精品解析：辽宁省鞍山市海城市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年海城二中八年数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（30分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 梯形 2. 点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A=70°，∠B=50°，则∠1等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 4. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 14或22 5. 如图，在中，面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为( ) A. B. C. D. 6. 如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，若，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知am＝5，an＝3，则a2m+n值为（ ） A. 30 B. 13 C. 28 D. 75 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（15分） 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=12cm2，那么S△ABE为____cm2． 12. 如图， 已知等边三角形， 作， 点D是延长线上一点， 点E 到点 B，D的距离相等， 且， 则的度数是___________． 13. 如图，，，点，则点B的坐标是________． 14. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 15. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点，作，垂足为，下列结论正确有________． ①；②；③；④；⑤． 三、解答题 16. 尺规作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，在边上作一点P，使P到的两边的距离相等． （2）如图2，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． 17. 如图，在中，平分，交于点，若，，求和的度数． 18. 中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20. 如图，是线段的中点，． （1）求证：； （2）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）分别连接，，求证垂直平分． 21. 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． （1）请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； （2）小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； （3）丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 22. 都等边三角形． （1）如图，求证：； （2）如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 23. 如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点B关于射线的对称点为点D，连接，则交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）当，______； （3）当时，用等式表示之间数量关系，并证明； （4）若为等腰三角形，直接写出的度数______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年海城二中八年数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分：120分． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（30分） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. 直角三角形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形定义，解决本题的关键是掌握轴对称的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，不符合题意； B、平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、梯形不一定是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 点关于轴对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故选：B． 3. 如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A=70°，∠B=50°，则∠1等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可． 【详解】解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°， 则∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠1=∠C=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 14或22 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系，判断出腰和底边，再进行计算即可． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，，三边构不成三角形，不符合题意； ∴等腰三角形的腰长为， ∴它的周长为； 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，以及三角形的三边关系．利用三角形的三边关系，判断出等腰三角形的腰长和底边长，是解题的关键． 5. 如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先根据两点之间线段最短，，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：连接，, 由作图得：是的垂直平分线， ， ， ，为的中点， ， 的面积为，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 6. 如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，若，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长计算公式得到，进而推出，求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．证明，可得，再结合等腰直角三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴的面积为． 故选：C 8. 如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出，，根据，可得，，根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点是点关于对称点， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 9. 已知am＝5，an＝3，则a2m+n的值为（ ） A. 30 B. 13 C. 28 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】将am＝5，an＝3代入原式＝a2m•an＝（am）2•an，计算可得． 【详解】解：当am＝5，an＝3时， 原式＝a2m•an＝（am）2•an＝52×3＝75， 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则． 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由，，可得，从而得出，判断①正确与否；通过证明，得出，判断②正确与否；先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断③正确与否；先证明，再证明，得出，判断④正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 由①②知，， ∴， ∴， 由②知，， ∴， ∴， 故④正确； ∴正确的有①②③④， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（15分） 11. 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=12cm2，那么S△ABE为____cm2． 【答案】3 【解析】 【详解】∵D是BC的中点， ∴S△ABD=S△ABC=×12=6cm2， ∵E是AD的中点， ∴S△ABE=S△ABD=×6=3cm2． 故答案为3． 【点睛】本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 12. 如图， 已知等边三角形， 作， 点D是延长线上一点， 点E 到点 B，D的距离相等， 且， 则的度数是___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练利用相关性质计算角度是解本题的关键． 根据是等边三角形求得，即可得到，再利用等腰三角形的性质可得，利用角度的计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E 到点 B，D的距离相等， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，，，点，则点B的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． 过C和B分别作轴于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过C和B分别作轴于D，于E， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_______________s时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 15. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点，作，垂足为，下列结论正确的有________． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，可判断①；由等边三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；根据∠AFE=60°可判断③；由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，可判断④；根据∠DAC的度数的范围可得∠DAC≠45°，可判断⑤． 【详解】解：①∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC， 又∵AE=BD， 在△AEC与△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（SAS）， ∴AD=CE，故正确； ②∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，△AEC≌△BDA， ∠AFE= ∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°， ∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°， ∴∠BEC=∠CDA，故正确； ③∵∠AFE=60°， ∴∠AFC=120°，故正确； ④∵∠AFE =60°， ∴∠CFM=∠AFE=60°， ∵CM⊥AD， ∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°， ∴MF=CF，故正确； ⑤要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可， ∴AM=CM不成立，故错误； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 三、解答题 16. 尺规作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，在边上作一点P，使P到的两边的距离相等． （2）如图2，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． 【答案】（1）见解析 （2）作图和证明见解析 【解析】 【分析】（1）作出的角平分线与交点即为点，根据角平分线的判定即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法先作，再按照题意作图即可；然后证明，则，即可证明平行． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所作： ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，作一个角等于已知角，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是正确作图． 17. 如图，在中，平分，交于点，若，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线求解，然后由，即可求解 的度数． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 18. 中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， ∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 20. 如图，是线段的中点，． （1）求证：； （2）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）分别连接，，求证垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据得到；结合，得到，利用线段之差解答即可； （3）设，的交点为M，证明，利用等腰三角形的三线合一性质证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：设，的交点为M， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴垂直平分． 21. 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． （1）请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； （2）小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； （3）丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一） （3）不可行，可添加条件为，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）方法一利用定理证明可得；方法二利用定理证明可得； （2），可得，利用定理证明可得； （3）添加条件为，利用证明三角形全等，即可解答． 小问1详解】 解：方法一可行，理由如下： 在和中， ， ， ； 方法二可行，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：只需即可， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：不可行，可添加条件为，证明如下： ， ， 在和中， ， ， ． 22. 都是等边三角形． （1）如图，求证：； （2）如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）证明，可得结论； （2）①如图中，延长到，使得，连接．证明，推出，，，再证明，可得结论； ②根据得到，设，根据列出方程，求出，可得结论． 【小问1详解】 证明：如图中， ∵都是等边三角形 ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图中，延长到，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同法可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②结论：． 证明：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 23. 如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点B关于射线的对称点为点D，连接，则交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）当，______； （3）当时，用等式表示之间的数量关系，并证明； （4）若为等腰三角形，直接写出的度数______． 【答案】（1）见解析 （2）40 （3）；理由见解析 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）根据轴对称的性质得出，，求出 ，根据等腰三角形的性质得出结果即可； （3）在上截取，则等边三角形，证明，推出，根据，即可得出； （4）①当时，②当时，③当时，根据等边三角形的性质，和线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、，则交直线于点E，如图所示： 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： 在上截取，如图： ∵是等边三角形， ∴， 由对称可知：，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对称可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：①当时，如图： 根据轴对称可知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当时，延长交于点E，如图所示： ， ∴垂直平分，即垂直平分， ∵为等边三角形， ∴， ， 根据轴对称可知：； ③当时，如图： ， ∴垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， ∴，，三点在同一条直线上， (不合题意，舍去)， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $