第26章 反比例函数提优测试卷 -2025-2026学年人教版九年级数学下册

第26章 反比例函数提优测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．反比例函数的图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的位置判断，关键是根据 k 的符号和自变量的取值范围确定函数值的符号，从而确定象限，根据反比例函数的性质，当且时，，图象位于第一象限． 【详解】解：反比例函数 ，，且， ， 图象位于第一象限， 故选：A． 2．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，双曲线在第二和第四象限，且y随x的增大而增大进行解答即可 【详解】解：每一象限内，y随x的增大而增大， 比例系数 ， ， 故选：B 3．已知某物体对地面的压力为，而物体对地面的压强P与受力面积S之间的关系为，则该函数图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据压强公式，代入各点的横坐标S计算P值，与纵坐标比较即可判断点是否在图象． 【详解】解：∵， A、当时，，∴点 在图象上，故选项A符合题意； B、当时分母为零，P无意义，∴点(0,0)不在图象上，故选项B不符合题意； C、当时，，∴点不在图象上，故选项C不符合题意； D、因为受力面积，所以点不在函数图象上，故选项D不符合题意． 故选：A． 4．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的系数判断图象所在象限，以及在每一象限内的增减性． 先根据反比例函数判断函数所在象限，再分析各点所在象限的函数值正负，最后根据同一象限内的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点、、， ∴（∵）， ， ， ∴． 又∵在第二象限内，随的增大而增大，且， ∴当从增大到时，值增大，即， ∴， 故选：D． 5．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（    ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 先求出函数解析式，再将代入求出的值，进而判断即可． 【详解】∵近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数， ∴设， 将代入得：， 解得：， 即， 当时，， 由图可知，若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米， 故选：A． 6．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键；根据反比例函数k的几何意义可知：，然后问题可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知：四边形是矩形， 根据反比例函数k的几何意义可知：， ∴； 故选B． 7．已知，则函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和反比例函数的图象，根据一次函数的性质和反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵， ∴的图象经过二、四象限， ∵， ∴的图象在一、三象限． 故选： D． 8．细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比，生物学中，细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）之间的函数关系式为（） B．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 C．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 D．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的性质逐一排除即可，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：、设细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为， 当时，， ∴， ∴， ∴函数关系式为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 、若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的半径每增大，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意； 故选：D． 9．关于反比例函数的描述错误的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数， ∴当时，，即该函数图象过点，故选项A正确，不符合题意； 该函数图象在第二、四象限，故选项B正确，不符合题意； 当时，，故选项C错误，符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，轴，，反比例函数的图象经过的中点，并与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．先根据含30度角的直角三角形的性质得，根据勾股定理得，则，求出的中点代入反比例函数解析式求出，再将C点横坐标代入解析式，求出y的值，即为的长． 【详解】解：∵轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过的中点， ∴反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 将代入得，， ∴， 故选：B． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键． 由点A和点B在反比例函数图象上，可求出y₁和y₂的值，再根据y₂>y₁列出不等式求解，需考虑a的取值范围及分母不为零的情况． 【详解】解：∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． ∵点在反比例函数y=的图象上， ∴． 又∵， ∴． 当时，，不等式恒成立； 当时，不等式可化为，即， ∵，分母为负， ∴， 解得． 综上，a的取值范围为或． 故答案为或． 12．点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义， 设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式是：，设A点的坐标是，轴于点， 则 ∵的面积为8， ，即， ∴，则， 则这个反比例函数的表达式为：． 故答案为：． 13．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质．设，先求出，，则，，根据得出方程求出即可． 【详解】解：设， 在中，令，得， 令，得， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解，符合题意， 故答案为：． 14．如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意可得，再根据长方形面积公式分别表示出，根据建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，，当时，，当时，， ∴， ∵分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为， ∴，，，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：4． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知 与x 成反比例．当 时，；当 时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，求 y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的待定系数法，已知自变量的值求函数值． （1）利用成反比例的定义可设，将已知的两组值代入即可求得k的值，从而解答； （2）把代入函数，即可解答． 【详解】（1）解：∵ 与x 成反比例， ∴设 则由题意，得， 解得 所以． （2）解：当时，． 16．（8分）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 18．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）把代入或 解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集为； （3）设，分三种情况讨论，当或或时，过A作轴于E，过B作轴于F，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为； （3）解：设， 如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴， ∴； 当如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴（不合题意舍去）， 当如图，当时， 过A作轴于E，过B作轴于F， ∴ ， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 19．（8分）近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求D关于f的函数表达式． (2)经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 【答案】(1) (2)小北同学的近视眼镜度数降低了100度 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的值，用原来的度数减去现在的度数，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可设，把代入得：， 所以D关于f的函数表达式为． （2）解：当时，， （度） 答：小北同学的近视眼镜度数降低了100度． 20．（8分）如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则四边形为平行四边形； （2）同（1）作出平行四边形，再由两点距离计算公式可证明，进而得到，据此可证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形 （2）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形； 根据勾股定理得，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形是矩形． 21．（10分）如图，在中，，，点M从点C出发，沿折线C—A—B运动，当它到达点B时停止，设点M运动的路程为x（），若点N是射线上一点，且，连接，设． (1)求与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在平面直角坐标系内直接画出的函数图象，并分别写出的一条性质； (3)结合和的函数图象，直接写出当时，x的取值范围．（结果精确到0.1） 【答案】(1)， (2)图象如图，的性质：当时，函数随的增大而减小. 的性质：当时,函数随x的增大而增大；当时,函数随的增大而减小． (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数关系式，画函数图象，从函数图象获取信息等知识点． （1）根据三角形的面积公式即可求解函数关系式； （2）画出图象，即可求图象获取信息； （3）直接从图象获取信息即可． 【详解】（1）解：由题意得，； 当时， 当时， ， ∴与x的函数关系式为：，； （2）解：函数图象如图所示： 由图象可得，的性质：当时，函数随的增大而减小. 的性质：当时,函数随x的增大而增大；当时,函数随的增大而减小； （3）解：由上述图象可得当时， 的图象在图象的下方， ∴当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 反比例函数提优测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．反比例函数的图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在每一象限内的双曲线上，都随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知某物体对地面的压力为，而物体对地面的压强P与受力面积S之间的关系为，则该函数图象一定过点（    ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象经过点，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数（度）是关于镜片焦距（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为米．若小明同学眼睛的近视度数不超过200度，则下列说法正确的是（    ） A．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于米 B．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不小于2米 C．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应不大于米 D．小明同学的近视眼镜的镜片焦距应大于米 6．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知，则函数和的图象大致是（    ） A．B．C． D． 8．细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比，生物学中，细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）之间的函数关系式为（） B．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 C．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 D．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 9．关于反比例函数的描述错误的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 10．如图，在平面直角坐标系中，轴，，反比例函数的图象经过的中点，并与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D．1 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．已知点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 12．点为反比例函数图像上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为8，则这个反比例函数的表达式为 ． 13．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为 ． 14．如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知 与x 成反比例．当 时，；当 时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，求 y的值． 16．（8分）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 18．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若点是轴上的一动点，当时，求点的坐标． 19．（8分）近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D（度）是关于镜片焦距f（米）的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求D关于f的函数表达式． (2)经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 20．（8分）如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 21．（10分）如图，在中，，，点M从点C出发，沿折线C—A—B运动，当它到达点B时停止，设点M运动的路程为x（），若点N是射线上一点，且，连接，设． (1)求与x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在平面直角坐标系内直接画出的函数图象，并分别写出的一条性质； (3)结合和的函数图象，直接写出当时，x的取值范围．（结果精确到0.1） 1 学科网（北京）股份有限公司 $