精品解析：上海理工大学附属杨浦少云中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

少云中学2025学年第一学期期中考试数学试卷 （满分：100分，完卷时间：90分钟） 一、填空题（每题3分） 1. 若集合，，则________ 2. 不等式的解集是________ 3. 用反证法证明“若，则或”时，则应假设__________. 4. 适合条件的集合的个数_________个. 5. 若集合，，求______ 6. 已知方程的两实根为，则的值为__________． 7. 已知命题，命题，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是__________． 8. 已知，，则的取值范围是______. 9. 已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为________． 10. 若不等式的解集为，则实数取值范围是______． 11. 已知，且，则的最大值为________________ 12. 已知，若不等式在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是______． 二、选择题（每题4分） 13. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 已知集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 设实数，为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是. A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知集合，，且.若，求实数的值. 18. 已知不等式的解集是，求不等式的解集. 19. 设x，y都是正数，且,证明：和中至少有一个成立. 20. 命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 21. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 少云中学2025学年第一学期期中考试数学试卷 （满分：100分，完卷时间：90分钟） 一、填空题（每题3分） 1. 若集合，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】计算求得集合，根据并集定义求得结果. 【详解】 本题正确结果： 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题. 2. 不等式的解集是________ 【答案】 【解析】 【分析】由分式不等式的解法直接解出答案. 【详解】因为 所以 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3. 用反证法证明“若，则或”时，则应假设__________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据反证法的性质，结合否定的定义即可求解. 【详解】“若，则或”时，则应假设：且， 故答案为：且 4. 适合条件的集合的个数_________个. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知集合中元素的个数可以为个，分别写出符合题意的，由此即可解出答案. 【详解】由题意知集合中元素的个数可以为个， 当集合中元素的个数为个时，可以为：； 当集合中元素的个数为个时，可以为：、； 当集合中元素的个数为个时，可以为：. 综上所述：适合条件的集合有个. 故答案为：4 5. 若集合，，求______ 【答案】 【解析】 【分析】因为两集合均为点集，所以其交集为两曲线交点坐标. 【详解】由，解得或， 故， 故答案为：. 6. 已知方程的两实根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系写出，，由即可求值. 【详解】方程的两实根为，则有，， 所以. 故答案为：. 7. 已知命题，命题，且是的必要非充分条件，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式之间的关系，利用必要不充分条件的定义即可得出结论. 【详解】设，， 因为是的必要非充分条件， 所以，则有，解得， 故答案是. 【点睛】该题考查的是有关根据必要非充分条件求参数的取值范围，在解题的过程中，需要明确从集合的角度处理必要非充分条件，满足真包含关系，从而得到相应的不等式组，求得结果. 8. 已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 9. 已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据包含关系构造方程，从而求得结果. 【详解】由题意， 当时，，满足B⊆A 当时， 或，解得：或 实数组成的集合为 故答案为： 10. 若不等式的解集为，则实数取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，恒成立，符合题意；当时，由即可求解. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意； 当时，若不等式的解集为， 则，可得：， 综上所述：实数取值范围是， 故答案为：. 11. 已知，且，则的最大值为________________ 【答案】 【解析】 【详解】，当且仅当x=4y=时取等号. 12. 已知，若不等式在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的性质可以求出的最小值，最后根据题意可求出a的取值范围. 【详解】，当且仅当时取等号，即时取等号，要想不等式在实数集R上的解集不是空集，而，所以只需成立即可. 故答案为： 【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，考查了已知绝对值不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力. 二、选择题（每题4分） 13. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的性质或者通过举反例，逐一对选项进行判断即可. 【详解】对于选项A，若，不等式不成立，故A不正确； 对于选项B，根据不等式性质可知，正数的同向不等式可以相乘，故B正确； 对于选项C，取，满足，但是不满足，故C不正确； 对于选项D，根据不等式的性质可知，对两个正数的不等式两边同时取倒数，不等号方向应改变，故D不正确； 故选：B. 14. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 15. 已知集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合，再根据列不等式求出实数的取值范围． 【详解】，，集合， ， 等价于，整理得，解得，集合， 又， ，解得， 故选：D． 16. 设实数，为任意的正数，且，则使恒成立的的取值范围是. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“的妙用”计算出的最小值，然后即可得到的取值范围. 【详解】，，且，， 当且仅当时取等号. 不等式恒成立，即. ，故选A. 【点睛】本题考查利用基本不等式中“的妙用”求解最小值并确定参数取值范围，难度一般. 已知，求的最小值时的方法：，取等号时. 三、解答题 17. 已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【解析】 【分析】解出，由题意知或或，由此即可解出实数的值. 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 18. 已知不等式的解集是，求不等式的解集. 【答案】 【解析】 【分析】先根据解集列式计算求参数，再解一元二次不等式计算求解. 【详解】不等式的解集是， 则且， 所以， 则不等式， 所以不等式的解集为. 19. 设x，y都是正数，且,证明：和中至少有一个成立. 【答案】 证明：（反证法）假设结论不成立， 即有且，由已知， 所以有且， 故， 与已知矛盾，假设不成立， 所以有与中至少有一个小于3成立. 【解析】 【分析】利用反证法证明，假设且，由此进行推理可得，与已知矛盾，所以假设不成立，进而可得到证明 【详解】略 20. 命题甲：集合为空集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得命题甲乙对应的k的范围，分甲真乙假，甲假乙真两种情形，由集合的运算可得. 【详解】命题甲为真命题，则集合为空集 ，解得， 命题乙为真命题，则关于的不等式的解集为， ，解得 由命题甲、乙中有且只有一个是真命题， 若甲为真命题，乙为假命题，则，k无解, 若乙为真命题，甲为假命题，则，得或 综上所述，实数的取值范围为 . 【点睛】该题考查的是有关两个命题一真一假时对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确每一个命题为真命题时对应参数的取值范围，再分类讨论，求得结果，属于简单题目. 21. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $