第1章 特殊平行四边形综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 江西专版）

第一章综合评价 11.如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开， 16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上，且 折痕为AE,顶点B的落点为点F,则四边形ABEF是 AQ=AD,连接DQ并延长，与边BC交于点P,求线段AP的长， (时间：120分钟满分：120分) 12.如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y1 轴上，B(8,7),D(5.0),点P沿A→B→C-O 一，单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） L.下列性质中，菱形具有而矩形不具有的是 运动，连接OP,DP,当△ODP为等腰三角形 时，点P的坐标为 A邻角互补 B.内角和为360 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）O C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD 13.(1)如图，∠ABC=∠ADC=90°，O是AC的中点.求证：OB=OD; 若测得点A,C之间的距离为6cm,点B,D之间的距离为8cm,则线 段AB的长为 A.5 cm B.4.8 cm C.4.6 cm D.4 cm 17.如图，四边形ABCD是正方形，E,F分别是AB,AD上的点，且BF ⊥CE,垂足为G.求证：CE=BF (2)如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，AE∥BD,且 AE=BD.求证：四边形AEBD是矩形. (第2题图) (第3题图) 3.如图，在矩形ABCD中，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中 点.若AB=2,AD=4,则图中阴影部分的面积为 A.3 B.4 C.6 D.8 4.如图，将一张矩形纸片对折，然后沿着图中的虚线剪下，得到①②两 部分，将①展开后得到的平面图形是 () A.三角形 B.不规则的四边形 C.菱形 D.一般平行四边形 14.如图，点E是正方形ABCD的边AB上·点，请仅用无刻度的直尺 分别按下列要求画图.（不写画法，保留画图痕迹）】 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） (1)在图①中，在CD边上找一点F,使CF=AE 18.如图，四边形ABCD是矩形. (2)在图②中，在BC边上找一-点G,使CG=AE. (1)在图中作对角线BD的垂直平分线MN,分别交AD,BC于点M, N,垂足为点OX要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)： (第4题图) (第5题图) (第6题图) (2)在(1)中，连接BM和DN,求证：四边形DMBN是菱形. 5.如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC,交BC边于 点E,交AD边于点F,分别连接AE,CF.若AB=5,∠DCF=30, 则EF的长为 ( ) A.2 B.3 c 图① 图② D.5 6.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在CD上，且DM=2,N是AC 上一动点，则DN十MN的最小值为 A.6 B.8 C.10 D.82 15.如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E,AE 二，填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 与CD交于点F, 7.在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD=4cm,那么斜边AB的长为 (1)求证：△DAF≌△ECF: cm. (2)若∠ECF=40°，求∠CAB的度数 8.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是 19.下面是证明直角三角形性质时的两种添加辅助线的方法，选择其中 cm 9.如图，在一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm.若墙上钉子间的 种方法，完成证明. 距离AB=BC=16cm,则∠1的度数为 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点 ☐寸 求证：CD=2AB, (第9题图) (第11题图) 10.矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长 为1cm,则矩形的面积为cm. 第1页（共6页） 第2页（共6页） 第3页（共6页） 方法一 方法二 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 【知识应用】 证明：如图，延长CD到点E,使证明：如图，取BC的中点E,连 2L,如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是对角线AC上的一点，连接 (2)如图，在矩形ABCD中，点M,N分别在边AD,BC上，将矩形 得DE=CD,连接AE,BE 接DE. DE,过点E作EF⊥DE,交AB于点F,以DE,EF为邻边作矩形 ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点 DEFG,连接AG. C处 (1)求证：矩形DEFG是正方形： ①如图②，P为线段MN上一动点（不与点M,N重合），过点P (2)求AE+AG的值. 分别作直线BM,BC的垂线，垂足分别为E和F,以PE,PF 为邻边作平行四边形PEGF,若DM-13.CN-5,求平行四边 形PEGF的周长： ②如图③，当点P在线段MN的延长线上运动时，若DM=m, CN=n.请用含m,n的式子直接写出GF与GE之间的数量 关系. 22.如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交 于点O,点E在对角线BD上，连接AE,作∠AEF=120°且边EF与 直线DC相交于点F, 20.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B' 处，点A落在点A'处 (1)求证：B'E=BF: (2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间的等量关系，并给 予证明， 名师测 (1)求菱形ABCD的面积： (2)求证：AE=EF 六、解答题（本大題共12分） 23.【课本再现】 (1)下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题： ※5.如图，在矩形ABCD中，AB=3, AD=4,P是AD上不与A和D 重合的一个动点，过点P分别作 AC和BD的垂线，垂足为E,F 求PE+PF的值 如图①，连接PO,利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面 积的子，可求出PE+PF的值，请你写出求解过程； 第4页（共6页） 第5页（共6页）》 第6页（共6页）阶段微测试（八） 为矩形，∴AD∥BC,∴∠B'EF=∠BFE.,∠BFE=∠BEF,∴BF=BE,,BE m≠0， 1.A2B3D4C5B6C.D8C9.- 10.一3（答案不装一）11.4 BF:(2)a,b.c之向的等量关系是a+=,证明如下：由(1)知BE=BF=c.由折叠 △=-4ar=[-(3m-D-4m(2m-1)=1.解得m=2.方程为2r2-x+3=0, 的性质，得∠A'=∠A=90,A'E=AE=a,A'B‘=AB=A在Rt△ABE中，由勾股定 12.413.解：(D直线y=x十b与反比例两数y=左(x>0)的图象交于点A(23 理，得AE十AB=BE,即a+=C.21.解：(1)过点E作EM⊥AD于点M, 解得=受，=1.17，解：三位同学的解法都有误，三个人的解法都不够全面。正确 EN⊥AB于点N.由题意易得四边形ANEM是矩形，.∠MEN-9O.,四边形 3=2+b3=专6=1k=6直线AB为y-+1,反比例函数为y=:2令 ACD是正方形，∴，∠EAD=∠EAB=45.,EM⊥AD,EN⊥AB,.EM=EN, 的解法如下：由题意，得2a十2或2十或2或2么十0或 d一=1 1a-b=2 a-b=2 ∠EMD=∠ENF=90.:EF⊥DE,∠MEN=90°，.∠MEN=∠DEF=9O', =0,则y=+1=.0,,把y=1代人y=三，解得x=6C6,1)B0=6. .∠DEF-∠AF=∠MN-∠MF,即∠DM=∠FN,△EMD2△ENF(ASA) a或=, =，=子= 或 ,ED-EF,,.矩形DEFG是正方形：(2)，四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是 b=-1 或 2 18.解：(1) BC∥x轴.△ABC的面积S=2×6×(3-1)=6,14,解：(1)B(-3,2） 正方形，.D=DE,IDC=DA=AB=4,∠GDE=∠ADC=90',.∠GDE-∠ADE ∠ADC-∠ADE.即∠ADG=∠CDE..△ADG≌△CDE(SAS),.AG=CE,∴.AE C(-1,2)D(-1,受)(2)根据题意，得A'(m一3，号)C(m12)代人y= -10x2+3+1-0(2)-言互为倒数(3)：方程2023x+:-1=0的两根是 A=AE+EC=AC=2AD=4√Z.22.解：(1)'四边形ABCD是菱形，AB=C 又，∠ABC-60,,△ABC是等边三角形.菱形ABCD的边长为1O,,AB=AC (m=4, 1-一1,2一2023心该方程的“友好方程”是一子+缸+2023-0，即2-br一2023 10,易得BD=105,∴.Smum=7AC·BD=号×10×105=503：(2)连接EC =0的两根为n=-1,=2025,则(x一1)2一r十b=2023可化为(x-1)2-b(r 7(m一1)=k, 得k立 。m的值为4.反比例函数的表达式是y一是 四边形ABCD是菱形，∠ABC=6G,.EO垂直平分AC.∠BCD=120',.EA=EC, 1)一2023=0.x一1=一1.或x-1=2023,解得n=0,4=2024.∴.该方程的解为 x1=0,=2024.19.解：(1)①.=9，=10②x-(2+1).x+t(n+1)-0x 综合评价答案 ∠DCA=60',∠EAC=∠ECA,∠ACF=120'.∠AEF=120',∠EAC+∠EFC =1,=H+1(2)x2-9x+20=0,这里a=1,b=-9,e=20.后-4ae=(-9)-4 第一章综合评价 =360°-∠AEF-∠ACF=360°-120°-120°=120°.，∠ECA+∠ECF=120°， ∴.∠EFC=∠F,.EC=EF,.AE=EF.23解：(1)如图①，连接P,四边形 ×1×30=1>0,x=二（二》士1_9，即有=4，n=5猜想正确。20.解：设 1D2.A3.B+.C5.A6.C7.88.39.12010.311.正方形12.(8， 2】 ACD是矩形，AB=3,AD=4,.Sm=12,OA=(OC=OB=OD,S△m=Sam, AB的长为xm,则BC的长为(60一3x)m.(1)根据题意，得x(60一3x)=252.整理，得 4)或（号7）或(0,5》13，(1)证明：“∠ABC=∠ADC=90,0是AC的中点.OD ∠AC=90,BC=AD=4,.AC=√A+=√/+4=5，SD=5△= r2-20x+84=0.解得x1=6,=14.当x=6时，60-一3x=60-3×6=42>25,不符合 =号AC,OB=子AC,OB=OD,(2)证明：：AE/BD,AE=BD,四边形AEBD是 Sax=Sao.So=4Sm=X12=3,QA=0D=AC=号Sw= 题意，含去.当x=14时，60-3.x=60一3×14=18<25，满足题意.答：花园的面积可能 是252m2,此时边AB的长为14m:(2)根据题意，得x(60一3.x)=330.整理，得x2 平行四边形.AB=AC,D为BC的中点，.AD⊥BC,∠ADB=O°，.四边形 Se+Sw=OA·PE+OD.PF=×号X(PE+PF)=3∴PE+PF-号： 20x+110=0.,△=一4d=(一20)2一4×1×110=一40<0，.此方程没有实数根 AEBD是矩形.14.解：(1)如图①，点F即为所求(2)如图②，点G即为所求 (2)①，四边形ABD是矩形，.AD=BC,∠A=∠ABC=90,AD∥BC,.∠DMN= ,花园的面积不可能是330m2.21.解：(1)D(2)一x2一6x十5=一(x2+6x)+5 ∠BNM.连接BP,过点M作MH⊥BC于H,如图②，则四边形ABHM是矩形，∴.M日 -(x2+6.x+9-9)+5=-(x+3)2+9+5=-(x+3)2+14.(x十3)≥0..一(.x+ =A.由折叠的性质，得DM=BM,∠DMN=∠BMN,'.∠BMN=∠BNM,∴.DM 3)0,.-(x+3)2+14≤14，即-x-6x+5有最大值14：(3)，2+y2+2x-4y4 BM=BN=13,.AD=BC=BN+CN=13+5=18,.AM=AD-DM=18-13=5. 5=0,.x2+2r+1+y2-4y+4=0,∴.(x+1)2+(y-2)2=0.义(x+1)2≥0，(y 在R△AM中，由勾股定理，得AB=√MB一AF=3-子=12，∴.MH=12 2)20,x+1=0,y-2=0,.x=-1,y=2,.(x-2)y=(一1一2)2=9.22.解 图① S6N=SmN+S△M,PE⊥BM,PF⊥BN,2BN·MH=2BM·PE+BN (1)设出发x￥时，点P,Q之间的距离等于2√I7cm,则CP=rm,(CQ= 15,解：(1)将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD=C=C,∠D=∠B=∠E=0, (12-2x)m.在Rt△PCQ中，由勾股定理，得CP+(CQ=PQ,即x十(12一2r)2= ∠DFA=∠EFC. ·PF.BM=BN,∴.PE+PF=MH=12..平行四边形PDGF的周长为2(PE+ (2/7).整理，得52一48x十760.解得■2，■7,6（不符合题意，含去）.答：出 在△DAF和△ECF中，∠D=∠E. .△DAF≌△EF(AAS):(2)".△DAF☑ PF)=2×12=24:②GF与GE之间的数量关系为：GF一GE=√m一n.理由如下：连 发2s时，点P,Q之间的距离等于2√17cm:(2)设出发ys时，△PQC的面积为 DASE. 接BP,过点M作MH⊥BC于H,如图③，则四边形ABHM是矩形，.MH-AB.易得 △ECF,∴.∠DAF=∠F=40.,四边形ABCD是矩形，·∠DAB=90,∠EAB DM=BM=BN=,.AD=BC=BN+CN=m.AM=AD-DM== 6cm,侧CP=ycm,CQ=(12-2y)m根据题意，得号y(12-2y)=6.整理，得y =∠DAB-∠DAF=90°-40°=50，∴.∠EAC+∠CAB=50,由折叠知∠EAC= ∠CAB,·∠CAB=25.16.解：：四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,AD=BC=3, n.∴.MH=AB=√BM-AF=√m-r.'Smn=S△w+S△mN,PE⊥HM, 6y十6=0.解得=3一5，为=3十尽.答：出发(3-5)s或(3十)s时，△PQC的面 ∠B=90,,AC=AB+BC=/4+3=5又AQ=AD=3,AD∥CP,.CQ= PF⊥BN,∴号BM·PE=号BN·MH+号BN·PF,:BM=BN,PE=MH+ 积为6cm,(3)设出发m￥时，点P,Q之间的E离等于2√厅m,则CP=mcm,(CQ AC-AQ=5-3=2,∠CQP=∠AQD=∠ADQ=∠CPQ,∴.CP=(Q=2,.BP=BC (12-2m)am.在R△PCQ中，由勾股定理，得CP+CQ=PQ,即m2+(12-2m) PF,PE-PF=MH=√m一.：四边形PEGF是平行四边形，GF=PE.GE CP=3-2=1.在R△ABP中，由勾股定理，得AP■√AB+BP■√+下 (2/7),整理，得5m2-48r十116=0.”△=一4ac=(-48)1-4×5X116=-16< PF,∴GF一GE=PE一PF=√m一pGF一GE=√ 17.17.证明：四边形ABCD是正方形，，AB=BC,∠A一∠CBE=0, 0,.此方程无实数根.点P,Q之间的师高不能等于27cm.23.解：(1)0和33 ·∠ABF+∠CEBG=90.BF⊥CE,·∠CBG+∠BCE=9O,·∠ABF=∠BCE在 (2)假设代数式2x+3有“不变值”，则方程22+3=x有实数根.原方程可变形为2 ∠A=∠BE, x+3=0,△=b一4c=(一1)2一4×2X3=一230，，原方程没有实数根，这与假 △ABF和△BCE中，JAB=BC, .△ABF≌△BCECASA).CE=BF 设矛盾，.股设不成立，即代数式2十3没有“不变值”：(3)①A=0,.方程x一x ∠ABF=∠BCE, 十b=r有两个相等的实数根.原方程可变形为x2一(b+1)十b=0,∴4=一4a 18.解：(1)如图： (2)四边形ABCD为矩形，∴，AD∥BC,,∠ADB [-(6+1)]-4×1×6b=(-1)=0,∴.h=1:②1≤A2,.方程x-(6+1)x十b= 0有两个不相等的实数根.原方程可整理为(x一1)(x一b)=0,解得x1=1,x=b,∴行 1,A=b-1,又：1≤A≤2.即1≤b-1引2，且b为整数，.b的值为一1.0.2,3. 第二章综合评价 一1十0十2十3=4..所有整数b的和为4 =∠CBD.:'MN垂直平分线段BD,∴.BO=DO,MN⊥BD.在△DAO和△BNO中， 1B2.D3A+.D5.C6A7.28.x(x-1)=219.-410.311.0 第三章综合评价 ∠MDO=∠NBO. 124)或5,4减(-面，+页) 1.B2.A3B4D5B6.D7.8.69,0.号112.3成4 X), .△DM≌△BNOCASA),,MO=NO..四边形DMBN是平 13.解：(1)原方程可变形为x(3.x一2) 或5或613.1)解：0.97×1000=970件).答：1000件产品中合格产品大约有970件： ∠DOM=∠BON. 行四边形.又，MN⊥BD,∴四边形DMBN是菱形.19.解：方法一：，点D是AB的 Q=0,或3一2=0.∴=04=号(2)移项，得2-2z=1.配方，得2-2x十1 (2)解：设袋中共有小球x个.根据题意，得一号，解得r=10.答：袋中共有小球10个 中点，.AD=BD.又DE=CD,.四边形ACBE是平行四边形.，∠ACB=90,,四 ■1+1，(x-1)2■2.两边开平方，得x一1=士2，即x一1一2，或x-1=一②.x 14,解：小南同学的解法不正确.画树状图如下： 开超 边形ACBE是矩形，∴AB=CE:CD=DE=2CE,∴CD=号AB:方法二：点D是 =1十/2，z2=1一厄.14.解：(1)②(2)原方程可变形为x(x一3)=一2(x一3).移 甲城 AB的中点，点E是BC的中点，∴，DE是△ABC的中位线，∴，DE∥AC,,∠DEB= 项，得x(x3)+2-3)=0.(.x-3(x+2)=0.x一3=0，或x十2=0.n=3=-2. ∠ACB=90,DE是EC的垂直平分线，.CD=DB.AD=BD=7AB,CD= 15.解：原式=卫，+》1卫=五，2-3+2=0，x=1,或x=2当x= 乙袋红白红 十1 (r-1)2 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中，摸出的两个球都是红球的 三AH.20.解：I)由折叠的性质，得BF=BF,∠BFE=∠BFE'四边形ABCD 1时，一1y=0,分式，无意义，x=2,即原式=216解：由题盒，得 结果有2种：（红，红，（红，红），P八摸出的两个球都是红球)=。=了15，解：画树 第31页（共48页） 第32页（共48页） 第33页（共48页》