精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高三上学期月考（四）（11月）数学试卷

长沙市一中 2026 届高三月考试卷(四) 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的模长求解即可． 【详解】复数，所以． 故选：B． 2. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合中的元素进行求解. 【详解】因为， 又且，则， 故选：D 3. 已知在中，是的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【详解】 . 故选：C. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 5. 某餐厅的原料费支出（单位：万元）与销售额（位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为（ ） 2 4 5 6 8 25 35 55 75 A. 60 B. 55 C. 50 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性回归方程必过样本点带入线性回归方程即可求出. 【详解】因为， 带入得得． 故选：A 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 7. 已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. -1 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】由函数与的关系及，的对称性，得到的周期性，利用周期性可求解. 【详解】是奇函数，. ,又是偶函数， ，是周期为4的周期函数，，又 因为所以. 故选：B 8. 已知 ,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求导利用函数单调性可得答案. 【详解】令， 则， ， 而， 所以，故，又易知在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以， 故，故. 故选：A 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 的图象向右平移个单位长度后得到函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意得，，再根据正切函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】由题知，，故A选项正确； 由于正切函数取绝对值后不影响函数的周期性， 所以，， 所以，，，即，故C选项错误； 由图可知函数的对称轴方程为，故是函数的对称轴，所以函数的图象关于直线对称，故B选项正确； 的图象向右平移个单位长度后得到函数，故D选项正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为 左、右顶点分别为 以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点M位于第一象限，且 则下列说法一定正确的是 A. B. 双曲线C的离心率为 C. D. 当时，四边形 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过联立方程组的方法求得两点的坐标，根据列方程，求得的关系式，结合双曲线的离心率、对称性、两点间的距离、四边形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图所示： 因为圆的方程为， 双曲线的渐近线的一条方程为， 联立，得或，故，， 又因为 所以，， 所以， 又因为， 所以， 从而得，， 所以， 对于A，由对称性可得四边形为平行四边形， 又因为， 所以，故A正确； 对于B，由题意可得 又因为，解得，故B错误； 对于C，设，则，因为， 且，即， 所以， 所以，C选项正确. 对于D，当时，， 所以， 所以， 又因为四边形的面积，故D错误. 故选：AC. 11. 已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2，如图将三棱锥的一个面和正四棱锥的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（ ） A. 新几何体为三棱柱 B. C. 直线AF与CD 异面 D. 正四棱锥的棱切球半径为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】取的中点，的中点，可证平面，平面，从而平面与平面重合，再证明四边形为平行四边形，可得，可得判断BC选项；根据棱柱的定义判断A选项；根据棱切球的定义得出的交点为球心判断D选项. 【详解】取的中点，的中点，连、、、，如图： 因为正三棱锥和正四棱锥的所有棱长都为， 所以，，， 又平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，所以平面， 所以平面与平面重合， 因为，，则四边形为平行四边形，则，又，所以， 故C错误； 因，则，故B正确； 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理得四边形也为平行四边形，平面， 因为平面，所以平面平面， 又且，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故A正确； 设， 因，， 则为等腰直角三角形，故边上的高为， 因，且，则为棱切球的球心，且半径为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12. 函数 的图象在处的切线的倾斜角为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为，所以，即切线的斜率为，所以切线的倾斜角为. 故答案为： 13. 甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3局就赢得比赛(单局中无平局)．若甲每局获胜的概率为则第4局比赛刚好结束的概率为______(用数字作答)． 【答案】 【解析】 【分析】根据第4局是甲获胜和乙获胜两种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】记第局比赛甲获胜为事件，第4局比赛刚好结束为事件， 则 . 故答案为： 14. 已知为数列的前项和，，，，则当，时，______(用表示)． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干定义分析得到数列各项取值的特征，然后利用分组求和可得结果. 【详解】由题意，可得时，， 当时，， 当时，，…… 当时，， 当，时， . 故答案为：. 四、解答题(本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和， （1）求数列的通项公式； （2）证明： 【答案】（1） （2）证明:由（1）可知：，， 则， 且 ， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列性质可得，，进而求，即可得公差； （2）根据等差数列求和公式结合分组求和法分别求，进而比较大小. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，即， 又因为，则，，， 可得，即， 则，解得， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 略. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求得得，进而求出及三角形面积. （2）结合（1）中信息，利用正弦定理边化角及二倍角的正弦求解. 【小问1详解】 在中，及余弦定理， 得，，整理得， 由正弦定理得，即， 则，即，由， 得，，因此，即， 由，得，又，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 由（1）及为锐角三角形，得，解得， 由正弦定理得，， 所以的取值范围为. 17. 如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，. （1）求证：平面； （2）当时，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明:在上取点，使得，取中点， 连接、、，由，为的中点， 故，，，， 故且，故四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出相应辅助线，借助中位线与等分点的性质可得四边形为平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，设出，求出平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由为直径，故，由， 则，， 以为原点，、为、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由平面，故轴， 则、、、、， 则，，，， 又，则，故， 由在圆上，可设，， 则， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，故， 设与平面所成角为， 则， 则当，即或时，有最大值， 当时，，则，与点重合，不符； 当时，，则，符合要求； 故与平面所成角的正弦值的最大值为. 18. 已知 分别为椭圆的上、下焦点， ，点 为椭圆C上一点． （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点． （i）当点M运动时，求点的轨迹方程； （ii）已知以椭圆 上一点为切点的切线方程为 ，若直线l交直线于点 由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点. 【答案】（1）； （2）（i），（ii）. 【解析】 【分析】（1）由得到，将代入椭圆，联立方程组求解即可； （2）（i）直线和椭圆联立方程组，消去，整理得到，由椭圆C与直线有唯一公共点M，得到，即得，同时从方程中解出，将其代入解得，从而得到的坐标，求出过点M且与l垂直的直线方程，从而得到点的坐标，则点中的和分别为点的横纵坐标，通过计算得到和的方程，即为所求； （ii）分别求出，为切点的切线方程，又这两条切线都过，将代入这两条切线方程得到直线的方程，将代入直线得到，代入直线的方程从而求出直线过的定点. 【小问1详解】 ，，， 为椭圆上一点，， 联立方程组，解得，椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （i）直线和椭圆联立方程组，消去， 【小问3详解】 【小问4详解】 整理得到， 椭圆C与直线有唯一公共点M， ，， ，且的解为， 代入解得， 则，，， ， 过点M且与l垂直的直线方程为， 设，则，则， 设，则，则， 中的，， ，，， ， ； （ii）椭圆C的方程为，引椭圆C的另一条切线，切点为N， 设，则为切点的切线方程为， 则为切点的切线方程为， 这两条切线都过， ，直线的方程为， 在直线上，，， 直线的方程为，， ，，， 直线过定点. 19. 已知函数的极大值为． （1）求实数a的值； （2）令，实数.求证：有两个极小值点，且； （3）若.若，成立，求整数t的最小值． (参考数据：，，，，，) 【答案】（1）1 （2） 由（1）可知：， 则， 可知的定义域为， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 且当趋近于0或时，趋近于， 可知在内值域为， 令，可得，则， 且，令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 由的单调性和值域可知关于x的方程有2个不同的实数根，不妨设， 因为 ，则有： 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 当时，则，可知在内单调递减； 当时，则，可知在内单调递增； 所以有两个极小值点， 又因为， 则，， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性和极值，进而运算求解； （2）整理可得，构造，利用导数分析的单调性和值域，构造，利用导数分析其单调性，在结合复合函数单调性分析证明； （3）构建，，原题意等价于，成立，先根据，解得，再分别对和检验即可. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且， 若，则，可知函数在内单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数的极大值为，解得； 综上所述：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，即， 构建，， 原题意等价于，成立， 令，解得， 若，，符合题意； 若，则， 构造，，则， 可知在内单调递增， 且，， 可知在内存在唯一零点， 当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且， ， 可得在内恒成立，不合题意； 综上所述：整数t的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市一中 2026 届高三月考试卷(四) 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，是的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 5. 某餐厅的原料费支出（单位：万元）与销售额（位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的的值为（ ） 2 4 5 6 8 25 35 55 75 A. 60 B. 55 C. 50 D. 45 6. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知定义域为R的函数与满足：，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. -1 B. 2024 C. 2025 D. 2026 8. 已知 ,则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 的图象向右平移个单位长度后得到函数 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为 左、右顶点分别为 以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，点M位于第一象限，且 则下列说法一定正确的是 A. B. 双曲线C的离心率为 C. D. 当时，四边形 的面积为 11. 已知正三棱锥和正四棱锥的所有棱长均为2，如图将三棱锥的一个面和正四棱锥的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体的说法正确的是（ ） A. 新几何体为三棱柱 B. C. 直线AF与CD 异面 D. 正四棱锥的棱切球半径为1 三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12. 函数 的图象在处的切线的倾斜角为______ 13. 甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3局就赢得比赛(单局中无平局)．若甲每局获胜的概率为则第4局比赛刚好结束的概率为______(用数字作答)． 14. 已知为数列的前项和，，，，则当，时，______(用表示)． 四、解答题(本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和， （1）求数列的通项公式； （2）证明： 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）若，求的面积； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 17. 如图，点，在以为直径的圆上，，与点，不重合.平面，为的中点，为的中点， ，. （1）求证：平面； （2）当时，求与平面所成角的正弦值的最大值． 18. 已知 分别为椭圆的上、下焦点， ，点 为椭圆C上一点． （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于两点． （i）当点M运动时，求点的轨迹方程； （ii）已知以椭圆 上一点为切点的切线方程为 ，若直线l交直线于点 由点Q引椭圆C的另一条切线，切点为N，求证：直线过定点. 19. 已知函数的极大值为． （1）求实数a的值； （2）令，实数.求证：有两个极小值点，且； （3）若.若，成立，求整数t的最小值． (参考数据：，，，，，) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $