精品解析：黑龙江省大庆市第四中学2025-2026学年高二上学期第二次检测数学试题

大庆四中2025～2026学年第一学期高二年级第二次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线即可. 【详解】抛物线的准线方程是. 抛物线，则，所以准线方程是. 故选：D. 2. 实数数列，，为等比数列，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项列方程即可求解. 【详解】因为实数数列，，为等比数列， 由等比中项的性质得，所以， 故选：D． 3. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，即可由离心率公式求解. 【详解】的渐近线方程为， 将代入可得， 故离心率为， 故选：B 4. 已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系确定出该动圆圆心的运动轨迹是椭圆，进而求出椭圆的方程． 【详解】设动圆的圆心为，半径为R， 动圆与圆外切，同时与圆内切， 则，又， 因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆， 设椭圆的方程为，故，解得，， 由a、b、c的关系得，故椭圆的方程为： 故选：A 5. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得 ①， 所以时， ②， ①-②得，所以， 所以. 故选：C. 6. 若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【详解】设端点，，作图如下： 由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 7. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求解. 【详解】等比数列中，，则， 故. 故选：C. 8. 已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得. 【详解】如下图所示： 易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为C，则（ ） A. 若C为椭圆，则 B. 若C是焦点在x轴上的椭圆，则 C. 若C为双曲线，则或 D. 若C为焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程的特点，即可求解． 【详解】若C为椭圆，则，解得且，所以A选项错误； 若C是焦点在x轴上的椭圆，则，解得，所以B选项正确； 若C为双曲线，则，解得或，所以C选项正确； 若C为焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以D选项错误． 故选：BC 10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给条件可得，进而得到，选项A、B正确；通过 得到选项C错误；根据等差数列前项和公式可得，选项D正确. 【详解】∵， ∴，， ∴， 故选项A、B正确. ∵， ∴， ∴， ∴，选项C错误. 由等差数列前项和公式得，，选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 的离心率为 C. 点到轴的距离为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中位线及椭圆的定义，利用等边三角可求出，，再由余弦定理可得关系，即可判断B，再由三角形面积公式判断A，利用等面积法判断C，由角平分线定理求出即可判断D. 【详解】如图，设，，延长交于点. 由题意知，为的中点，则为的中点， 又，所以是等边三角形， 则化简得即 在中，由余弦定理得， 所以，即. 因为，所以，，所以，，故B错误. 的面积为，故A正确. 设点到轴的距离为，所以，则，故C正确. 因为是的平分线，所以， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆（）的一个焦点是 ，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置和半焦距，利用的数量关系即可求得. 【详解】因为椭圆（）的一个焦点是 , 所以，解得. 故答案为： 13. 已知数列满足，则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用累加法及等差数列前项和公式计算即可求解. 【详解】， ， 由累加法可得， 所以. 故答案为： 14. 过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得为的中点，设，由一条渐近线方程和与其垂直的垂线方程，求得交点的坐标，由中点坐标公式可得的坐标，代入抛物线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值． 【详解】由，可得为的中点， 设，由渐近线方程，① 可设直线的方程为，② 由①②解得， 由中点坐标公式可得， 代入抛物线的方程可得，③ 由题意可得，即， ③化简可得， 由，可得， 解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为等差数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，最大，并求出的最大值. 【答案】（1） （2），最大值 【解析】 【分析】（1）直接根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求解； （2）求出，然后利用二次函数的性质求最值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为， 即； 【小问2详解】 由（1）得， 由二次函数的性质可得， 当时，最大，且最大值为. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点就得到了双曲线的焦点， 代入双曲线方程，计算得解； （2）设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理求出，使用数量积公式计算. 【小问1详解】 椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理， 得， 所以， 则. 17. 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【小问1详解】 设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. 【小问2详解】 易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 18. 已知，直线交于点，且直线的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． （1）求的方程． （2）不过点的直线与交于两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）设， 当斜率存在时，设， 由得，， ∴，即， ∴， ∵直线与的斜率之和为， ∴，∴， ∴，整理得， ∵，∴， ∴直线方程为，恒过定点. 当直线斜率不存在时，， ∵直线与的斜率之和为， ∴， ∴，此时直线，恒过定点. 综上得，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设点，利用建立等量关系，求的轨迹方程. （2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和和两根之积， 根据直线与的斜率之和为得到参数的关系，可得直线恒过定点，当斜率不存在时，求点的横坐标，可得直线过定点. 【小问1详解】 设，则，， 由题意得，， 整理得， ∴曲线的方程为. 【小问2详解】 略 19. 如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与曲线相交于、两点，直线，分别与交于点. （1）求； （2）证明：以为直径的圆经过点； （3）记、的面积分别为、，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 因为点， 所以 ， 所以，即，所以为直径的圆经过点. （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，即可得解； （2）利用斜率公式结合韦达定理计算得出，可得出，即可证得结论成立； （3）设的斜率为，则的方程为，将直线的方程分别与曲线、的方程联立，可求得点、的坐标，同理可得出点、的坐标，可求得、，进而可得出的表达式，利用基本不等式可求得的取值范围. 【小问1详解】 若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意. 所以直线的斜率存在，设直线的方程为. 由得， 设、，则、是上述方程的两个实根， 于是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知，设的斜率为，则的方程为， 由解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标为. 所以， 由得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得点的坐标， 于是， 因此， 当时，即当时，等号成立， 所以，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆四中2025～2026学年第一学期高二年级第二次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 实数数列，，为等比数列，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 或4 3. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 已知一动圆O与圆外切，同时与内切，则动圆圆心O的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在等比数列中，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若方程所表示的曲线为C，则（ ） A. 若C为椭圆，则 B. 若C是焦点在x轴上的椭圆，则 C. 若C为双曲线，则或 D. 若C为焦点在y轴上的双曲线，则 10. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是椭圆：（）位于第一象限上的一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，的平分线与轴交于点，为原点，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 的离心率为 C. 点到轴的距离为 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆（）的一个焦点是 ，则等于______. 13. 已知数列满足，则=_______． 14. 过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，设垂足为P（P为第一象限的点），延长FP交抛物线于点Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为等差数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，最大，并求出的最大值. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， （1）若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； （2）若，，求的值. 17. 已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. （1）求抛物线的方程； （2）若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 18. 已知，直线交于点，且直线的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． （1）求的方程． （2）不过点的直线与交于两点，且直线与的斜率之和为，试问直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 19. 如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与曲线相交于、两点，直线，分别与交于点. （1）求； （2）证明：以为直径的圆经过点； （3）记、的面积分别为、，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $