专题03 轴对称（7大考点）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称 7大高频考点概览 考点01 轴对称图形的判断 考点02 线段的垂直平分线的性质 考点03 与等腰三角形有关的多解题问题 考点04 等腰三角形的判定和性质 考点05 等边三角形的判定和性质 考点06 等腰三角形的规律探究问题 考点07 等腰三角形的共顶点手拉手问题 地 城 考点01 轴对称图形的判断 1．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)下列图案是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形不是轴对称图形，故A错误； B．选项中的图形不是轴对称图形，故B错误； C．选项中的图形不是轴对称图形，故C错误； D．选项中的图形是轴对称图形，故D正确． 故选：D． 2．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此求解即可．熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A．      蒸馏烧瓶 B．  烧杯 C．  圆底烧瓶 D．    分液漏斗 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)下面几个标志中，是轴对称图形的是（   ） A．绿色食品 B．可回收物 C．节能 D．节水 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 5．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用．以下手机应用的标志（Logo）是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 6．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列绿色食品、回收、节能、节水四个节能环保标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 地 城 考点02 线段的垂直平分线的性质 1．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于， ∴，，， ∴， 此时取得最小值， ∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ，， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 2．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE的长为 ． 【答案】6 【详解】试题分析：因为ED垂直平分 BC，所以BE=CE,在Rt△BDE中，因为∠B=30°，ED=3，所以BE=2DE=6，所以CE=BE=6． 考点：1．线段的垂直平分线的性质；2．直角三角形的性质． 3．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，在中，是边的垂直平分线． 若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知，进而可求出的周长． 【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 4．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 【答案】7 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 5．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，连接BE． （1）求证：AE＝BC； （2）求∠A的度数． 【答案】（1）见解析；（2）36° 【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可； （2）设，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解（1）∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∵， ∵， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键． 6．(23-24八上·江西赣州·期末)中，，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1)的度数为 (2)的周长为 【分析】（1）根据等边对等角，得出是等腰三角形，，再根据是的垂直平分线，得出，再根据，即可求解； （2）根据是的垂直平分线，得出，再根据，得出的周长为，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：∵，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， 又∵， ∴的周长为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形，垂直平分线的综合，理解等腰三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 7．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， (1)求的长； (2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1)9 (2)9 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证为等腰三角形，由角度可证为直角三角形，再由线段之间的关系即可求出的长； （2）根据将军饮马原理即可得出的最小值为的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）解：如图， 取点关于直线的对称点，即点；连接两点，与直线交于点， 根据两点之间线段最短 则即为的最小值，最小值为9 【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键． 8．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与分别相交于E和D，连接． (1)若，求的度数． (2)若，的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图： （1）由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再根据三角形的内角和定理以及外角的性质，即可求解； （2）根据的周长为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由作法得垂直平分， ∴， ， ∵， ， 又， ∴； （2）解：∵的周长为， 即，， ∴， 即， ∴的周长为． 9．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，E、G分别为垂足．    (1)求的度数； (2)若的周长为20，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）分别求出和，再利用即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 同理可得，， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， 由（1）可知，，， ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的基本性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，准确记忆并熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 地 城 考点03 与等腰三角形有关的多解题问题 1．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)如图，，平分，如果射线上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用， 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为：或或． 故答案为：或或． 2．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ①当，即D点在处时， 此时 ； ②当时，即D点在处时， 此时， ③当时，即D点在处时， 此时， 综上所述的度数是或或． 故答案为：或或． 3．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．    【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分三种情况考虑：当，分别求出夹角的大小即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ①当时， ∴，即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当是等腰三角形时， 或或． 故答案为：或或． 4．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接．当 时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质，等腰三角形的定义等知识，先由全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，得到，据此分别求出三个内角的度数，再根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ． ， ∴， ∵， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 故答案为：或或． 5．(24-25八上·江西南昌·期末)如图，在中，，，D为的中点，点E在上，，若P是或上一点，当是以为底的等腰三角形时，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵当是以为底的等腰三角形时， 当点P在上时， ∵， ∴， ∴； 当点P在上时， ∵，D为的中点， ∴， 过D作于G，于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵于G，于H，， ∴， ∴， 当点P在上时， 同理证得， ∴， ∴， 故答案为：或或． 6．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒（）．当点运动到边时，t为 秒时，为等腰三角形．    【答案】5秒或4.75秒或5.3 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并注意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键．先根据勾股定理求出．再分，，三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，∵， ∴． ①如图1，当时，为等腰三角形，   ， 秒； ②如图2，当时，为等腰三角形，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 秒； ③如图3，当时，作于，    则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ， ， ∴秒． 综上所述，为5秒或4.75秒或5.3秒时，为等腰三角形． 故答案为：5或4.75或5.3． 7．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)如图，在中，，，点D为边上一点且不与A、B重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点F．若，当为等腰三角形时， ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形外角定理，解题关键是分类讨论求解． 当为等腰三角形时，分四种情况讨论腰的情况，根据三角形的外角性质以及等腰三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：为等腰三角形时， 根据折叠变换的性质可得，， ①当时，，如图， ∴， ∵， ∴，显然不符合题意； ②当时，，如图， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，，如图， ∴， ∴， ∴； ④当点E在线段上侧时，，如图， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴°， ∴； 故答案为或或． 地 城 考点05 等腰三角形的判定和性质 1．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由，，，．利用边角边定理证明，进而得出结论； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． （2）解： ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1=∠2，AD=DE． (1)求证：△ABD≌△DCE； (2)若BD=3，CD=5，求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE； （2）得出AB = DC = 5，CE= BD= 3，求出AC = 5，则AE可求出． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵∠1=∠2，AD=DE， ∴△ABD≌△DCE． （2）解：∵△ABD≌△DCE ∴DB=EC=3，CD=AB=AC=5． ∴AE=2． 3．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，与交于． (1)当时，请说明与全等的理由． (2)在点D的运动过程中，的度数是多少时，的形状是等腰三角形．（请直接写出的度数）． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形的内角和； （1）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可知，再根据全等三角形的判定即可解答； （2）根据等腰三角形的性质分①当时②当时两种情况再等腰三角形性质及三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴ （2）解：如图，当时， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴；    当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时不符合题意，此种情况不存在， 综上，的度数为或；    4．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求得的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可； （2）连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，，又易证，即得出． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，且点F是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． 5．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)如图①，在中，，，点D为的中点，连结．点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结．设． (1)的度数为__________． (2)当是钝角三角形时，求x的取值范围． (3)当是轴对称图形时，求x的值． (4)如图②，作点B关于直线的对称点，连结、，当与重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2)或 (3)27或76.5 (4)42或51或84或75 【分析】（1）先由等边对等角，求出，运用三角形内角和进行列式，得，结合等腰三角形的三线合一，即可作答； （2）根据为钝角，为钝角，这两种情况进行列式作答即可； （3）根据是轴对称图形，即是等腰三角形，进行分类讨论，即可作答． （4）分为点P在和上两种情况，作图，结合三角形的内角和以及三角形的外角性质，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴ 即 ∵点D为的中点， ∴ 即的度数为； （2）解：当为钝角，即， ∵， ∴， 即， 当为钝角， ∵， ∴， ∵点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时， ∴当点P与点C重合时，， ∴ 即； 综上：当是钝角三角形时， x的取值范围为或 （3）解：当是轴对称图形时， 即是等腰三角形 当时，，则； 当时，，则， 此时点P与点C重合，故舍去； 当时，，则； 综上：当是轴对称图形时， x的值为27或76.5 （4）解：点P在上时，记与的交点为 ∵作点B关于直线的对称点， ∴ 当时，， ∵ 则， 解得； 当时，则， 即； 点P在上时，记与的交点为 易知， 则， 那么 则 当时，则，解得； 当时，则，此时不存在； 当时，则，解得； 综上：当与重叠部分为轴对称图形时，x的值为42或51或84或75． 地 城 考点06 等边三角形的判定和性质 1．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形； （2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， ，，， ． ， ， 是等边三角形； （2）根据题意可得： ∵△PMN是等边三角形， ∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中， ， ∴（AAS）， ，； ， ， ． 是正三角形， ，而， ． ， ， ， ． 2．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)【教材回顾】如图1，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)【结论应用】在直角中，，若，则______； (2)【变式探究】如图2，在直角中，，求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是熟练掌握含角的直角三角形中边与角的特殊关系． （1）直接运用含角的直角三角形的性质求解； （2）通过延长至点，使，连接，构造，利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明角的度数． 【详解】（1）解：在直角中， ，， ； （2）解：延长至点，使，连接， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 3．(24-25八上·江西南昌·期末)如图1，在中，，，在的右侧作等边三角形． (1)若，求的度数； (2)试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，作点D关于直线的对称点E，连接，，试判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质． （1）根据全等三角形的性质性质及等腰三角形的性质即可解答； （2）设，根据全等三角形的性质性质及等腰三角形的性质即可解答； （3）连接，，根据题意及全等三角形的性质，证明，得到为等边三角形，则，设，则，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，连接，， ∵点D与点E关于对称， ∴， ∴，， 由（2）可知， ∴， ∵，为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即． 4．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)在等边中，，点D是边上的一点，点E在边的延长线上、且．连接． (1)如图，若， ①求证：， ②若点M、N分别是线段上的动点，连接，求的最小值． (2)若点D和点E分别是直线和直线上的动点，，将图补充完整，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)补全图形见解析， 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，，由等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解；②由等边三角形的性质可得点、关于对称，则，从而可得，即当、、在同一直线上，且时，的值最小，为，求出即可得解； （2）由等边三角形的性质可得，，则，作于，则，由等腰三角形的性质可得，求出，得出，从而可得，即可得解． 【详解】（1）①证明：∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵为等边三角形，， ∴， ∴点、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上，且时，的值最小，为，如图所示： ， ∵， ∴， ∴的最小值为； （2）解：画出图形如图所示： ， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)如图，点A、B、C在一条直线上，与均为等边三角形，连接和． (1)求证：． (2)设与交于点P，与交于点Q，连接． ①按题意补全图形； ②判断的形状为_________三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②等边，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据等边三角形的性质，由可证明； （2）①按题意补全图形； ②证明，得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵、为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴． （2）①如图所示． ②等边三角形． 理由如下： 由（1）知，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形． 6．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)【课本再现】本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元等腰三角形，第二课等边三角形时，学习了一个定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【定理探索】（1）书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图1，给出定理的证明． 【定理应用】（2）如图2，中，，交于点D，，则 ． （3）如图3，在中，，，．点D是斜边上一点，把沿折叠，得到． ①若，则 ； ②当折痕时，求点D的位置（即求的长）． 【答案】（1）见解析；（2）12；（3）①40；② 【分析】（1）延长到D，使，进而证明是等边三角形，即可得证； （2）先根据等边对等角得出，进而得可得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解； （3）①设，根据折叠的性质得出，进而根据，求得，在中，根据三角形内角和定理，即可求解；②在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，当时根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长到 D，使 ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 即； （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：12； （3）①设， ∵把沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得 ∵， ∴， 故答案为：40； ②在中， ∵，，， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， 7．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)在中，，，D是边上的动点，连接． (1)如图1，当D为中点时，求证：是等边三角形； (2)如图2，若，求的最小值； (3)如图3，以为边在右方作等边三角形，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点G，连接，若，求之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为； (3)，理由见解析 【分析】（1）利用斜边中线的性质求得，利用直角三角形的性质求得，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）在外作，作交于点，交于点，得到，此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）作边的中点，连接，依据“”判定和全等得，进而可证，据此即可得出；过点作交于点，先证和全等得，，再证即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵，D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在外作，作交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的最小值为； （3）解：，，之间的数量关系是，理由如下： 作边的中点，连接， 在中，， 同理为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 过点作交于点，如图： 则， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 8．(23-24八上·江西赣州·期末)在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】 （1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值． 小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】 （2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明； 此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明； ②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 【答案】（1），；（2） ，证明见解析； ；（3） ，证明见解析； 【分析】（1）先证明是等边三角形，得出再证明，得出，，进而，分别计算Q和L的值，并计算比值即可； （2）延长到E，使，连接，先得出，再证明，得出，，进而得出，再证明，即可得出； （3）在上截取，连接，先证明，得出，，进而得出，再证明，得出，即可得出；先求出，再求出的周长即可得出答案． 【详解】解：（1），； 理由如下： ，， 是等边三角形， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ； ，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 等边的周长， ； （2）， 理由如下： 如图2，延长到E，使，连接， 图2 是等边三角形， ， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ； 根据（1）可得 （3）， 理由如下： 如图3，在上截取，连接， 图3 由（2）知：， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； ②． 如图3，等边的周长为L， 图3 ， 的周长 ． 故答案为． 地 城 考点07 等腰三角形的规律探究问题 1．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形， 再过点作x轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，．．．，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 此题考查了点的坐标规律变化，涉及到等边三角形的性质，利用含的直角三角形的最短边是斜边的一半解题即可． 【详解】 解：∵三角形 为等边三角形，轴， ，， ， 同理得：， 综上可得：， 则点 的纵坐标为 ， 故选：C． 2．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边任取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2024个三角形中以为顶点的底角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，，的度数，找出规律即可求解． 【详解】解：，， ； ， ； 同理得：，，， 一般地，第个等腰三角形的底角的度数是， 第2024个等腰三角形的底角度数是． 故选：B． 地 城 考点08 等腰三角形的共顶点手拉手问题 1．(23-24八上·江西赣州·期末)如图，与是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，交于点O，．现有如下结论：①；②，③；④；⑤平分，平分；⑥；一定成立的有（    ）个．    A．5个 B．6个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】求出，，故①②正确；证明，则，得到，，故③正确；求出，，则，得到平分，求出，平分，故⑤正确；证明，则，故④正确；由得到，在中，，则，故⑥错误． 【详解】解：∵与是全等的等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，故③正确； ∴，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴平分，故⑤正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， 在中，， ∴，故⑥错误， 故选：A． 2．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)如图两个等腰直角三角形与，连接，相交于点H．求证： (1)； (2)； (3)连接，有以下两个结论：①平分；②平分，其中正确的是________（请写序号），不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)② 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明即可； （2）如图，记的交点为，证明，结合，，可得； （3）作于于J．证明，，可得，结合角平分线的判定可得结论； 【详解】（1）证明：∵两个等腰直角三角形与， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：结论：② 理由：作于于J． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； 根据条件无法证明①成立，故①错误． 故答案为：②． 3．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)（1）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接，则的度数为______． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①求的度数； ②求线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2）①，② 【分析】（1）先证出，那么，根据全等三角形证出，求出，得出，从而证出； （2）证明，得出，进一步得到，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． 故答案为： （2），． 理由：∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $null