4.3.1 对数函数的定义与图像（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

4.3.1 对数函数的定义与图像 题型一 对数函数的定义 1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】形如，且的函数为对数函数，故B正确，故选：B. 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【解析】根据对数函数的定义且,分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数.故选：B. 3．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数，所以只有选项C满足定义.故选：C. 4．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C. 题型二 对数函数求值 5．已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，得，所以.故选：B 6．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】已知是定义在上的偶函数，当时，，则. 故选：C. 7．设（且），若，则（    ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为（且），， 所以，即，解得， 所以，所以.故选：C 8．已知对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解析】设且， 过点，，即，解得：，， . 9．若对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解析】设对数函数（，且），因为函数图象过点， 所以，得，所以. 10．已知对数函数的图像过点，则 ． 【答案】3 【解析】由题意可知，设， 因为在图像上，则，解得， 则，则. 题型三 求对数函数的解析式 11．已知对数函数的图象过点M（9，2），则此对数函数的解析式为 A．y=log2x B．y=log3x C．y=logx D．y=logx 【答案】B 【解析】设函数f（x）=logax（x>0，a>0且a≠1），∵对数函数的图象过点M（9，2），∴2=loga9，∴a2=9，a>0，解得a=3．∴此对数函数的解析式为y=log3x．故选B． 12．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【解析】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为．故选A． 13．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【解析】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x.故选：A. 14．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对数函数为,代入可得, 所以,则对数函数的解析式为.故选：C. 15．若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由对数函数恒过定点得函数恒过定点，设指数函数（且），则，故．故选：A． 题型四 对数函数图像的判断 16．函数的图像是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】由函数，可得，解得， 即函数的定义域为，可得排除C、D选项； 又由，可排除A选项，所以B选项符合题意. 故选：B. 17．已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 18．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意.故选：D. 19．函数的图象可以是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【解析】令，由或， 所以的定义域为，故可以排除AB选项， 令有，故C错误，D正确.故选：D. 题型五 对数函数图像过定点 20．函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在函数中，当时，恒有， 即函数的图象恒过的点为，故选:C． 21．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，解得， 当时，此时，所以函数图象过定点．故选：A 22．若点在函数的图象上，则下列点不在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在函数的图象上，所以， 所以，， 所以点不在该函数图象上．故选：A． 23．若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】令，得，， 所以（且）的图象过定点， 即.所以．故选：C. 题型一 由对数函数求参 24．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为 A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4） 【答案】B 【解析】由函数的解析式可得，解得3<x<4，或x>4．故选B． 25．若函数的图像过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】由题, .故选：B 26．若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】A 【解析】由已知得，所以，解得：，故选：A． 27．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【解析】∵函数是对数函数， ∴，且，解得或，∴，故选：C． 28．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得，所以， 代入点可得，则， 可得，所以.故选：C. 29．已知函数是对数函数，则 ． 【答案】1 【解析】因为函数是对数函数，则，解得． 题型二 对数函数图象的应用 30．图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】由已知图中曲线是对数函数的图象，画出直线， 与各个曲线交点的横坐标即为对应的对数底数， 可得，，，的a值从小到大依次为：，，，， 由a取，，，四个值， 故，，，的a值依次为，，，，故选B. 31．已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以．故选：C. 32．已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以.故选：D 33．已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由函数的图象知该函数为减函数，∴． 图象通过第一、二、四象限且图象与轴的交点横坐标在区间内， ∴，解得．故选:D． 34．已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【解析】对于，当时，， 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时的图象过第二、三、四象限； 当时，，将的图象向左平移个单位，即得的图象， 此时图象过第一、三、四象限； 综合可知函数的图象一定经过第三、四象限，故选：C 35．与的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】将代入，则有， 当时，，令，则， 即，则或，即或， 即当时，与有交点、； 当时，，令，则， 即，令，则在定义域内单调递增， 又，， 故在上必有唯一零点， 则当时，与有个交点； 综上所述，与的交点个数为个.故选：C. 36．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解析】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，.故选：C. 37．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，因此，，，，，，即，故选：C． 38．已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】12 【解析】当时， 所以函数的图象过定点， 所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 39．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以，且，即， 所以，令， 则， 所以在单调递减，， 所以的取值范围是，故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 对数函数的定义与图像 题型一 对数函数的定义 1．下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 3．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 题型二 对数函数求值 5．已知函数，若图象过点，则的值为（    ） A．－2 B．2 C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．设（且），若，则（    ）. A．2 B． C． D． 8．已知对数函数的图象过点，则 ． 9．若对数函数的图象过点，则 ． 10．已知对数函数的图像过点，则 ． 题型三 求对数函数的解析式 11．已知对数函数的图象过点M（9，2），则此对数函数的解析式为 A．y=log2x B．y=log3x C．y=logx D．y=logx 12．若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 13．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 14．已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 15．若函数（且）的图象恒过定点，且点在指数函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型四 对数函数图像的判断 16．函数的图像是（   ） A．B．C．D． 17．已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 18．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 19．函数的图象可以是（    ） A．B． C． D． 题型五 对数函数图像过定点 20．函数（且）的图象恒过的点为（    ）． A． B． C． D． 21．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．若点在函数的图象上，则下列点不在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 23．若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型一 由对数函数求参 24．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为 A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞） C．（4，+∞） D．（3，4） 25．若函数的图像过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 26．若函数的图象过点，则（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 27．若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 28．若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 29．已知函数是对数函数，则 ． 题型二 对数函数图象的应用 30．图中曲线是对数函数的图象，已知a取，，，四个值，则相应于，，，的a值依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 31．已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 32．已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 33．已知函数（为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论中成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 34．已知，，则函数的图象一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 35．与的交点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 36．函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 37．已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 38．已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为 . 39．已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $