第一章特殊四边形专项训练1　-　2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版2025-2026九年级上期第一章特殊四边形专项训练1 一、选择题：(本大题12个小题，每小题4分，共48分) 1．（2022陕西）在下列条件中，能够判定为矩形的是（        ） A． B． C． D． 2．（2022衡阳）下列命题为假命题的是（        ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 3．（2022自贡）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（       ） A． B． C． D． ( 6题图 ) ( 5题图 ) ( 4题图 ) ( 3题图 ) 4．（2023湖南）如图，菱形中，连接，若，则的度数为（     ）  A． B． C． D． 5．（2024成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023浙江）如图，在菱形中，，则的长为（     ）     A． B．1 C． D． 7．（2024甘肃）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）A．6 B．5 C．4 D．3 ( 9题图 ) ( 8题图 ) ( 7题图 ) 8．（2023乐山）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（     ）A．2 B． C．3 D．4 9．（2024临夏）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（     ）A． B． C． D． 10．（2024武汉）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（     ）   A． B． C． D． ( 12题图 ) ( 11题图 ) ( 10题图 ) 11．（2023武威）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（     ）  A．2 B．4 C．5 D．6 12．（2024重庆）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A． 2 B． C． D． 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分) 13．（2022邵阳）已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为_________． 14.（2023福建）如图，在菱形中，，则的长为___________． ( 16题图 ) ( 15题图 ) ( 14题图 ) 15．（2023怀化）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________． 16．（2024广西）如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为 ． 17．（2023武威）如图，菱形中，，，，垂足分别为，，若，则________． ( 18题图 ) ( 17题图 )     18．（2022自贡）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 三、解答题 19．（2024重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： ( 19题图 ) （1）如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴① ，． ∵点是的中点， ∴② ． ∴（AAS）． ∴③ ． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： ④ ． 20．（2024陕西）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． ( 20题图 ) 21．（2024长春）如图，在四边形中，，是边的中点，． 求证：四边形是矩形． ( 21题图 ) 22．（2023张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，． （1）求证：； （2）若时，求证：四边形是菱形． ( 22题图 ) 23．（2022邵阳）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． ( 23题图 ) 24．（2022遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌；（2）判定四边形AODF的形状并说明理由． ( 24题图 ) 25．（2024青海）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____ ①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $$