精品解析：浙江省台州市六校联盟2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

六校联盟2025学年第一学期期中联考 高二数学试题卷 （2025.11） 命题：温岭市箬横中学（张芳芳 吕陈佳） 审题：温岭市箬横中学（郑芳） 考生须知： 1.考试范围：选择性必修第一册第一章至第三章3.3.1（抛物线方程） 2.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 3.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的斜率为 C. 直线的纵截距为3 D. 直线不经过第一象限 10. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 过点引圆的两条切线，切点记为，则四边形的面积为 C. 若经过点的直线与圆相交，且弦长为4，则直线方程为 D. 圆上恰有三个点到直线的距离为 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则 非选择题部分 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，且，则__________. 13. 已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为______ 14. 若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是__________. 四､解答题（本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分；共77分） 15. 已知点， （1）求的面积； （2）是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 如图，2025年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部），长为12米，为场地中间分割线，在距离点6米的处放置一只机器犬，在距离点3米的处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点（即），则机器犬将被机器人捕获，点叫成功点. （1）请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点的轨迹方程； （2）现准备在点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，请问信号范围至少为多少米？ 18. 已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）经过右顶点的直线与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为（与不重合），直线与轴的交点分别为和.若，求线段的长. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六校联盟2025学年第一学期期中联考 高二数学试题卷 （2025.11） 命题：温岭市箬横中学（张芳芳 吕陈佳） 审题：温岭市箬横中学（郑芳） 考生须知： 1.考试范围：选择性必修第一册第一章至第三章3.3.1（抛物线方程） 2.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 3.考生答题前，务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 选择题部分 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的直线方程，直接求出倾斜角作答. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，得到双曲线的焦点在轴上，且，即可求解双曲线的渐近线方程． 【详解】由双曲线，可知双曲线的焦点在轴上，且， 所以其渐近线方程为. 故选：B． 3. 已知两条平行直线，则和间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两平行线间距离公式求解即可； 【详解】， 所以由两平行线间的距离公式可得， 故选：D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 5. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知， 故选：D． 6. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线与所成角的余弦值． 【详解】图， 设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ， 又异面直线所成角的范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，一道光线沿直线：经轴反射，反射光线与圆：恰有一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知直线过定点，斜率为，根据直线与圆相切列式求解即可. 【详解】圆：的圆心为，半径， 因为直线：即为， 令，可得，即直线过定点， 根据对称性可知，直线过定点，斜率为， 则直线：，即， 则，整理可得，解得. 故选：C. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据椭圆的定义可得，，结合勾股定理列方程可得，进而结合余弦定理可求得，进而求解即可. 【详解】因为，设，如图所示， 由椭圆的定义可知，，则， 同理，则， 因为，则， 则，化简可得， 则，则（舍去）或， 所以，所以为椭圆的上（或下）顶点， 又， 所以在中，，解得，即. 故选：A 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过点 B. 直线的斜率为 C. 直线的纵截距为3 D. 直线不经过第一象限 【答案】BD 【解析】 【分析】利用代入法判断A；将直线的一般式化为斜截式方程判断BC；画出图象判断D. 【详解】已知直线，即， 则直线的斜率为，纵截距为，B正确，C错误； 再令，得，所以直线不过点，A错误； 作出直线，可知直线不经过第一象限，D正确. 故选：BD 10. 已知圆，则下列命题正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 过点引圆的两条切线，切点记为，则四边形的面积为 C. 若经过点的直线与圆相交，且弦长为4，则直线方程为 D. 圆上恰有三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆的一般方程化为标准方程即可判断；对于B，由题意，可得，，求出，，进而求解判断即可；对于C，当直线的斜率不存在时直线也满足题意，进而判断即可；对于D，先求出圆心到直线的距离为，再结合圆的半径即可判断. 【详解】对于A，由圆，即， 则圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由题意，，且， 而，， 则， 则四边形的面积为，故B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时直线与圆相交于点，弦长为4，满足题意，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 由于，则圆上恰有三个点到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD 11. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左､右焦点，，点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过双曲线左支上点作双曲线的切线交轴于，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据题意求离心率即可；对于B，由题意知反射光所在直线为直线，斜率介于两条渐近线斜率之间；对于C，可得，，直线的斜率不存在，进而得到，然后可得；对于D，可设切线方程，联立得到点坐标即可求解． 【详解】对于A，双曲线，焦点在轴， 则， 所以双曲线的离心率，故A错误； 对于B，如图：反射光所在直线为直线， 根据双曲线的性质可知斜率介于两条渐近线斜率之间， 又渐近线斜率， 所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B正确； 对于C，由题意得，又，， 则，，直线的斜率不存在， 所以， ，又, 所以，故C正确； 对于D，由题意知，切线斜率不为零，可设方程为， 联立得：， ，解得， 即切点的纵坐标， ，解得， 又点在左支上，所以， ，故D错误； 故选：BC． 非选择题部分 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标计算可得，进而结合模的坐标公式求解即可. 【详解】由，则，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 已知F是抛物线C：的焦点，P是抛物线C上一动点，Q是曲线上一动点，则的最小值为______ 【答案】5 【解析】 【分析】由抛物线定义，将最小值转化为点所在圆的圆心到准线的距离减圆半径. 【详解】曲线，即， 设其圆心为，则. 抛物线的准线， 过点作，垂足为，则， 所以. 当共线时，最小，此时最小值为点到直线的距离. 设到直线的距离为，则， 则的最小值为. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据类比性质，可知动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，从而的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径，再对距离与半径进行计算即可. 【详解】如图，由题，当与共线时，则，即，此时的点记作点，则， 所以动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球， 的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径. . ， . 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题；其中第15小题13分，第16小题15分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题17分；共77分） 15. 已知点， （1）求的面积； （2）是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求直线方程，在根据点到直线的距离公式求高，最后利用面积公式计算即可； （2）分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 【小问1详解】 ，则， 即，， 点到直线的距离， 则； 【小问2详解】 设点． ，， 与不垂直， 若，则， ，解得， 点． 若，则， ， 解得，点， 综上，存在点，使四边形为直角梯形，或. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，是的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，，，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接与相交于点，连接， 正方形的对角线和交于点， 又，， 又平面，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接辅助线，利用中位线定理可得，根据线面平行判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，平面的法向量坐标，根据直线与平面所成角的向量公式求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，因为平面平面，平面平面，过点在平面内作的垂线，可得垂线垂直于平面， 又因为，则以为坐标原点，向量，方向分别为，轴的正方向，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 又由，，，可得点的坐标为，点的坐标为， 设平面的法向量为，由，， 有，取，，，可得平面的一个法向量为， 又由，有， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 17. 如图，2025年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部），长为12米，为场地中间分割线，在距离点6米的处放置一只机器犬，在距离点3米的处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点（即），则机器犬将被机器人捕获，点叫成功点. （1）请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点的轨迹方程； （2）现准备在点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，请问信号范围至少为多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，由求解； （2）设出C为圆心的圆的方程，由两圆内含或内切求解. 【小问1详解】 建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 因为， 所以，化简得， 成功点的轨迹方程为； 【小问2详解】 由（1）知：， 设以C为圆心的圆的方程为， 因为信号覆盖追踪机器犬被捕获的过程，即覆盖成功点， 所以两圆内含或内切， 所以，解得， 所以信号范围至少为米. 18. 已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆的方程； （2）经过右顶点的直线与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为（与不重合），直线与轴的交点分别为和.若，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求解； （2）设，进而求出坐标，再根据可求出，，进而求解即可． 【小问1详解】 由题意得，，解得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 如图： 设点，所以， 所以直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 又， 因为，所以，所以， 由题意知，，则，所以，则， 所以. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面为中点，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知为侧面内一动点，记二面角为，直线与平面所成角为，若，求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离散曲率的定义求、、、，即可得； （2）由线面垂直的性质和判断得，结合求得，由为中点，确定的长，结合三棱锥等体积转换求解点到平面的距离即可； （3）根据已知条件与二面角、线面角的定义，推出点在平面上的射影的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线一部分，再结抛物线与直线相交、等体积法，即可求解棱锥体积的最大值． 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， ， ， 所以， 故三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 又，，，平面， 则平面， 又平面，所以，即， 又， 即， 解得， 由平面，平面，得， 则为等腰直角三角形，所以，， 因为为中点，所以，， 又，所以， 因为，则， 则，故， 设点到平面的距离为， 在三棱锥中，有， 所以，则， 故点到平面的距离为； 【小问3详解】 如图，作平面，垂足为，作，垂足为，连接，，， 则，， 因为，所以， 又、平面， 所以，所以， 由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 取的中点为，如图以中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，， 则以为焦点，以为准线的抛物线方程为， 故点的轨迹为该抛物线在三角形内部部分，即图中的曲线部分， 直线斜率为，则直线方程为：， 联立，解得或（结合图形舍） 即， 当与重合时，此时可得在上，使得取最大值， 的最大值满足：， 所以， 三棱锥体积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $