重难点05 对数函数的定义与图像及其拓展运用（9种题型）高一数学沪教版2020必修第一册

重难点05 对数函数的定义与图像及其拓展运用 题型01 对数函数的概念判断 1.对数函数定义为形如的函数，核心特征：系数为1、底数是满足条件的常数、真数是单一自变量。逐一排查：排除系数非1（如）、底数不合规（如）、真数含常数/系数（如）的函数，保留候选者。 1．(21-22高一·第16讲对数函数-·)给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 3．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 4．给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 6．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 7．(22-23高一上·云南曲靖师宗县平高中学·)下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，是对数函数的有 ① ；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 求对数函数的解析式或函数值 1.由对数函数定义设解析式为。根据已知条件代入：若过定点，则，转化为指数式（如过(4,2)，得，结合）。若含单调性，结合递减验证，确定解析式。 2.已知解析式求函数值时，先确认自变量（定义域要求），再代入计算：用对数运算法则化简（如），或转化为指数式求解（如）。若含特殊值（如），利用直接得结果，确保计算合规。 9．(24-25高一上·江苏无锡运河实验中学·月考)已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 10．已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 11．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 12．(21-22高一·第16讲对数函数-·)对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 13．(20-21高一·4.4.1对数函数的概念4.4.2对数函数的图象和性质第1课时-·)若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 14．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 15．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知函数，则（   ） A．1 B．0 C． D． 16．(24-25高一上·四川成都蓉城联盟·期末)已知函数，若，则（   ） A．9 B．6 C．4 D．2 题型03 求含对数函数的分段函数在区间上的值域 1.对数函数，先求给定区间与定义域的交集，确定有效区间。再判断单调性：时递减，明确函数在有效区间上的增减趋势。 2.根据单调性求端点函数值：递增时，，值域为；递减时则相反，值域为。若区间含无穷远，结合函数趋势（如）确定值域。 17．(25-26高二上·湖南长沙望城区第六中学·月考)已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 18．(25-26高二上·湖南多校联考·月考)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 20．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 21．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 22．函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 23．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 24．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型04 由对数函数的值域求参数值或范围 1.设含参对数函数为，给定定义域。先判断单调性：时递增，值域对应；时递减，对应。将值域转化为关于参数的指数不等式。 2.递增时解，得；递减时解，得验证，排除矛盾解。若参数在底数外，同理结合单调性列不等式求解范围。 25．(24-25高一下·湖北云学联盟·月考)已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．(24-25高一上·福建三明·期末)已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．(25-26高一上·江苏无锡宜兴·期中)函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．(25-26高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中)设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．(25-26高一上·黑龙江牡丹江第三高级中学·期中)若函数（且）值域是，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 32．(25-26高一上·湖南师范大学附属中学·期中)若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 求对数型复合函数的定义域 1.设对数型复合函数为，外层为对数函数，内层为。明确双层约束：①对数函数核心要求：真数；②内层函数自身定义域（如分式分母不为0、偶次根式被开方数≥0等），梳理所有约束条件。 2.根据约束条件列不等式组，核心必含的定义域不等式。解不等式组得到x的取值范围，注意底数，与定义域无关。用集合或区间表示结果，验证边界值确保复合函数有意义。 33．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 34．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第六中学校·期中)已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 35．(25-26高三上·四川内江第一中学·月考)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 36．(25-26高三上·山西太原部分学校·)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 37．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 38．(25-26高三上·河南九师联盟学校·开学考)函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 39．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 40．(25-26高三上·四川绵阳南山中学·)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型06 求对数型复合函数的值域 1.设对数型复合函数为，先求复合函数定义域，结合内层函数的单调性、定义域求其值域，此值域即为外层对数函数的真数取值范围（记为），明确真数的取值边界。 2.根据底数的最值）；。若$D$无最值，结合对数趋势（如的趋势）确定，用区间表示结果。 41．函数的最大值、最小值分别是（   ） A． B． C． D． 42．(22-23高一上·陕西商洛·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 44．(23-24高二下·湖北武汉5G联合体·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 45．(23-24高一上·浙江杭州富阳黄公望高级中学·月考)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 46．(23-24高一上·天津南开中学·)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 47．(23-24高一上·浙江杭州（含周边）重点中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 48．(23-24高三上·陕西汉中多校·)已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 题型07 对数(型)函数图象过定点问题 1.对数(型)函数一般形式为，核心特性：无论。令真数，解此方程得定点横坐标，消除底数对函数值的影响，确保该横坐标与无关。 2.将。验证：确保在函数定义域内（真数大于0），若含参数需确认参数不影响此结果。最终确定定点。 49．函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 50．若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 51．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 52．(24-25高二下·河北沧州·期末)函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 53．函数的图象经过的定点是（   ） A． B． C． D． 54．(24-25高一上·四川南充嘉陵第一中学·月考)函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（   ） A． B． C． D． 55．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 56．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型08 由对数型函数图象判断参数的范围 1.设对数型函数为，从图象提取特征：①单调性（上升/下降）；②定点坐标（如与轴交点、过已知点）；③最值或趋势。关联性质：时递减；定点对应时的坐标，建立特征与参数的联系。 2.根据单调性定的范围：上升则。代入定点坐标列方程：如过，则，解出参数。结合定义域（真数）验证，确保参数使图象特征与函数性质一致，最终确定参数范围。 57．(25-26高三上·四川泸州高级中学校·开学考)已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 58．已知函数．若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．(23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔海拉尔第一中学·期末)下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 60．已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 61．(23-24高一下·安徽阜阳·期末)如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 62．(23-24高一上·四川德阳德阳中学校·月考)为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．关于y轴对称，再向左平移3个单位长度 B．关于y轴对称，再向右平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再关于x轴对称 D．向右平移3个单位长度，再关于x轴对称 63．函数的图象必不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 64．(22-23高一上·重庆·期末)已知函数，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09 对数(型)函数的图判断与运用 1.设对数(型)函数为，提取图象特征：①单调性（上升→，下降→）；②定点（如过）；③定义域边界（真数的解）。结合特征确定等参数，明确函数解析式。 2.根据判断出的函数解析式，结合单调性解决比较大小、解不等式问题（如）；利用定义域和值域解决参数范围问题；结合定点与趋势解决实际应用中的最值、增减性分析，确保结果符合图象特征。 65．(24-25高二下·山东菏泽菏泽外国语学校·月考)函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 66．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 67．函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 68．(23-24高一上·山东滨州·期末)若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 69．(23-24高一上·北京昌平区·期末)为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 70．函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 71．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 72．(21-22高三下·河南濮阳·)已知且，函数的图象如图所示，则函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 对数函数的定义与图像及其拓展运用 题型01 对数函数的概念判断 1.对数函数定义为形如的函数，核心特征：系数为1、底数是满足条件的常数、真数是单一自变量。逐一排查：排除系数非1（如）、底数不合规（如）、真数含常数/系数（如）的函数，保留候选者。 1．(21-22高一·第16讲对数函数-·)给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的特征判断即可得答案. 【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数． 故选:A. 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝ln x B．y＝ln(x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断． 【详解】A是对数函数，B中真数是，不是，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数． 故选：A． 3．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数. 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 4．给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 5．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 6．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 7．(22-23高一上·云南曲靖师宗县平高中学·)下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数定义直接判断即可. 【详解】形如的函数叫作对数函数，它的定义域是， 对于A，满足，故A正确； 对于B，C，D，形式均不正确，均错误. 故选：A 8．下列函数中，是对数函数的有 ① ；②；③；④；⑤. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数函数的概念分析可得答案. 【详解】①在且的条件下才是对数函数，故①不是对数函数； ②和③符合对数函数的定义，是对数函数； ④中，底数不是常数，不是对数函数； ⑤中系数不是，不是对数函数. 故选：B. 题型02 求对数函数的解析式或函数值 1.由对数函数定义设解析式为。根据已知条件代入：若过定点，则，转化为指数式（如过(4,2)，得，结合）。若含单调性，结合递减验证，确定解析式。 2.已知解析式求函数值时，先确认自变量（定义域要求），再代入计算：用对数运算法则化简（如），或转化为指数式求解（如）。若含特殊值（如），利用直接得结果，确保计算合规。 9．(24-25高一上·江苏无锡运河实验中学·月考)已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 10．已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值. 【详解】由条件可知，，得， 所以. 故选：B 11．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 12．(21-22高一·第16讲对数函数-·)对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解. 【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 13．(20-21高一·4.4.1对数函数的概念4.4.2对数函数的图象和性质第1课时-·)若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题． 14．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据解析式，代值计算即可. 【详解】由，则. 故选：D. 15．(24-25高一下·湖南怀化·期末)已知函数，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 16．(24-25高一上·四川成都蓉城联盟·期末)已知函数，若，则（   ） A．9 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据对数函数解析式及对数运算性质求即可. 【详解】由题设，则. 故选：D 题型03 求含对数函数的分段函数在区间上的值域 1.对数函数，先求给定区间与定义域的交集，确定有效区间。再判断单调性：时递减，明确函数在有效区间上的增减趋势。 2.根据单调性求端点函数值：递增时，，值域为；递减时则相反，值域为。若区间含无穷远，结合函数趋势（如）确定值域。 17．(25-26高二上·湖南长沙望城区第六中学·月考)已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. 18．(25-26高二上·湖南多校联考·月考)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出函数的值域即集合及的定义域即集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 19．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 20．函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 21．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断出在上单调递增即可求解． 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 22．函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由定义域求出的范围，进而求出的范围与最大值. 【详解】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 23．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用对数函数的图象与性质，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由对数函数，解得且值域为，所以集合，， 所以. 故选：C. 24．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解描述法，求对数函数的定义域和值域，应用集合的并集运算即可. 【详解】，，则. 故选：C． 题型04 由对数函数的值域求参数值或范围 1.设含参对数函数为，给定定义域。先判断单调性：时递增，值域对应；时递减，对应。将值域转化为关于参数的指数不等式。 2.递增时解，得；递减时解，得验证，排除矛盾解。若参数在底数外，同理结合单调性列不等式求解范围。 25．(24-25高一下·湖北云学联盟·月考)已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 26．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数可得函数在上的值域，根据一次函数以及二次函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，易知， 当时，设在的值域为，由题意可得， 当时，，即，不符合题意； 当时，由不等式化简可得，解得 由不等式组，解得. 综上可得. 故选：C. 27．(24-25高一上·江苏南通如东县、通州区、启东、崇川区·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性，分和时，结合对数函数的性质讨论即可. 【详解】因为函数的值域为， 可知在内单调递减，则，解得， 可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减， 若在内单调递增，则，解得， 此时，符合题意； 若在内为常函数，则，解得， 此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围是． 故选：A． 28．(24-25高一上·福建三明·期末)已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，将不等式转化为一元二次不等式在闭区间恒成立求解. 【详解】依题意，，令， 当时，，不等式， 则恒成立，当时，成立，； 当时，，函数在上单调递减， 当时，，因此； 当时，，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：换元，把不等式转化为闭区间上的一元二次不等式问题求解. 29．(25-26高一上·江苏无锡宜兴·期中)函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 30．(25-26高三上·山东济南历下区山东师范大学附属中学·期中)设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，由复合函数法可知内层函数在上为增函数，对任意的，恒成立，结合二次函数的单调性与参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】令，， 因为函数在区间上单调递增， 外层函数在上为增函数，所以内层函数在上为增函数， 所以，可得， 且对任意的，恒成立，可得，故， 综上所述，. 故选：C. 31．(25-26高一上·黑龙江牡丹江第三高级中学·期中)若函数（且）值域是，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出时，函数值域，可知要使函数值域是，则当时，的值域为的子集，求解即可. 【详解】当时，，所以， 要使函数值域是， 则当时，的值域为的子集， 所以，解得：. 故选：A. 32．(25-26高一上·湖南师范大学附属中学·期中)若函数值域为R且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数性质，将值域及单调性转化为二次函数性质求解. 【详解】因为的值域为， 所以函数与轴有交点，即方程有实根， 所以，解得或①； 因为函数在区间单调递增， 且是减函数，所以在区间单调递减且恒为正， 所以，解得②， 由①②可得，所以实数的取值范围是. 故选：A. 题型05 求对数型复合函数的定义域 1.设对数型复合函数为，外层为对数函数，内层为。明确双层约束：①对数函数核心要求：真数；②内层函数自身定义域（如分式分母不为0、偶次根式被开方数≥0等），梳理所有约束条件。 2.根据约束条件列不等式组，核心必含的定义域不等式。解不等式组得到x的取值范围，注意底数，与定义域无关。用集合或区间表示结果，验证边界值确保复合函数有意义。 33．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使函数有意义，只需真数，解不等式即可. 【详解】要使函数有意义，须满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 34．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第六中学校·期中)已知集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解对数不等式求得集合，利用交集的定义求解即可. 【详解】由，可得，所以， 所以，，又， 所以. 故选：D. 35．(25-26高三上·四川内江第一中学·月考)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 36．(25-26高三上·山西太原部分学校·)函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，，再解不等式即可. 【详解】由，，得. 故选：A 37．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 38．(25-26高三上·河南九师联盟学校·开学考)函数的定义域为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数有意义列出不等式，求解即可得定义域. 【详解】由 ， 所以所求函数的定义域为. 故选：D 39．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 40．(25-26高三上·四川绵阳南山中学·)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义先求定义域，结合复合函数的单调性计算即可. 【详解】由题意知，即或， 令，而单调递增，要求的单调递增区间， 即求的单调递增区间，根据二次函数的单调性可知其单调递增区间为. 故选：B 题型06 求对数型复合函数的值域 1.设对数型复合函数为，先求复合函数定义域，结合内层函数的单调性、定义域求其值域，此值域即为外层对数函数的真数取值范围（记为），明确真数的取值边界。 2.根据底数的最值）；。若$D$无最值，结合对数趋势（如的趋势）确定，用区间表示结果。 41．函数的最大值、最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，故． 42．(22-23高一上·陕西商洛·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果. 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 43．(24-25高一上·重庆第八中学校·期末)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以，故值域为. 故选：D 44．(23-24高二下·湖北武汉5G联合体·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求两个集合，再求并集. 【详解】，即， ，所以，即，所以. 故选：C 45．(23-24高一上·浙江杭州富阳黄公望高级中学·月考)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 46．(23-24高一上·天津南开中学·)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 而，所以， 所以，故值域为. 故选：D 47．(23-24高一上·浙江杭州（含周边）重点中学·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，设，，计算得到答案. 【详解】， 设，则， 故函数的值域为. 故选：C 48．(23-24高三上·陕西汉中多校·)已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域. 【详解】令，则，又， 所以原函数可变为 ，， 所以，，所以的值域为. 故选：A. 题型07 对数(型)函数图象过定点问题 1.对数(型)函数一般形式为，核心特性：无论。令真数，解此方程得定点横坐标，消除底数对函数值的影响，确保该横坐标与无关。 2.将。验证：确保在函数定义域内（真数大于0），若含参数需确认参数不影响此结果。最终确定定点。 49．函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 50．若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求得的图象所过定点的坐标得的值，再代入计算即可. 【详解】令，得，， 所以（且）的图象过定点， 即. 所以． 故选：C. 51．(24-25高一下·湖南衡阳衡南县·期末)函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，此时，故定点坐标为. 故选：A 52．(24-25高二下·河北沧州·期末)函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定点计算求解. 【详解】在函数中，当时，恒有， 即函数的图象恒过的点为， 故选:C． 53．函数的图象经过的定点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，确定函数的图象经过的定点. 【详解】由条件可知，，所以函数的图象经过的定点是. 故选：C 54．(24-25高一上·四川南充嘉陵第一中学·月考)函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据恒过定点，令，求出点P的坐标即可得结果. 【详解】令，则，此时， 所以图象经过定点P，则点P的坐标为，即点P的横、纵坐标之和为， 故选：B. 55．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)函数且的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】首先要找到函数图象恒过的定点，得出和的值，进而得到的值.然后利用均值不等式来求的最小值. 【详解】对于对数函数，当时，（且）. 对于指数函数，当时，（且）. 所以当时，. 即函数的图象恒过定点，所以，. 已知，把，代入可得. 将进行变形，. 展开式子得. 因为，，根据均值不等式，有. 则.当且仅当时等号成立. 故选：C 56．(24-25高一上·江西抚州·期末)已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出、所满足的关系式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数且， 由，可得，此时，，即点， 将点的坐标代入直线方程可得，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 题型08 由对数型函数图象判断参数的范围 1.设对数型函数为，从图象提取特征：①单调性（上升/下降）；②定点坐标（如与轴交点、过已知点）；③最值或趋势。关联性质：时递减；定点对应时的坐标，建立特征与参数的联系。 2.根据单调性定的范围：上升则。代入定点坐标列方程：如过，则，解出参数。结合定义域（真数）验证，确保参数使图象特征与函数性质一致，最终确定参数范围。 57．(25-26高三上·四川泸州高级中学校·开学考)已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】分类讨论a的取值范围，结合函数图象的平移变换，即可求得答案. 【详解】对于，当时，， 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时的图象过第二、三、四象限； 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时图象过第一、三、四象限； 综合可知函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C 58．已知函数．若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图像得到，再结合的单调性即可求解； 【详解】如图所示， ，则，从而，，即． 设， 注意到，易知在上单调递减， 于是． 故选：C． 59．(23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔海拉尔第一中学·期末)下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数和指数函数以及幂函数性质即可判断. 【详解】对A，的定义域为，不关于原点对称，则其不是奇函数， 对B，根据幂函数性质知为奇函数，且在上单调递减，故B正确； 对C，根据反比例函数性质知其为奇函数，但其在和上分别单调递减， 但在定义域上不是减函数，故C错误； 对D，根据指数函数性质知其不是奇函数，故D错误. 故选：B. 60．已知对数函数，一次函数，则当的图象位于的图象下方时的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和一次函数的图象与性质，画出草图，求出交点，即可解出. 【详解】作出与的图象如图所示， 则对数函数与一次函数交于点， 所以的图象位于的图象下方时的取值范围为． 故选：A. 61．(23-24高一下·安徽阜阳·期末)如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 62．(23-24高一上·四川德阳德阳中学校·月考)为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．关于y轴对称，再向左平移3个单位长度 B．关于y轴对称，再向右平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再关于x轴对称 D．向右平移3个单位长度，再关于x轴对称 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质可得，结合函数图象的对称性和平移变换即可求解. 【详解】A：函数，关于y轴对称得， 再向左平移3个单位长度得，故A错误； B：函数，关于y轴对称得， 再向右平移3个单位长度得，故B正确； C：函数，向左平移3个单位长度得到 ，再关于x轴对称得，故C错误； D：函数，向右平移3个单位长度得到 ，再关于x轴对称得，故D错误； 故选：B. 63．函数的图象必不过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据函数图象平移法则作出函数图象即可判断. 【详解】因为由向左平移两个单位得到的， 所以其图象如下图所示，    由图象可知，函数的图象必不过第一象限. 故选：A. 64．(22-23高一上·重庆·期末)已知函数，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 【详解】由题知，显然， 则，即， 则，则，，即，解得， ，设，， 令，解得， 根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 故其值域为. 故选：C. 题型09 对数(型)函数的图判断与运用 1.设对数(型)函数为，提取图象特征：①单调性（上升→，下降→）；②定点（如过）；③定义域边界（真数的解）。结合特征确定等参数，明确函数解析式。 2.根据判断出的函数解析式，结合单调性解决比较大小、解不等式问题（如）；利用定义域和值域解决参数范围问题；结合定点与趋势解决实际应用中的最值、增减性分析，确保结果符合图象特征。 65．(24-25高二下·山东菏泽菏泽外国语学校·月考)函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的性质，分别得到和时，函数的正负，排除错误选项即可. 【详解】当时，，∴函数，则图像在轴下方，排除A，B选项； 当时，，∴函数图像在上方，排除C选项. 故选：D. 66．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】由反函数的概念即可判断； 【详解】∵函数与互为反函数， ∴两者的图象关于直线对称． 故选：C. 67．函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象，结合函数图象的变换，即可求得结果. 【详解】的图象可由在轴下方的图象向上翻折得到， 而的图象可由的图象向左平移1个单位得到. 又的图象过点，则过点，且为连续函数，故其图象为A中所画. 故选：A. 68．(23-24高一上·山东滨州·期末)若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 69．(23-24高一上·北京昌平区·期末)为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】变形函数解析式，再与指定函数比对即得. 【详解】函数化为：，显然把函数的图象下移2个单位长度即得的图象， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向下平移2个单位长度. 故选：D 70．函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（    ） A．①②③ B．③①② C．③②① D．①③② 【答案】C 【分析】利用特殊值确定正确答案. 【详解】令，解得； 令，解得； 令，解得， 即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴 故，，的图象所对应的编号依次为③②①. 故选：C 71．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ） A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c 【答案】C 【分析】根据对数函数的图象性质即可求解. 【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c． 故选：C． 72．(21-22高三下·河南濮阳·)已知且，函数的图象如图所示，则函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】先由函数的图象可判断出.利用图像变换和单调性即可得到周期答案. 【详解】由函数的图象可判断出. 当时，经过定点（1，0），为增函数. 因为与关于y轴对称，所以经过定点（-1，0），为减函数. 而可以看作的图像向右平移一个单位得到的. 所以的图像经过定点（0，0），为减函数. 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $