溉水井E到 点B的距离BE. D M 图1 图2 10.(24-25九上陕西宝鸡高新区·期末)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE,DE.若 CE=CD,过点D作DF⊥CE于点F.求证：CF=EB. 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 E B 11.(24-25九上陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，BD为口ABCD的对角线，DE平分∠ADB,交AB于点E,过 点E作FE⊥DE,交BD于点F,AD=2,AB=2N5,BD=4. (1)求证：ABCD是矩形； (2)求EF的长. 目目 考点04 矩形的判定 1.(24-25九上陕西咸阳秦都区期末)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB的中点，AD=BC.过 点D作DE⊥AB且DE=BD,连接CE,求证：四边形BCED是正方形 D 2.(24-25九上陕西西安莲湖区·期末)如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，BE=DF, LFCB=90° (I)求证：四边形AECF是矩形. 专题01 特殊的平行四边形 9大高频考点概览 考点01 菱形的性质 考点02 菱形的判定 考点03 矩形的性质 考点04 矩形的判定 考点05 矩形的性质和判定的综合 考点06 正方形的性质与判定的综合 考点07 与菱形有关的计算与证明 考点08 与与矩形有关的计算与证明 考点09 与正方形有关的计算和证明 地 城 考点01 菱形的性质 1．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 2．(24-25九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末)如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正切值、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．先根据菱形的性质，，，再利用勾股定理可得，根据线段和差可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．(23-24九上·陕西榆林定边县第七中学·期末)如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．首先根据三角形中位线定理得到，再计算菱形的面积即可． 【详解】E，F分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， 菱形的面积=， 故选：C． 4．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为48，则的长是（   ）． A．4.8 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质．根据菱形的性质得到，是直角三角形，由E是的中点得到． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，菱形的周长为48， ∴，垂足为点O， ∴是直角三角形， ∵E是的中点， ∴， 故选：B 6．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， 故选：B． 7．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在菱形中，于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，，推出，由于点，于点，可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 于点，于点， ， ， 故选：B． 8．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，的长分别为6，， 菱形的面积． 故答案为：． 9．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，为正方形的对角线，延长到E点，使得，以，为邻边作菱形，若菱形的面积为，则正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，把握特殊四边形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，则由，求出，即可得到正方形的边长，继而即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴正方形的面积为9， 故答案为：9． 10．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)0．如图，菱形的边长是4，，是对角线的中点，以为直径作、是上的点，连接，若是的切线，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与菱形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形判定和性质，圆切线性质，勾股定理，是解题的关键． 根据菱形性质和得是等边三角形，得，根据直径和中点性质，得，，根据切线性质和勾股定理可得． 【详解】解：连接， ∵菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．(23-24九上·陕西榆林高新区·期末)如图，在四边形中，，，对角线、相交于点，若四边形是菱形，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，得到，再由菱形的性质得到，则，进而得到，再由对角线相等的平行四边形是矩形即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 12．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且，连接，相交于点G．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，由菱形的性质可得，结合题意可得，再证明，即可得证． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 13．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定；根据菱形的性质可得，，，根据已知，得出，进而证明，根据全等三角形的对应边相等，即可得证． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)已知拋物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)若点是直线上第一象限内的一个动点，将抛物线进行平移得到拋物线，点的对应点为点，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；平移方式见解析 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线L的表达式为； （2）解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由： 点，点， ， 如图，当四边形为菱形时， 过点P作轴于点C， 令，则， ， ， 令，则， ， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为菱形， ， ， ，， ∵点的对应点为点， ∴抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ，， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 综上所述：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；或先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位；或先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 15．(23-24八·第02讲矩形的性质和判定（知识解读达标检测）-·)如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，根据已知先判定出四边形是平行四边形，再根据菱形性质得出，根据矩形的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． 地 城 考点02 菱形的判定 1．(22-23九上·陕西咸阳武功县·期末)如图，在中，，，点D为的中点，连接，过点D作，且，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明为等边三角形得到，根据菱形的判定定理可证得结论． 【详解】证明：∵，且， ∴四边形是平行四边形． ∵为的斜边上的中线， ∴． ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明为等边三角形是解答的关键． 2．(23-24九上·陕西西安高新逸翠园中学等学校·期中)如图，已知四边形，，请用尺规作图法，在边上求作一点，在边上求作一点，使四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线分别交，于点E，F，即可． 【详解】解：如图，E，F即为所求．    理由：设交于点O， 根据作法得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，作出线段的垂直平分线是解题的关键． 3．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在四边形中，，对角线相交于点，平分，过点作分别交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，推出，即可得出结论； （2）先根据勾股定理得出，再证明，得出，求出，再证明，得出，求出，，再根据勾股定理求出，进而可求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ 4．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 5．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． 6．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据，求得四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，由菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 四边形是菱形． 7.如图，在中，，为边的中点，连接，过点A作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，进而可根据菱形的判定得出结论； （2）由平行线的性质可得出，设，，运用勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵中，，D为边的中点， ∴． ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即 解得，（负值舍去） ， ∴． 8．(24-25九上·陕西咸阳三原县·期末)如图，四边形和四边形均为平行四边形，点在的延长线上，和的延长线交于点，连接，连接分别交于点，，已知． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，最后证明四边形为正方形即可； （2）证，再证明，得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形和四边形均为平行四边形， ，， 即， 四边形为平行四边形，                  ， ， 四边形为菱形，                  ， ， 四边形为正方形； （2）解：∵四边形都是平行四边形， ∴，， ， 由（1）知， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 9．(24-25九上·陕西西安高陵四中教育集团·期末)如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的性质求得，推出，再证明四边形是平行四边形，据此即可证明平行四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 10．(19-20九上·河南平顶山·期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形． 【答案】详见解析． 【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，证出四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论． 【详解】证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC平分∠BAD． ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大． 地 城 考点03 矩形的性质 1．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，若点A的坐标是，点C的坐标是，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，两点间的距离公式，根据四边形为矩形，得，因为点A的坐标是，点C的坐标是，则由勾股定理求得，即可作答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， 即， 故选：A． 2．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图，在矩形中，，，点，分别在边上，，、交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，由勾股定理得到，则，再证明，由其性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，点分别在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交于点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个根，则这个矩形的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系得出矩形的长与宽的和，从而得出答案． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根， ∴矩形的长与宽的和为10， 则矩形的周长为20， 故答案为：20． 4．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 5．(24-25九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末)如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于，由矩形的性质可得，，，，即得，再根据补角性质可得，即可得，得到，，进而可证，得到，即可得，得到四边形的周长，可知当时，取最小值，此时四边形的周长，利用求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 当时，取最小值，此时四边形的周长，如图，此时点与点重合， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴四边形周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 6．(24-25九上·陕西宝鸡高新区·期末)如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，以为边向右作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为边向右作等边，连接，利用可证得，于是可得，则点在射线上运动，过B作于，由垂线段最短可知，此时最小，最小值为的长，延长交延长线于F，可得，然后通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 如图，以为边向右作等边，连接， 则，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点N在射线上运动， 如图，过B作于，由垂线段最短可知，此时最小，最小值为的长， 延长交延长线于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，同位角相等两直线平行，解直角三角形的相关计算等知识点，得出点的运动路线是解题的关键． 7．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，点为矩形的边的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，矩形的性质，相似三角形的判定，根据作一个角等于已知角得方法作，然后根据相似三角形的判定即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交分别为，连接； 以为圆心，长度为半径画弧，交弧于点； 连接，延长交于点； ∴点即为所求； 理由：∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知：， ∴． 8．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)如图，在矩形中，点、在边上，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形为矩形得，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．(24-25九上·陕西宝鸡高新区·期末)【问题提出】 （1）如图1，在矩形中，，，点是边上一点，连接，作交于点，若，求的长； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校的一块劳动实践基地，，，边上的点处有一口灌溉水井，和是两条互相垂直的小路，且，现在沿修了一条延伸至边上的小路（点在上，点在上），发现点到灌溉水井的距离．求灌溉水井到点的距离． 【答案】（1）； 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）证明得到，再代入和计算即可； （2）过作于，先得到，得到，，再根据得到，最后根据得到列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； （2）解：过作于，则， ∵矩形中， ∴， ∵和是两条互相垂直的小路， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴灌溉水井到点的距离． 10．(24-25九上·陕西宝鸡高新区·期末)如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中，     ， ∴， ∴． 11．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)如图，为的对角线，平分，交于点E，过点E作，交于点F，，，． (1)求证：是矩形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要查了矩形的判定，勾股定理的逆定理，锐角三角函数： （1）根据勾股定理的逆定理可得，即可求证； （2）利用锐角三角函数可得，从而得到，在和中，分别利用锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）证明：在中，∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴． 地 城 考点04 矩形的判定 1．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论． 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，则， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 2．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)如图，在中，点E，F分别在边，上，， (1)求证：四边形是矩形． (2)连接 ，若，，平分，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理含30度直角三角形的性质等知识，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由角平分线的定义得到，中，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，在中，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，得到，根据矩形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 3．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为． 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 地 城 考点05 矩形的性质和判定的综合 1．(24-25九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 2．(24-25九上·陕西西安灞桥区东城一中·期末)如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 3．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于点H，设这幢建筑物的高度为，则，根据和的三角函数值得出答案． 【详解】解：如解图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 斜坡的坡度为， ． 设这幢建筑物的高度为，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得， 答：这幢建筑物的高度为． 4．(24-25九上·陕西榆林榆阳区·期末)公园的小湖中有一座假山，某中学九年级某班数学兴趣小组的活动课题是“测量假山的高度”．测量小队带上测角仪和皮尺进行现场测量，如图，首先把测量仪放在处，测得假山顶的仰角为，向后退了15m到达处，在处测得假山顶的仰角为，测角仪的高，请你计算假山的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】假山的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质等知识； 过E点作于G，则有，从而，在中，利用正切函数关系即可求得，从而求得假山的高度． 【详解】解：过E点作于G， ∵， ∴， ∴； 由题意，得四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴； 在中，， ∴， 即， 解得：， 则， 答：假山的高度为． 5．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)某数学实践小组的同学把测量某塔作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表： 课题 测量某塔的高度 测量工具 皮尺、标杆、测角仪等 测量方案示意图 说明 如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度为时，恰好测得点M的仰角为；某一时刻，塔在阳光下的影子为，来回调整标杆的位置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D，此时测得m，．已知标杆的高度为，，，，点D，C，A，N在一条直线上． 请根据上述方案及其数据求出这个塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】这个塔的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点B作于点F，得四边形是矩形，则，再证明，得，解得，即可作答． 【详解】解：过点B作于点F， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴这个塔的高度约． 6．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，在四边形中，，过点作交于点，过点作于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得到，推出， 证四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定； （2）由勾股定理求出，由题意易证，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：，即， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形； （2）解：，，， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ，即， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题关键． 7．(24-25九上·陕西咸阳乾县吴店九年制学校·期末)如图是小辰绘制的在家测量对面一幢楼房高度的示意图．图中点，均在同一平面内，小辰在家测量时的位置在点处，点到地面的距离，想要测量楼房的高度，小辰在点处测得地面上一点的俯角是，楼房的最高点的仰角是，，，点在上，点到的距离，请根据以上小辰测得的数据，计算出楼房的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】楼房的高度为 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，含角的直角三角形，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． 如图所示，过点作于点，可得四边形是矩形，在中，，可得（负值舍去），，在中，运用仰俯角解直角三角形可得的值，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高度为． 8．(24-25九上·陕西汉中勉县·期末)如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连 接． (1)求证：四边形是正方形； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质，证明四边形是正方形是解题的关键． （）由矩形的性质得出， ，，证出四边形是矩形，再证明，即可得出四边形是正方形； （）由正方形的性质得出，，，得出，求出，在中，由三角函数即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 9．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)问题探究】 （1）如图1，为矩形的对角线，点为上方一点，连接、，点在的延长线上，连接，若，，，试判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校一块劳动实践基地的示意图，其中米，米，对角线为一条走廊，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在边上取点，上方取点，记与的交点为，并规划区域为幼苗种植区，线段为作品展示台（宽度不计），根据要求，，，，请你帮助学校计算作品展示台的长度． 图1                     图2 【答案】（1），理由见解析；（2）米 【分析】（1）根据矩形的性质可得，证明，得到，证明，即可判断； （2）过点作于点，作交的延长线于点，根据勾股定理可得，证明，得到，推出，证明，根据相似三角形的性质求出米，利用勾股定理求出米，证明四边形是矩形，得到米，进而得到米，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，过点作于点，作交的延长线于点， 四边形是矩形， ，米，米， ， 米，米，米， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 米， 米， ，，， ， 四边形是矩形， 米， 米， 米， ，， ， ，即， 米． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 10如图，是的内接三角形，是的直径，平分交于点D，过点D作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由是的直径，得，则，连接，由，得，则垂直平分，所以，即可证明是的切线； （2）由，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，求得，则的半径长为． 【详解】（1）解：∵交的延长线于点是的直径， ， ， 连接， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ， ， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）解：， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 的半径为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理、勾股定理、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点06 正方形的性质和判定的综合 1．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，推导出是解题的关键． 由正方形的性质得，由旋转得，则，所以，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为5的正方形， ， ∵把正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 2．(24-25九上·陕西西安未央区·期末)如图，在正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，列出比例式，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 3．(24-25九上·陕西榆林子洲县·期末)如图，点O为正方形对角线的中点，连接并延长至点E，连接．若为等边三角形，，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质．由四边形是正方形，得，，，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质，勾股定理，线段和差即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， 故选：A． 4．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接、，点、分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理．根据正方形的性质可得到，根据三角形三边关系和垂线段最短得到，即可得到的最小值为，再勾股定理求出，利用求出的长即可． 【详解】解：连接，，，，过作于， ∵正方形的边长为10， ∴，与互相垂直平分， ∴， ∴， ∴当点与点重合，点是与交点时，最小， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值， 故答案为：． 5．(24-25九上·陕西咸阳·期末)如图，正方形的边长为10，点P为的中点，连接、，点M、N分别为、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N，求出，证明，则，得到，此时是最小值，证明，则，即可求出． 【详解】解：取的中点E，连接，过点B作于H，交于点M，过点M作于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点P为的中点，的中点E， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时是最小值， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，添加辅助线找到是最小值是解题的关键． 6．(24-25九上·陕西宝鸡渭滨区·期末)如图，正方形的边长为2，是的中点，连接，是上的动点，过点作分别交，于点，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过F作于G，证明得，再将沿方向平移至，连接，当A、F、H三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】解：过F作于G，则，， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 将沿方向平移至，连接，则，，， 当A、F、H三点共线时，的值最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，两点之间线段最短性质，关键是通过平移变换确定取最小值的位置． 7．(24-25九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期末)七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，灵活运用所学知识解决问题．根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为， ∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为， ∴平行四边形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为： 8．(24-25九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为 ． 【答案】10或14 【分析】解法一：在对角线上截取，使，连接，分两种情况：点H在点O上方，点H在点O下方，分别画出图形，求出结果即可； 解法二：延长，至点G，使，连接，过点E做于点H，根据中位线的性质求出，然后根据正方形的性质得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，在利用勾股定理及一元二次方程求出，再利用正方形的性质得出，即可解答． 【详解】解：解法一：在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O上方时，如图所示： ∵F为的中点． ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O下方时，如图所示： ∵F为的中点， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为10或14． 解法二：延长，至点G，使，连接， 过点E做于点H， ∴ ∴点A是的中点， ∵F为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形对角线，相交于点， ∴，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ， 在中 ， ， 即 解得：，， 当时，， 当时，， 在中 ， ， ∴，或（不符合题意，舍去） 或， 综上所述的长为10或14． 故答案为：10或14 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期末)如图，正方形的对角线交于点O，以为边向外作等边，连接，交于点F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得，，，则点O在线段的垂直平分线上，再根据等边三角形的性质得，则点E在线段的垂直平分线上，由此的是线段的垂直平分线，则，然后由勾股定理分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵是等边三角形， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线 ∴，， 在中， ， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，斜边中线的性质，勾股定理． 10．(24-25九上·陕西宝鸡陈仓区·期末)【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． 求证： ①； ②； 【实际应用】 （2）如图2，有一块正方形的荒地，点E在边上，是荒地中的一条小路，某村民计划以为边开垦一个正方形的菜地，在菜地的对角线的交点O处修建一口水井，并沿修建一条水渠．若荒地的边长为米，小路长为300米，求水渠的长度．（小路宽度以及水井面积忽略不计） 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）米 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）①先根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定即可得证； ②先根据相似三角形的性质可得，再得出，然后证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）连接，先根据正方形的性质、勾股定理可得，米，从而可得的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：①∵在等腰中，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②由（1）①已证：， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵荒地的边长为米，正方形的边长长为300米， ∴米，米，，，， ∴米，米， 米， ∴米，，， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（米）， 答：水渠的长度为米． 11．(24-25九上·陕西延安志丹县·期末)如图，四边形是正方形，绕着点顺时针旋转得到．若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转前后两个三角形全等即可解答，熟练运用旋转的性质是解题的关键． 【详解】解： 绕着点顺时针旋转后得到， ． 四边形是正方形， ， ． 12．(24-25九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式； （1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可； （2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6，轴， ∴，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，，， 把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为， 设， ∴， ∵的面积等于四边形的面积， ∴， 解得， ∴或． 13．(24-25九上·陕西榆林横山区·期末)【问题初探】 （1）如图1，和按如图位置放置，，，．连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，有一块边长为的正方形商业区，在正方形商业区内部有一块三角形果蔬区，区域是以为斜边的等腰直角三角形，，时令水果店E在边上，为方便周围居民生活，现沿着，修两条人形步道，根据实际设计思路已知，求时令水果店E到商业区的出口B的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）连接，作于，证明，得出，从而可得，，进而可得，证明，由相似三角形的性质结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）∵在和中，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接，作于， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．(24-25九上·陕西渭南合阳县·期末)【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值．    【答案】（1） （2）长度的最小值为 （3）小道的最小值为米 【分析】（1）利用三角形三边关系，结合圆的性质可完成证明； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上取，连接，，可见，，即是的最小值，再根据勾股定理求出的长，然后减掉半径即可； （3）根据等边三角形的性质得到，求得，设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，得到点在上，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上任取，连接，，可见，，即是的最小值．    在中，，，， ， ， ． 即长度的最小值为； （3）是等边三角形， ， ， ， ， 设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，   ，， 垂直平分， 点在上，， ， 米， 米， ∴， ∵（米）， （米）， 答：小道的最小值为米． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的点的最短距离、正方形的性质、勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆外一点到圆上的点的最短距离和勾股定理是解题的关键． 15．(24-25九上·陕西西安鄠邑区·期末)【提出问题】（1）如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，点不重合），求出四边形的面积； 【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点．要在菜园的下方建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【答案】（1）1 （2）32 【分析】（1）根据正方形的性质可得，再根据得出答案； （2）先取的中点为G，连接，根据菱形的性质及直角三角形的性质可得是等边三角形，即可得，接下来说明是等边三角形，再证明，可说明储藏间的面积等于三角形的面积，然后根据相似三角形的性质得出，可求出，最后设为，并表示出，再根据面积相等得出方程，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，边长为2， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）如图所示，取的中点为G，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 同理可得． ∵， ∴∴是等边三角形， ∴．． ∵， ∴， ∴， ∴储藏间的面积等于三角形的面积， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设为，则， ∴， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴菱形菜园围一圈篱笆需要． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，中位线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 16．(24-25九上·陕西西安蓝田县·期末)如图，在四边形中，分别是边上的点，且交于点． (1)如图①，若四边形是正方形，求证：； (2)如图②，若四边形是矩形，平分分别交于点，当点为的三等分点，且时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据正方形的性质，得出，，推出，利用证明，即可得出； （2）作于，结合矩形的性质，证明，设，则，分“当时”和“当时”两种情况讨论，根据，求出、，根据勾股定理求出的长，然后分两种情况求解即可 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如解图，过点作于点， 四边形是矩形，平分， ，， ，， ， ， ， ， ； 设，则， 点为的三等分点， 分以下两种情况： ①当时，，则， 解得， ； ②当时，，则， 解得， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 17．(24-25九上·陕西榆林神木·期末)（1）如图①，在正方形中，E为边上一动点，将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N． 【问题探究】 ①求证：； 【问题解决】 ②当时，若，求正方形的边长； 【实际应用】 （2）如图②，有一块形状为正方形的纸片，小李要在边上找一点E，然后将沿折叠，得到，过点F作直线，分别交边于点M，N，小李沿着裁剪交边于点P，沿着裁剪交于点Q．当时，点P为线段的中点吗？请说明理由． 【答案】（1）①见解析，②；（2）点是线段的中点，理由见解析 【分析】（1）①根据正方形和平行线的性质得，由折叠得：，推出，即可得证；②根据相似三角形的性质得，继而得到，，得到，得，，根据勾股定理得，再代入，可得结论； （2）证明得，，根据，推出，，继而得到，再根据，可得，即可得证． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ， 由题意易得，四边形为矩形， ， ∴由折叠得：， ， ．                          ②解：由①知， ， ，              四边形为矩形， ，             ，              解得或（不符合题意，舍去）， ， ，                                 ， ， 正方形的边长为．                                     （2）证明：点P是线段的中点，理由如下： ， ，                           在和中，， ， ，                              ， ， ， ， ，                                ， ， ， 为的中点． 【点睛】本题考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．(23-24九上·陕西西安蓝田县·期末)问题提出 （1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明； 问题解决 （2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．      【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接，取的中点，连接、．证明，可得结论； （2）利用正方形的性质和勾股定理求得，由，证明四点共圆，求得，推出是等腰直角三角形，据此计算可得结论． 【详解】（1）证明：如图①中，连接，取的中点，连接、． ，， ，， ， ，，，四点共圆； （2）解：∵在正方形中，，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 地 城 考点07 与菱形有关的计算和证明 1．(24-25九上·陕西西安西安理工大学附属中学·期末)如图，四边形是菱形，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，根据菱形的性质得出，，证明四边形是平行四边形，得出，然后根据等式性质即可得证． 【详解】证明∶∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即． 2．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，在四边形，，连接，点为的中点，连接并延长交于点，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 由点O为的中点得到，由得到，，证得，得到，进而推出四边形是平行四边形，再根据即可得证． 【详解】证明：∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 3．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，在四边形中，，，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题考查了尺规作图以及菱形的定义，以点为圆心，以为半径画弧，交边于一点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，则，故四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：菱形，如图所示： 4．(24-25九上·陕西西安高新区·期末)如图，是的角平分线，过点D作交于点E．交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的边长为 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键. （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可； （2）根据含的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：, 四边形是平行四边形， 是的角平分线， , , , , , 平行四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于, ,, , 由（1）得：四边形是菱形, , , , 平分, , , , , 由勾股定理得，, , 菱形的边长为． 5．(24-25九上·陕西咸阳永寿县仪井中学·期末)如图，是平行四边形的对角线，请用尺规作图的方法在边上分别求作一点E，F，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线，平行四边形的性质，菱形的判定．作对角线的垂直平分线分别交边于点E，F，则四边形是菱形． 【详解】解：如图，四边形是菱形． 由作图知，是对角线的垂直平分线， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是对角线的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 6．(24-25九上·陕西榆林府谷县·期末)如图，四边形是菱形，连接，分别过点A作于点E，于点F，、分别交于点G、H．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 7．(23-24九上·陕西西安交通大学附属中学·期末)尺规作图：如图，在中，．请在平面内找一点，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图，菱形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握作图技巧是解题的关键．根据作图技巧画图即可． 【详解】解：分别以为圆心，为半径画弧交于点，连接，即四边形是菱形． 8．(23-24九上·陕西西安莲湖区·期末)如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：， (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握三角形全等的判定和菱形的判定是解题关键． （1）证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ． （2）证明：， ， 由（1）已证：， ， ， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 9．(23-24九上·陕西咸阳秦都区·期末)如图，在中，两条对角线交于点O，且平分．      (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得，再利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明； （2）根据“菱形的对角线互相垂直”知，然后利用勾股定理可求得的长，最后利用“菱形的四边相等”即可得到答案． 【详解】（1）∵ 四边形 是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）∵ 四边形是菱形， ，， ，， ， 四边形的周长． 10．(23-24九上·陕西榆林府谷县·期末)如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，由菱形得到，利用“”即可证明，进而得到，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】证明：四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ． 地 城 考点08 与矩形有关的计算和证明 1．(23-24九上·陕西咸阳杨陵区部分学校·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点．线段的两个端点均在格点上，按要求完成下列作图． (1)在图①中，在线段上找到一点，使； (2)在图②中，画出一个四边形，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且为格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，轴对称的定义和中心对称的定义． （1）取格点，连接与交于点E； （2）以为对角线，作矩形即可． 【详解】（1）如图①所示，点即为所求； （2）如图②所示，矩形即为所求（答案不唯一）． 2．(23-24九下·陕西汉中勉县·期末)如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 3．(24-25九上·陕西渭南初级中学·期末)如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．先利用矩形的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件推出角相等，最后通过全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ． 4．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，在四边形中，，连接，点是对角线的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而，再根据“等边对等角”即可证明． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∴． 5．(23-24九上·陕西榆林榆阳区第十中学·期末)如图，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在边上，连接，，交于点H． (1)求证： ①平分； ②H是的中点； (2)连接，若平分，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)1 【分析】（）旋转性质得，从而有，由根据矩形的性质可得，通过平行线的性质即可求解； 过点作于点，证明，由性质可得，再证明即可； （）作于点，由（）得出，，再通过全等三角形性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，      由旋转性质得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 如图，过点作于点，      由①可知， 又∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点为中点； （2）解：如图，作于点，      由()可知，， ∴，， ∵，平分， ∴ ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 6．(24-25九上·陕西铜川·期末)如图，在矩形中，于点E，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含的直角三角形，熟练掌握是解题的关键． 根据垂直定义与，得，结合矩形的性质得，然后利用勾股定理得到． 【详解】∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴． 7．(24-25九上·陕西宝鸡扶风县·期末)如图，在四边形中，，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定和性质． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质可知，然后可求的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，点F是的中点， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴． 8．(24-25九上·陕西西安高新区·期末)如图，四边形是矩形，点F在线段的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，再证明，得到，最后由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ， ， 即． 9．(24-25九上·陕西商洛·)如图，点E为矩形的边上一点，连接，，将绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定等知识． 根据矩形的性质得到由旋转的性质得到,即可得到，又由，即可证明． 【详解】证明：∵点E为矩形的边上一点， ∴ ∵将绕点A逆时针旋转得到线段， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴． 10．(24-25九上·陕西咸阳永寿县仪井中学·期末)如图，在中，是边上的高，E，F分别是边的中点，，，．求的周长． 【答案】的周长为12． 【分析】本题考查的直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理.由是边上的高，、分别是、的中点，可得，，，从而可得答案． 【详解】解：是边上的高，、分别是、的中点，，， ，， 、分别是、的中点，， ， ∴的周长为． 11．(24-25九上·陕西榆林府谷县·期末)如图，在矩形中，对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，交于点E，．求的度数． 【答案】 【分析】连接，先证明，可得，证明，结合已知证明为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．(24-25九上·陕西渭南富平县·期中)【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，是从入口通往三个观光点的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点无法直接到达观光点，为方便旅客顺利、便捷地从观光点到达观光点（观光点分别在上），现要在上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元/，桥梁的造价为100万元/，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 【答案】（1）①见解析，②；（2）400万元 【分析】（1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；②由得到，在中，运用勾股定理即可求解； （2）延长至点，使得，连接，先证明，则，则，由上知，那么，同上可得，，则，此时，那么，即可求解总造价． 【详解】（1）①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②解：，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， 由上知， ∴， 在中，， ∴同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴总造价为：（万元）． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确构造全等三角形是解题的关键． 13．(23-24九上·陕西宝鸡金台区宝鸡第一中学·期末)如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，， ．请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】矩形，理由见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后由矩形的判定方法可得结论． 【详解】解：四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 地 城 考点09 与正方形有关的计算和证明 1．(24-25上·陕西榆林府谷县第四中学·期末)如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于点，交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)a 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得证； （2）先根据证明，得出，再根据正方形中，，即可得到，从而可求得的长． 【详解】（1）证明：∵的垂直平分线交于，交于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 2．(24-25九上·陕西西安碑林区·期末)如图，，分别是正方形的边，的中点，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定． 先根据正方形的性质推得，，，由此证明后即可根据全等三角形的性质得证． 【详解】证：正方形中，，， 又，分别是正方形的边，的中点， ， 在和中， ， ， ． 3．(24-25九上·陕西咸阳杨陵区·期末)如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（E在上，F在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D，E，F，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． (1)证明：； (2)若，请计算儿童活动区的面积． 【答案】(1)见解析； (2)儿童活动区的面积为． 【分析】（1）将绕点D逆时针旋转得到．证明，则即可得到； （2）求出．．由（1）可知，，设，则，．在中，，则，求出，即，根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，将绕点D逆时针旋转得到． ，． ． 即． 在和中， ， ． （2）解：∵四边形是正方形，． ． ． 由（1）可知，，设，则，． 在中，， ，即， ． 故儿童活动区的面积为． 【点睛】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 4．(24-25九上·陕西西安莲湖区·期中)在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分 【分析】(1）如图1，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图2，过作于N，于M，根据图形的面积得到，于是得到结论； （3）如图3，过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为． （2）解：如图2，过作于N，于M， ， ， ， ， ，． ， （3）解：如图3，过作，，则，， ， ， ， ， ，， ，解得米， 米， 当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 5．(24-25九上·陕西铜川·期末)如图，在中，，请用尺规作图法，求作正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图——画线段，熟练掌握是解题的关键．以点A为圆心，以边长为半径画弧，以点C为圆心，以边长为半径画弧，两弧交于点D，连接，则，根据，即得四边形正方形． 【详解】解：如图，四边形即为所求作的正方形． 6．(23-24九上·陕西西安铁一中学·期末)如图，在正方形中，点E、F分别是和上的点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用正方形的性质得到，再证明，则，得到，即可得到结论． 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角等知识，证明是解题的关键． 【详解】解；∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．(23-24九上·陕西咸阳礼泉县·期末)如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且，连接、、、．求证：四边形是正方形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 通过证明，先得出四边形是菱形，再证明四边形中一个内角为，从而得出四边形是正方形的结论． 【详解】证明：∵正方形， ∴， ， ． ． ，． 四边形是菱形． ，， ． ． 四边形是正方形． 8．(23-24九上·陕西渭南蒲城县·期末)如图，四边形是正方形，点E为内一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的性质．先证明，．，．可得．再证明，从而可得结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 9．(23-24九上·陕西延安志丹县·期末)“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式，我们一起来动手、动脑玩转数学吧．如图①，折一折：将正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接． (1)_______°； 转一转：如图②，将图①中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q，连接． (2)猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)45 (2)，详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）由翻折的性质可知，，再根据正方形的性质求解； （2）延长到，使，证明，即可得到结论； （3）根据题意和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由翻折的性质可知，， 正方形纸片， ， ， ， ， ； （2）解：延长到，使， 正方形纸片， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得或． 10．(23-24九上·陕西宝鸡凤翔区·期末)【问题提出】 （1）如图①，正方形的对角线与相交于点，点为边的中点，连接，若，则正方形的边长为 　 　； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点是边上一点，且点不与、重合，过点作的垂线交延长线于点，连接，试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某果园的平面示意图，该果园共有、、、、五个出口，其中出口在边上，已知．米，米，米，，、为果园内两条小路，现在的中点处修建一个临时库房，沿修一条运输通道．试求该运输通道的长度． 【答案】（1）6 ；（2）是等腰直角三角形；（3） 为米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可解决问题； （2）根据正方形的性质证明，得，进而得出是等腰直角三角形； （3）取的中点，连接，根据三角形的中位线定理得，，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）正方形的对角线与相交于点，点为边的中点， 是的中位线， ， 正方形的边长为6， 故答案为：6； （2）是等腰直角三角形， 理由：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）取的中点，连接，如图③， 米，米， （米）， （米），（米）， 为的中点， ，（米）， ， （米）， 即该运输通道的长度为米． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $