重难点06 对数函数的性质与运用及其拓展运用（8种题型）高一数学沪教版必修第一册

重难点06 对数函数的性质与运用及其拓展运用 题型01 对数函数的单调性 1.对数函数标准形式为），先求定义域：真数，若为指定区间需确保在定义域内。再分析底数：时，在定义域上单调递减，明确底数与单调性的关联。 2.根据底数单调性与定义域定区间：①也递增；②也递减。用区间表示结果，验证区间端点是否满足定义域，确保单调区间有效。 1．(24-25高一上·广东茂名电白区·期末)如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 2．(24-25高一上·上海川沙中学·)已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断. 【详解】若成立，根据对数函数的性质，可得，即由可以推出.    若成立，当，时，满足. 但是此时无意义，所以不成立，即由不能推出.    综上，是的必要不充分条件. 故选：B 3．(24-25高三上·福建宁德福鼎第四中学·开学考)设实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合对数函数的性质与充分条件及必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则有或， 即有或， 若，则， 故当时，可得， 当时，不一定成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．(23-24高一上·上海吴淞中学·期末)已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 【答案】D 【分析】通过对进行讨论，再用复合函数的求单调性的方法，可知该函数的单调性与是否有关. 【详解】函数， 当时，，单调递增. 当时，单调递增. 则且，，的单调性都为单调递增. 所以函数的单调性与无关. 故选：D 5．(23-24高一上·福建三明第一中学·期中)若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再由函数单调性及奇偶性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，而且，解得， 函数定义域为，显然是偶函数， 当时，在上单调递增，选项BCD不符合，A符合. 故选：A 6．(22-23高一上·北京海淀区中国人民大学附属中学·)设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是增函数 【答案】C 【分析】分类讨论去绝对值可得函数在和上的单调性. 【详解】，因为在为增函数，则易知在上是减函数，在上是增函数.     故选：C. 7．(22-23高三上·四川射洪中学校·月考)“”是“”成立的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合对数函数的性质求解作答. 【详解】，满足不等式，而、无意义， 若，则，必有， 所以“”是“”成立的必要而不充分条件. 故选：A 8．(21-22高一上·山西运城·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出对数不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可得解. 【详解】函数在上单调递增，则，解得， 若成立，必有，而成立，不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 题型02 由对数（型）的单调性求参数 1.分两类：①对数函数），已知单调性定：递增则；②对数型复合函数），再据“同增异减”列约束（如且复合递增，则必递增）。 2.解第一步的不等式（如复合函数内层递增解参数范围），得候选值。验证：确保，复合函数需满足，代入原函数检验单调性是否匹配，剔除矛盾解得参数范围。 9．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，即可判断的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到，解得即可. 【详解】设，则， 且，为减函数， 若函数在区间上是减函数， 则需是增函数且时恒成立， ，解得，即的取值范围是. 故选：D. 10．(25-26高一上·浙江金砖联盟·期中)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性即可求得的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增, 所以对称轴，解得 , 当时，，解得, 所以的取值范围是. 故选：C 11．(25-26高三上·河南部分学校·)已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性与对数函数，二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以，即. 所以实数的取值范围是. 故选：D 12．(25-26高三上·山东聊城百师联盟·调研)已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数上在上单调递增，且当时，， 因此，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 13．(24-25高二下·江西赣州赣县区实验学校高中部·月考)若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，则函数在上单调递减以及函数值总大于零，由此联立不等式组求解． 【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数， 要使函数在上递减，则， 解得，实数的取值范围是． 故选：B. 14．(25-26高三上·福建福建师范大学附属中学·月考)若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 15．(24-25高一上·贵州遵义第二中学·月考)已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B 16．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】令，得对称轴方程为：，分和利用复合函数的单调性求解. 【详解】令，对称轴方程为：， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得，而，故， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得不存在， 综上知，的取值范围是：， 故选：D 题型03 由对数函数的单调性解不等式 1.设不等式对应对数函数为，先解定义域：真数大于0（如需）。再判单调性：时在定义域内递减，明确单调性与底数的关联及自变量取值边界。 2.根据单调性转化：时，等价于。解转化后的不等式组，结合定义域剔除无效解。代入特殊值验证，最终用集合或区间表示解集。 17．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，分别解不等式，即可求得答案. 【详解】当时，，令，即， 解得或，结合可知，此时； 当时，，令，解得， 综合上可知不等式的解集为， 故选：C 18．(25-26高三上·河南信阳高级中学新校（贤岭校区）·月考)已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记，易证为奇函数且在上单调递增，由此即可解不等式. 【详解】设，则， 因为， 所以函数为奇函数， 当时，易知单调递增，单调递增， 所以当时，函数单调递增， 又函数为奇函数，所以函数在上单调递增， 所以等价于 所以 所以不等式的解集为. 故选：C. 19．(25-26高三上·山西忻州现代双语学校·月考)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简后判断函数为偶函数，再判断函数的单调性，利用单调性得出不等式求解. 【详解】因为， 故，而的定义域为，它关于原点对称， 故为上的偶函数. 当时，令， 由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且， 而在上为增函数，故在上为增函数， 而在上为增函数，故在上为增函数. 因为，故，平方后化简可得， 即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D 20．(25-26高三上·安徽鼎尖名校大联考·月考)已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原函数化简后可表示出该不等式，再分类讨论即可得. 【详解】，； ， ， 令，定义域为且， 要使，有如下两种情况： ①，解得， ②，解得，且 综上所述，不等式的解集为. 故选：C 21．若函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段解不等式，并集即所求. 【详解】时，由得时，由得， 综上满足的实数的取值范围是. 故选：C. 22．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：利用，根据对数型函数的单调性和定义域要求，列不等式求解即可，方法二：特殊值法． 【详解】方法一：因为，所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以 ，解得， 即不等式的解集为． 方法二：当时，无意义，排除C，D； 当时，无意义，排除B. 故选：A. 23．已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【详解】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以 ，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 24．(24-25高一下·云南德宏傣族景颇族民族第一中学·开学考)已知实数a满足，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数，对数函数，幂函数的单调性解不等式即可； 【详解】， ，综上 当时，. 故选：A. 题型04 由对数函数的单调性比较大小 1.设待比较的两个对数值为（先统一底数，不同底数借中间值过渡），判对数函数时递增，（真数要求），确保在定义域内。 2.根据单调性转化：时，若。不同底数时（如分步比较。代入特殊值验证（如），确保结果准确。 25．(25-26高一上·河南新乡河南师范大学附属中学·期中)若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性得，利用对数函数单调性得，即可利用中间值法比较大小. 【详解】， ， ， . 故选：B. 26．(25-26高一上·山东淄博实验中学、齐盛高级中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数等知识确定正确答案. 【详解】， ， ， 所以 故选：D 27．(25-26高一上·广东深圳中学·期中)已知，，，那么a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性判断与0、1的大小关系，即可得出结果． 【详解】，，，所以． 故选：D． 28．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性，分别判断的大致范围，即可比较大小. 【详解】因为， ，， 所以. 故选：B 29．(25-26高一上·浙江宁波镇海中学·期中)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 综上可得. 故选：A 30．(25-26高一上·湖南长沙第一中学·期中)设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可借助指数幂的运算法则可得、，再结合的单调性即可得，大小关系，也可借助幂函数及指数函数的单调性得到，大小关系，再利用对数运算可得，即可得解. 【详解】法一：由， ， 又函数为增函数，且，故，即， 又，故. 法二：由函数在上单调递增，故， 由函数在上单调递减，故， 即有，故， 又，故. 故选：B. 31．(25-26高一上·福建厦门集美中学·期中)已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 32．(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性，化简分析，即可得答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以． 故选：A 题型05 对数型复合函数的单调性 1.设对数型复合函数为），先求定义域：解。再分层分析：①外层：通过基本性质或导数判其单调区间，明确分层单调特征。 2.按“同增异减”法则判定：外层与内层单调性相同（都增或都减），复合函数递增；相反则递减。结合第一步求得的定义域，对应内层函数的单调区间，确定复合函数的单调区间。标注增减性，验证区间端点有效性，确保结果准确。 33．(25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间. 【详解】由，可得或， 所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增， 所以的单调递减区间为. 故选：A 34．(25-26高一上·广东深圳中学·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性，结合二次函数与对数函数的单调性求解. 【详解】由，得，解得或， 所以函数的定义域为或， 令，其对称轴为，在上单调递减， 当时，单调递减，则函数单调递增； 当时，单调递增，则函数单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：B. 35．(25-26高一上·浙江温州中学·期中)函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数， 故，解得或者， 且函数，在上单调递减，上单调递增， 函数为单调减函数， 根据复合函数的单调性可得，函数的单调增区间为. 故选：D 36．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 37．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】由得，解得或， 所以函数的定义域是， 因为当时，单调递增， 而在定义域内单调递增，故函数的单调增区间是. 故选：D 38．(24-25高一上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·月考)函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 39．(24-25高一上·广东揭阳第二中学·期末)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 40．(24-25高一上·云南昆明东川区·期末)函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求得，再由对数型复合函数的单调性即可判断； 【详解】由， 可得：或， 易知当时，单调递减； 再由对数型复合函数的单调性可知：在上单调递减； 故选：B 题型06 根据对数函数的最值或范围求参数 1.设含参对数函数为）。再判单调性：时，复合函数与时相反。结合定义域内的最值，将对数函数最值/范围转化为关于参数的不等式（如）。 2.解第一步的不等式或方程，得参数候选值。验证：确保恒成立），代入原函数检验最值/范围是否匹配。若含复合函数，需同步验证内层的单调性与最值，剔除无效解得参数范围。 41．(25-26高一上·安徽合肥肥东尚真中学·期中)函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 42．(24-25高一上·天津第三十二中学·月考)已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，转化为求在上的最大值、最小值可得答案. 【详解】当时，令， 则，为开口向上、对称轴为的抛物线， 在上单调递增， 所以当时有最小值，为， 当时有最大值，为， 可得，解得. 故选：B. 43．(23-24高一上·天津第一百中学·)已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，， 则， 即，则， 得，整理得， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1， 所以存在，使得成立，即， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 44．(23-24高一上·江西抚州·)若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 45．(23-24高一上·广东广州九区联考·期末)函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 【答案】C 【分析】将，利用换元，化为，分类讨论a的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 则函数，即为， 当时，在上单调递增，由可得： ； 当时，在上单调递减，由可得： ； 故的值为2或， 故选：C 46．(23-24高一上·四川成都锦江区卓越科技培训学校·期末)已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】由已知可得函数的值域为，从而可得的值，的最小值为9，从而可得的值，即可得解． 【详解】因为函数的值域为， 所以函数的值域为， 所以，解得， 因为的值域为,， 所以的最小值为9，所以， 解得， 所以． 故选：A． 47．(23-24高一上·上海闵行区·期末)已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 48．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可. 【详解】由，得， 所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成， 当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C 题型07 对数函数的其它应用 1.常见场景：①指对互化（解方程/求值，如）；②实际建模（pH值、分贝等，设模型）；③反函数应用（求对数函数反函数或利用反函数性质）。提取已知条件，关联对数运算法则、单调性、过定点等性质，确定解题方向。 2.指对互化：用运算法则化简求解，确保真数、底数合规；建模问题：代入数据求参数建模型，计算待求量；反函数：利用“原函数与反函数关于y=x对称”求解。验证：数值代入检验，实际问题确保结果符合场景（如pH值在0-14之间），修正不合理解。 49．(25-26高三上·湖南九校联盟·一模)已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定的关联，最后结合题给条件求解． 【详解】 ， ，即， ， ，即， 令，则在上单调递增， 方程有唯一解， ， ． 故选：A． 50．(24-25高三下·北京中国人民大学附属中学·)历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】 【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 51．(23-24高一上·江苏南通如皋·调研)我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时.当时，是位数.则是（    ）位数. A．601 B．602 C．603 D．604 【答案】C 【分析】结合对数的运算性质化简求解即可. 【详解】由， 所以是603位数. 故选：C. 52．(21-22高一上·重庆名校联盟·)对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（    ）（注） A．6 B．7 C．606 D．607 【答案】D 【分析】根据已知条件，设，则，求出t的范围，即可判断其数位. 【详解】设，则，则，则， ，的数位是607. 故选：D. 53．(22-23高三上·湖南三湘创新发展联合·调研)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（    ） A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍 【答案】C 【分析】根据题意解对数方程即可得解． 【详解】由题意可得，，则在信道容量未增加时，信道容量为，当信道容量增加到原来的2倍时，，则，即，解得，则平均信号功率需要增加到原来的102倍. 故选：C． 54．(20-21高一上·山西晋中·期末)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽､信道内所传信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至原来的10倍，则大约变为原来的几倍（    ）(参考数据：，) A．2.5 B．1.3 C．10 D．5 【答案】B 【分析】根据题意先表示出，所对应的，然后求解的值即可 【详解】解：由题意得， ， 所以 故选：B 55．(20-21高一上·江苏常州教育学会·期末)17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用对数的运算性质求出，由此可得答案. 【详解】 , 所以 . 故选：C 56．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的关系式为，若火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．1.005 B．0.005 C．0.0025 D．0.002 【答案】B 【分析】由10＝2000，结合对数的运算求解即可. 【详解】由题意将v＝10km/s，代入v＝2000，可得10＝2000， 则，即，解得． 故选：B 题型08 对数型函数性质综合运用 1.明确对数型函数解析式（如）。梳理核心性质：据底数定单调性（递减），结合内层单调性分析复合函数增减区间；判断奇偶性（定义域对称时验证关系），标注关键性质。 2.根据问题类型（求值域、解不等式、求最值），用性质转化：如解不等式用单调性去对数符号，求值域先求内层值域再结合外层单调性。求解后验证：代入特殊值检验，确保定义域、单调性应用无误，结合性质核对结果合理性并规范表述。 57．(24-25高一下·湖南双峰县第一中学·月考)设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别分析命题和命题成立时的取值范围，再根据命题，中至少有一个是真命题，求出的取值范围. 【详解】命题：，的定义域是， 即对于任意，恒成立. 当时，不恒成立. 当时，二次函数要恒大于， 则需满足. 解不等式，可得. 所以当命题为真时，. 命题：，的值域是， 这意味着能取遍所有大于的值. 当时，能取遍所有大于的值. 当时，二次函数的图象开口向上， 要使其能取遍所有大于的值，则需， 解不等式可得，即. 当时，二次函数的图象开口向下，不能取遍所有大于的值， 所以当命题为真时，. 命题，中至少有一个是真命题的反面是，都为假命题. 当为假命题时，；当为假命题时，或. 所以，都为假命题时，. 那么命题，中至少有一个是真命题时，，即. 故选：D. 58．(24-25高一上·安徽示范高中培优联盟·)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解. 【详解】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令， 由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增， 故当时，取得最大值为， 由，解得， 所以. 故选：B. 59．(21-22高一·专题06《幂函数、指数函数和对数函数》中的恒成立问题-·)对不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式整理为，令，，在上单调递增，分，，三种情况讨论，最后得出交集即为所求． 【详解】， 即， 令，， 因为在上单调递增， ①时，，即：恒成立， 需要在上恒成立， 而二次函数开口向下，所以需要 ， 解得； ②当时原不等式显然恒成立； ③时，恒成立，即恒成立， 在上恒成立， 又开口向下且对称轴为， 由及可知， 所以在上单调递减， 时，， 所以需要 ， 解得， 综上可得， 的取值范围是， 故选：A． 60．(21-22高一·专题05《幂函数、指数函数和对数函数》中的取值范围和最值问题-·)已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解的定义域，然后利用换元法求所求函数的值域即可． 【详解】由， 则得，所以的定义域为， 令，故， ， 即，， 当时，的最小值为 函数的最小值为. 故选：A 61．(21-22高一上·湖北武汉青山区·期末)已知函数，给出下述论述，其中正确的（    ） A．当时，的定义域为 B．一定有最小值 C．当时，的值域为 D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】C 【分析】A选项，真数大于0，解不等式，求出定义域；B选项，利用复合函数，真数大于0及有无最小值，判断出结果；C选项，配方法及复合函数单调性求解值域；D选项，利用复合函数单调性及真数大于0得到不等关系，求出a的取值范围. 【详解】当时，，其中，解得：，A错误； 为复合函数，其中外层为递增函数，而内层函数，当，即或时，结合真数要大于0，此时无最小值，无最小值，故B错误； 当时，，所以的值域为，C正确； 若在区间上单调递增，则在单调递增，且大于0，需要满足，解得：，故D错误 故选：C 62．(20-21高一上·云南楚雄州中小学·期末)已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到，根据恒成立，得到，即可求解. 【详解】令，可得函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以， 因为恒成立，所以，即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 63．(20-21高一上·四川蓉城名校联盟·期末)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的单调性，可判断，再由对数函数的单调性，求得的单调性和最大值，解不等式可得所求范围． 【详解】解：由于，，可得，， 当时，则，在不恒成立； 故， 由在单调递增， 在单调递减， 可得在单调递增， 则的最大值为， 由题意可得， 即有， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力． 64．(19-20高一上·山西晋中平遥古城高级中学·期末)若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 【答案】A 【详解】不等式， 即, 所以， 整理可得对任意的x∈（-∞，0]恒成立， 令， 则在上有最小值2， 所以， 故选：A 【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转为思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点06 对数函数的性质与运用及其拓展运用 题型01 对数函数的单调性 1.对数函数标准形式为），先求定义域：真数，若为指定区间需确保在定义域内。再分析底数：时，在定义域上单调递减，明确底数与单调性的关联。 2.根据底数单调性与定义域定区间：①也递增；②也递减。用区间表示结果，验证区间端点是否满足定义域，确保单调区间有效。 1．(24-25高一上·广东茂名电白区·期末)如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．(24-25高一上·上海川沙中学·)已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(24-25高三上·福建宁德福鼎第四中学·开学考)设实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(23-24高一上·上海吴淞中学·期末)已知函数（，且为实数），下列说法正确的是（ ） A．函数的单调性只与有关，与无关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与都有关 D．函数的单调性与都无关 5．(23-24高一上·福建三明第一中学·期中)若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．(22-23高一上·北京海淀区中国人民大学附属中学·)设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是增函数 7．(22-23高三上·四川射洪中学校·月考)“”是“”成立的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(21-22高一上·山西运城·期中)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 由对数（型）的单调性求参数 1.分两类：①对数函数），已知单调性定：递增则；②对数型复合函数），再据“同增异减”列约束（如且复合递增，则必递增）。 2.解第一步的不等式（如复合函数内层递增解参数范围），得候选值。验证：确保，复合函数需满足，代入原函数检验单调性是否匹配，剔除矛盾解得参数范围。 9．函数（且）在区间上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．(25-26高一上·浙江金砖联盟·期中)若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．(25-26高三上·河南部分学校·)已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．(25-26高三上·山东聊城百师联盟·调研)已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．(24-25高二下·江西赣州赣县区实验学校高中部·月考)若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．(25-26高三上·福建福建师范大学附属中学·月考)若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·贵州遵义第二中学·月考)已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 题型03 由对数函数的单调性解不等式 1.设不等式对应对数函数为，先解定义域：真数大于0（如需）。再判单调性：时在定义域内递减，明确单调性与底数的关联及自变量取值边界。 2.根据单调性转化：时，等价于。解转化后的不等式组，结合定义域剔除无效解。代入特殊值验证，最终用集合或区间表示解集。 17．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．(25-26高三上·河南信阳高级中学新校（贤岭校区）·月考)已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 19．(25-26高三上·山西忻州现代双语学校·月考)已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 20．(25-26高三上·安徽鼎尖名校大联考·月考)已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．若函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数 ，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．(24-25高一下·云南德宏傣族景颇族民族第一中学·开学考)已知实数a满足，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 题型04 由对数函数的单调性比较大小 1.设待比较的两个对数值为（先统一底数，不同底数借中间值过渡），判对数函数时递增，（真数要求），确保在定义域内。 2.根据单调性转化：时，若。不同底数时（如分步比较。代入特殊值验证（如），确保结果准确。 25．(25-26高一上·河南新乡河南师范大学附属中学·期中)若，则（　　） A． B． C． D． 26．(25-26高一上·山东淄博实验中学、齐盛高级中学·期中)已知，则（    ） A． B． C． D． 27．(25-26高一上·广东深圳中学·期中)已知，，，那么a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 28．(25-26高一上·安徽临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）·期中)若，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 29．(25-26高一上·浙江宁波镇海中学·期中)已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 30．(25-26高一上·湖南长沙第一中学·期中)设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 31．(25-26高一上·福建厦门集美中学·期中)已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 32．(25-26高一上·河北邢台质检联盟·期中)已知，则（   ） A． B． C． D． 题型05 对数型复合函数的单调性 1.设对数型复合函数为），先求定义域：解。再分层分析：①外层：通过基本性质或导数判其单调区间，明确分层单调特征。 2.按“同增异减”法则判定：外层与内层单调性相同（都增或都减），复合函数递增；相反则递减。结合第一步求得的定义域，对应内层函数的单调区间，确定复合函数的单调区间。标注增减性，验证区间端点有效性，确保结果准确。 33．(25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔第六中学校·月考)函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 34．(25-26高一上·广东深圳中学·期中)函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 35．(25-26高一上·浙江温州中学·期中)函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 36．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 37．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 38．(24-25高一上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·月考)函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 39．(24-25高一上·广东揭阳第二中学·期末)函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 40．(24-25高一上·云南昆明东川区·期末)函数的单调递减区间为（   ）． A． B． C． D． 题型06 根据对数函数的最值或范围求参数 1.设含参对数函数为）。再判单调性：时，复合函数与时相反。结合定义域内的最值，将对数函数最值/范围转化为关于参数的不等式（如）。 2.解第一步的不等式或方程，得参数候选值。验证：确保恒成立），代入原函数检验最值/范围是否匹配。若含复合函数，需同步验证内层的单调性与最值，剔除无效解得参数范围。 41．(25-26高一上·安徽合肥肥东尚真中学·期中)函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 42．(24-25高一上·天津第三十二中学·月考)已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 43．(23-24高一上·天津第一百中学·)已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．(23-24高一上·江西抚州·)若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 45．(23-24高一上·广东广州九区联考·期末)函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 46．(23-24高一上·四川成都锦江区卓越科技培训学校·期末)已知函数的值域为，的值域为，则（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 47．(23-24高一上·上海闵行区·期末)已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 48．已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 题型07 对数函数的其它应用 1.常见场景：①指对互化（解方程/求值，如）；②实际建模（pH值、分贝等，设模型）；③反函数应用（求对数函数反函数或利用反函数性质）。提取已知条件，关联对数运算法则、单调性、过定点等性质，确定解题方向。 2.指对互化：用运算法则化简求解，确保真数、底数合规；建模问题：代入数据求参数建模型，计算待求量；反函数：利用“原函数与反函数关于y=x对称”求解。验证：数值代入检验，实际问题确保结果符合场景（如pH值在0-14之间），修正不合理解。 49．(25-26高三上·湖南九校联盟·一模)已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 50．(24-25高三下·北京中国人民大学附属中学·)历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 51．(23-24高一上·江苏南通如皋·调研)我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时.当时，是位数.则是（    ）位数. A．601 B．602 C．603 D．604 52．(21-22高一上·重庆名校联盟·)对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550-1617）是苏格兰数学家．直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，人们才认识到指数与对数之间的天然关系对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，特别是大数的连乘，需要花费很长时间．基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法．现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4．那么的数位是（    ）（注） A．6 B．7 C．606 D．607 53．(22-23高三上·湖南三湘创新发展联合·调研)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽（Hz），S是平均信号功率（W），N是平均噪声功率（W）.已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增加到原来的2倍，则平均信号功率需要增加到原来的（    ） A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍 54．(20-21高一上·山西晋中·期末)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受高斯白噪声扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽､信道内所传信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比按照香农公式，在不改变的情况下，将信噪比从1999提升至原来的10倍，则大约变为原来的几倍（    ）(参考数据：，) A．2.5 B．1.3 C．10 D．5 55．(20-21高一上·江苏常州教育学会·期末)17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 56．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道．据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的关系式为，若火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．1.005 B．0.005 C．0.0025 D．0.002 题型08 对数型函数性质综合运用 1.明确对数型函数解析式（如）。梳理核心性质：据底数定单调性（递减），结合内层单调性分析复合函数增减区间；判断奇偶性（定义域对称时验证关系），标注关键性质。 2.根据问题类型（求值域、解不等式、求最值），用性质转化：如解不等式用单调性去对数符号，求值域先求内层值域再结合外层单调性。求解后验证：代入特殊值检验，确保定义域、单调性应用无误，结合性质核对结果合理性并规范表述。 57．(24-25高一下·湖南双峰县第一中学·月考)设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 58．(24-25高一上·安徽示范高中培优联盟·)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．(21-22高一·专题06《幂函数、指数函数和对数函数》中的恒成立问题-·)对不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．(21-22高一·专题05《幂函数、指数函数和对数函数》中的取值范围和最值问题-·)已知函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 61．(21-22高一上·湖北武汉青山区·期末)已知函数，给出下述论述，其中正确的（    ） A．当时，的定义域为 B．一定有最小值 C．当时，的值域为 D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 62．(20-21高一上·云南楚雄州中小学·期末)已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．(20-21高一上·四川蓉城名校联盟·期末)若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 64．(19-20高一上·山西晋中平遥古城高级中学·期末)若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $