江苏省马坝高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

nullnull 2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 2025.11 考试时间120分钟 试卷满分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线在轴上的截距是（ ） A． B．-2 C． D．2 2.圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 3 如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4 .已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 5. 设抛物线的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，左焦点为.若的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程只有 D.直线经过定点 10．已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．取圆上点，则的最大值为 D．直线被圆所截得弦长最短为 11. 曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线上一点处的曲率半径公式为则下列说法正确的是（ ） A. 对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为 B. 若某焦点在上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距），则椭圆离心率为 C. 椭圆上一点处的曲率半径的最大值为 D. 若椭圆上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行线和的距离为_____. 13. 已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________． 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分13分）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 16 (本题满分15分）曲线且 （1）若曲线表示双曲线，求的取值范围； （2）当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 17 (本题满分15分）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 18. (本题满分17分）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 19. (本题满分17分）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null 2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试题 2025.11 考试时间120分钟 试卷满分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线在轴上的截距是（ ） A． B．-2 C． D．2 解.令，代入，得， 故选：B 2.圆的圆心坐标和半径分别是（ ） A． B． C． D． 解;将圆的一般方程化成标准方程为：，所以圆的圆心坐标为，半径为， 故选：B 3 如图，双曲线：的左焦点为，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，连接， 因为双曲线上的点与关于轴对称，根据双曲线的对称性，可得， 所以. 4 .已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】由，，可得， 则， 即， 故选：D. 5. 设抛物线的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解答过程】设为准线与轴的交点，    因为，且，所以. 因为，所以，在中，，所以，解得. 故选：C 6. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：D 7. 已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，左焦点为.若的面积为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】根据题意，椭圆的离心率为，即①， 又椭圆的右顶点为，上顶点为，左焦点为，如图所示， 所以②， 又椭圆中，③， 联立①②③，解得，，， 所以，， ， 所以的周长为. 故选：B 8. 已知双曲线C：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【解答过程】由对称性，不妨设点关于渐近线的对称点为， 设与该渐近线交于点M，则，且. 由分别是与的中点，知且， 又右焦点，渐近线方程即， 故点到渐近线的距离为， 则在中，，解得， 所以由得，， 所以. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 每题全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点关于直线的对称点为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程只有 D.直线经过定点 【答案】ABD 【详解】对于A 点和的中点在直线上， 且连线的斜率为，可得与直线垂直， 所以点关于直线的对称点为，故A正确； 对于B，直线与两坐标轴交于，， 所以围成的三角形面积为，故B正确； 对于C，若直线经过原点，满足题意，此时的直线方程为，故C错误. 对于D，令，解得， 可得直线经过定点，故D正确； 故选：ABD. 10．已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（   ） A．公共弦所在直线方程为 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．取圆上点，则的最大值为 D．直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【详解】对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由，解得，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 11. 曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线上一点处的曲率半径公式为则下列说法正确的是（ ） A. 对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为 B. 若某焦点在上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距），则椭圆离心率为 C. 椭圆上一点处的曲率半径的最大值为 D. 若椭圆上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为 【答案】ABD 【详解】对于A，半径为的圆中，，点在圆上， 则，， 因此对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为，A正确； 对于B，由，得， 则， ，由，得，则， 于是，即，， 而，解得，B正确； 对于D，椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1， 由选项B知，，则，解得， 所以椭圆方程为，D正确； 对于C，由选项D知，，C错误. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行线和的距离为_____. 【答案】 【详解】两条平行线和间的距离为. 故答案为：. 13. 已知圆：与圆关于直线：对称，且圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为，则实数的值为__________． 【答案】2或6. 【详解】分析：由两圆对称可得到圆的圆心坐标，然后根据圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为两圆的圆心距减去两半径可得实数的值． 详解：设圆圆心为， ∵圆和圆关于直线对称， ∴，解得， ∴圆的圆心为． ∴． ∵圆上任一点与圆上任一点之间距离的最小值为为， ∴， 解得或． 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 【答案】 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 解：（1）数列中，， 当时，...............................3分 当时，，满足上式，..................................................4分 所以数列的通项公式为................................................................................5分 （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列，...................................................7分 由，得，即当时，， 当时，， ...........................9分 而， 因此当时，，且数列单调递减，即；................10分 当时，，且数列单调递减，即..............................11分， 所以数列中的最大项为，最小项为...................................13分 16 （本题满分15分）曲线且 （1）若曲线表示双曲线，求的取值范围； （2）当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 解（1）表示双曲线，则，.......................................4分 解得， 故的取值范围是；............................................6分 （2）时，曲线为双曲线， 设，，故，.............................................................9分 因为， 所以，............................12分 解得， ......................................................................................14分 故点的横坐标为...........................................................15分 17 （本题满分15）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程. (2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点. 解（1）设， 是的中点， ，，....................................2分 又， 代入得． 故点的轨迹方程是．........................................................................4分 （2）由题意点坐标适合，即点A在C上， 由题意可知BD斜率不会为0，设直线：， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设，，则，， ............................................................7分 因为，， 所以 所以，，.................................................................................,,..................10分 将，代入得，即，.........,,,....,.............13分 所以直线：，即，. 所以直线BD经过定点.....................................................................................,.................15分 18.（本题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知直线：，圆： （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）若，直线与圆相交于两点，求的面积； （3）若直线：与圆交于两点，且（为坐标原点），求实数的值. 解(1)圆的方程 可化为， 所以圆的圆心的坐标为 ，半径，...............,......1分 因为直线与圆相切， 圆心到直线的距离，.........................,......3分 所以，解得，................................................................,.................5分 （2）由（1）圆的圆心的坐标为 半径， 若，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，.................,.......7分 所以，.................,.......................................................................9分 所以的面积，................................................................,.................10分 （3）设，， 因为， 所以，故，.......................................................12分 由，消得， 方程的判别式， 由已知是方程的根， 所以，，.......................................................14分 因为，由可得，结合， 可得，故，， 所以， 所以.................................................................,..........................................................17分 19. （本题满分17分）已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 解：（1）依题意可知， 当为短轴顶点时，取到最大值，.........,...........................1分 可得，解得， 所以椭圆的标准方程.............................,..........................................................4分 （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，设， 若，则直线， 联立方程，消去可得，解得或，..........,..........6分 所以的面积.............................,...............8分 （3）由（2）可设，则， 设直线的方程为，此时， 联立直线与椭圆方程，消去可得， 则，........................,........................................................................10分 不妨设，因为三点共线，则， 可得，则，..............................................12分 因为三点共线，则， 可得，则，................................................13分 可得，.......................................15分 则，可得， 所以，即..................,..........................................................................................17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $