精品解析：湖南省长沙市岳麓实验中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

长沙市岳麓实验中学高一期中考试数学 一、单选题 1. “”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：B 3. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的结果列式求解. 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 4. 已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件将问题转化为“在上恒成立”，再根据求解出的范围. 【详解】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立， 所以，， 又因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以， 故选：B. 【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论； （2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系. 5. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，利用常数代换技巧求最值判断D. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 结合A，， 当时，等号成立，故B错误； 结合A，， 所以，当时，等号成立，故C错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确． 故选：D． 6. 函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得. 【详解】设，则，即， 代入，可得，故. 故选：A. 7. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解. 【详解】定义在上的偶函数，，， 当时，单调递减，当时，单调递减， 定义在上的偶函数， ，，， 当时，单调递减， ，，即， 解得或， 的定义域为， ，， ， 或和要同时成立， ， 关于的不等式的解集为. 故选：C. 8. 若，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法，判断函数的周期，对称性，再利用周期性和对称性求值. 【详解】令，，得，得， 令，， 又，故，即， 故得到周期， 令，，即，故是偶函数， 又，，所以得到图象关于对称， 所以，，，， 所以. 故选：A 二、多选题 9. 对于的两个非空子集，定义运算，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 表示一个正方形区域 【答案】BC 【解析】 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【详解】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 10. 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立即可求解A，根据二次函数的单调性求解值域，即可求解B，根据二次函数的性质即可求解CD. 【详解】对于A，的定义域为R，则恒成立， 所以，则，故A正确； 对于B，因为函数的对称轴为， 所以当时，单调递减，当时单调递增， 所以，解得， 又因为且，所以，解得（负根舍去）， 所以，故B不正确； 对于C，由于，且的对称轴为， 故，则，所以，而在单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，又函数图像开口向上，对称轴为． 所以，即，故D正确； 故选：ACD． 11. 函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】A问题化为恒成立，求参数范围；B由根式型函数值域及二次函数性质求参数范围；C由题设有，结合一元二次不等式确定定义域和值域，由正方形性质得，即可判断；D利用配方法及放缩判断时不等式是否恒成立，即可判断. 【详解】A：若，则恒成立， 显然时，成立， 时， ， 故，正确； ：由已知，则，错误； C：若表示一个正方形区域，则， 设的解集为， ， 又，所以， 解得， 此时，故该区域的面积为，正确； ：当时，，正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 命题p：“，使得”的否定为__________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围______. 【答案】 ①. ，使得 ②. 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果；由题意，，使得为真命题，分离常数可知在上有解，构造函数，利用基本不等式求解最小值，即可得解. 【详解】因为命题p：“，使得”，且全称命题的否定是特称命题， 所以命题p的否定为，使得； 若命题p为假命题，则命题p的否定为真命题， 所以在上有解，即在上有解， 记函数，则， 因为， 当且仅当即时等号成立，所以，所以， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：，使得；. 13. 在中，角的对边分别为，若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】是的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故答案为：. 14. 函数的值域为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数定义域，将函数平方后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】易得，， ， 由二次函数性质易知：当时，有最大值；当或时，有最小值. 所以，即函数值域为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为或， ， 且，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 设全集，已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合A，由集合运算列式可得结果， （2）由充分条件得，根据子集关系列式可得结果. 【小问1详解】 由，解得，所以. 因为，且，所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 【答案】（1） （2）当时，，； 当时，，； 当时，，； 【解析】 【分析】（1）由已知两点坐标得到对称轴，即知道顶点坐标，将二次函数设为顶点式，代入一个点坐标求出的值，即可得到的解析式； （2）由二次函数的单调区，讨论不同的取值范围内，得到在区间上的最值. 【小问1详解】 因为图象经过两点，且纵坐标相等， 所以的对称轴为，即的顶点为， 设二次函数的顶点式为， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 当时，在上单调递减， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且 所以，； 综上所述：当时，，； 当时，，； 当时，，； 18. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】（1） 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为. （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 19. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），奇函数 （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3） 【解析】 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【小问1详解】 因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市岳麓实验中学高一期中考试数学 一、单选题 1. “”是“一元二次方程有两个正实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值是 6. 函数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，则（ ） A. -2 B. -1 C. D. 0 二、多选题 9. 对于的两个非空子集，定义运算，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 表示一个正方形区域 10. 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 三、填空题 12. 命题p：“，使得”的否定为__________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围______. 13. 在中，角的对边分别为，若，则的最小值为______． 14. 函数的值域为_______. 四、解答题 15. 已知集合，集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，，求实数的取值范围. 16. 设全集，已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数的图象经过两点，且函数的最小值是. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在区间上的最值. 18. 已知函数，函数的定义域为. （1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； （2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 19. 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . （1）求的值并判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性并证明； （3）若对任意的成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $