2026年湖南省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试题

2026年湖南省普通高中学业水平合格性仿真模拟考试数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（    ） A．84 B．85 C．86 D．88 3．在中，，则（   ） A． B． C． D． 4．的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知是虚数单位，则复数满足，则虚部为（    ） A． B． C． D． 6．向量与垂直，则实数的值为（    ） A．4 B． C．9 D． 7．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 8．已知，，那么下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 11．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．若奇函数在区间上单调递减，且最小值为，则在区间上（    ） A．单调递增且有最大值 B．单调递增且有最小值 C．单调递减且有最大值 D．单调递减且有最小值 13．函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 15．甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（   ） A． B． C． D． 16．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 17．已知,,,则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 二、填空题 19． ． 20．如图，在长方体中，，，E、F分别是BC、DC的中点，则与所成角的余弦值为 .    21．如图，在四边形中， ，，，，且，则 度. 22．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 . 三、解答题 23．如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 24．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值，以及相应的值. 25．△的内角的对边分别为，已知， （1）求角； （2）若，△的面积为，求△的周长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省普通高中学业水平合格性仿真模拟考试数学试题 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用列举法表示集合A，根据交集的定义即得解 【详解】由题意，， 根据交集的定义， 故选：A 2．一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（    ） A．84 B．85 C．86 D．88 【答案】B 【分析】首先要将数据从小到大排序，然后根据公式（为数据个数，为对应的百分数）计算出指数，再根据的情况确定第百分位数. 【详解】给定的数据为78，70，72，79，80，84，86，88，81，94，排序后为70，72，78，79，80，81，84，86，88，94. 已知数据个数，，根据公式. 当是整数时，第百分位数是第项与第项数据的平均值. 这里是整数，所以第70百分位数是第项和第项数据的平均值，即. 这组数据的第70百分位数是85. 故选：B. 3．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】 ，，. 故选：C. 4．的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出不等式的解集，然后在选项中找出不等式解集的真子集即可. 【详解】因为，所以或，记，要找其充分不必要条件,即找集合的真子集，只有选项A满足题意． 故选:A． 5．已知是虚数单位，则复数满足，则虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，然后求得的虚部. 【详解】依题意， 则， 即， 虚部为. 故选：A 6．向量与垂直，则实数的值为（    ） A．4 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示可求实数. 【详解】因为向量与垂直， 所以，解得， 故选：C. 7．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 8．已知，，那么下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A，，判断得解；对于选项B和C，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项D，差的符号不能确定，所以该选项不正确. 【详解】对于选项A，，因为，所以， 所以，所以该选项正确； 对于选项B，，如：，则分母小于零， 如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定， 所以该选项不正确； 对于选项C，，如：，则分母小于零， 如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定， 所以该选项不正确； 对于选项D，，差的符号不能确定，所以该选项不正确. 故选：A. 【点睛】本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 10．已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，，，则球的半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】是等腰直角三角形，取中点，中点，的中点就是侧面对角线交点，是直三棱柱的外接球球心． 【详解】∵，，，∴直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设中点，中点，则的中点就是直三棱柱外接球球心，又，∴．，∴球的半径为． 故选：C. 【点睛】本题考查棱柱与其外接球，多面体的外接球一定在过各面外心且与此面垂直的直线上，如果有面是直角三角形，斜边中点就是三角形的外心，这样易找到球心． 11．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】解：， ， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：． 12．若奇函数在区间上单调递减，且最小值为，则在区间上（    ） A．单调递增且有最大值 B．单调递增且有最小值 C．单调递减且有最大值 D．单调递减且有最小值 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质结合已知条件可得在上单调递减，从而可求出其最值. 【详解】因为函数在区间上单调递减，且最小值为， 所以， 因为为奇函数， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为， 故选：C 13．函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解. 【详解】令，解得. 当时，，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. 综上，在区间上，有三个解， 即函数的零点个数为3. 故选：D 14．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围 【详解】由得：， 又由， 可得， ∴， 又， ∴， 故选：B. 15．甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”，则. 【详解】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”， 则， 所以 ， 故选：C 16．函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数零点定义解方程，即可得出结果. 【详解】解：由函数零点定义可知， 解得：. 故选：B. 17．已知,,,则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】,,. 故. 故选：B. 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 报价区间 （单位：万元） 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为（   ） A．30 B．42 C．54 D．80 【答案】C 【分析】先设竞拍人员总数，再根据频率等于频数除以总数得出总数，根据低于5万元的人数计算求出不低于5万元得人数. 【详解】设竞拍人员总数为，由解得； 第三组的频数为 报价低于5万元的人数为， 报价不低于5万元得人数为人. 故选：C. 二、填空题 19． ． 【答案】/ 【分析】利用两角差余弦公式运算即可得解. 【详解】. 故答案为： 20．如图，在长方体中，，，E、F分别是BC、DC的中点，则与所成角的余弦值为 .    【答案】 【分析】,可得与EF所成角,在三角形中可计算得出. 【详解】    由E，F分别是BC，DC的中点，则. 在长方体中有， 所以 ， 所以为与EF所成角. 在三角形中，,. 所以 . 故答案为： . 21．如图，在四边形中， ，，，，且，则 度. 【答案】 【分析】根据勾股定理可得的长度，再利用勾股定理逆定理可证明，进而可得的度数． 【详解】，，， ，， ,即， ， ， 故答案为：． 22．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 . 【答案】130 【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解. 【详解】因为，， 所以其相应的声强级为. 故答案为：130. 三、解答题 23．如图，在直四棱柱中，平面，底面是菱形，且，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点，可得是直线与平面所成角，在中，计算可得结果. 【详解】（1）∵，为等边三角形，又是的中点. ∴， ∵平面，且在平面内，， ∵在平面内，CB在平面内，且， 所以平面. （2）是等边三角形，取中点，则， 又平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面， 是直线与平面所成角， 在中，，所以， ，所以， .    24．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值，以及相应的值. 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期； （2）时，，整体法求出函数的最大值及相应的的值. 【详解】（1）， 所以最小正周期； （2）因为，所以，则， 的最大值为2，此时，即. 25．△的内角的对边分别为，已知， （1）求角； （2）若，△的面积为，求△的周长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由正弦定理的边角关系、两角和正弦公式可得，进而可求； （2）由余弦定理有由三角形面积公式求，进而求出，即可得△的周长. 【详解】（1）由，则①， 在△中，则②， 由①②得：，又， 且，即. （2）由余弦定理得：，即 ， ∵，故 即    ∴△的周长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $