专题04 整式的乘法（10大考点）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题04 整式的乘法 10大高频考点概览 考点01 幂的运算正误的判断 考点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 考点03 判断是否能用乘法公式运算 考点04 已知完全平方式求参数的值 考点05 整式的运算 考点06 幂的逆运算 考点07 利用乘法公式变形求值 考点08 整式乘法与图形面积问题 考点09 平方差与图形面积问题 考点10 完全平方与图形面积问题 地 城 考点01 幂的运算正误的判断 1．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法及积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故该选项不符合题意； B． ，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．，原式计算错误，故该选项不符合题意； D．，原式计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 2．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则，积的乘方法则分别计算，即可得出正确答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不合题意； B．，故该选项错误，不合题意； C．，故该选项错误，不合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识点，熟练掌握各项运算法则是解题的关键． 3．(24-25八上·江西南昌·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4．(23-24八上·江西赣州·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除，幂的乘方，合并同类项，对各选项进行运算，然后判断即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，正确，故符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除，幂的乘方，合并同类项．解题的关键在于正确的运算． 5．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，根据运算法则一一判断即可． 【详解】解：．，原选项正确，故本选项符合题意； ．，原计算错误，故本选项不符合题意； ．，原计算错误，故本选项不符合题意； ．，原计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)下列计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，根据合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、与不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 7．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据积的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，熟记以上基础的运算的运算法则是解本题的关键． 8．(23-24八上·江西赣州赣县区·期末)下列运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方幂的乘方，根据同底数幂的乘法，积的乘方幂的乘方的运算法则逐项进行计算判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，符合题意． 故选：D． 9．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方以及幂的乘方运算法则依次判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解决本题的关键是牢记相关运算法则． 10．(23-24八上·江西南昌南昌县·期末)下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘法，积的乘方运算，本题分别按照运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选A 11．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方等运算．根据同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方的运算法则逐一计算可得． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 12．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法则法、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方是解决本题的关键．根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项法则、幂的乘方解决此题． 【详解】解：A．根据同底数幂的乘法，，那么A错误，故A不符合题意． B．根据同底数幂的除法，，那么B错误，故B不符合题意． C．根据合并同类项法则，，那么C错误，故C不符合题意． D．根据幂的乘方，，那么D正确，故D符合题意． 故选：D． 13．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除、幂的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘除、幂的乘方的运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不正确； B、，故此选项正确； C、，故此选项不正确； D、，故此选项不正确． 故选：B． 14．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可． 【详解】解：A．，该项计算错误； B．，该项计算正确； C．，该项计算错误； D．，该项计算错误； 故选：B． 地 城 考点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 1．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)（跨学科）某种细胞的直径是厘米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选A． 2．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 3．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米 ，数字“0.000000000142”用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数字“0.000000000142”用科学记数法表示为． 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 4．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)如图所示的是某绿色植物细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据米用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的形式（其中为整数）以及的确定方法． 要将用科学记数法表示，需确定和的值，根据科学记数法规则，要满足由原数绝对值与1的大小关系确定，然后得出结果． 【详解】解：对于，要使满足，则，此时小数点向右移动了4位，因为原数绝对值，所以，那么用科学记数法表示为米． 故选：B． 5．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000073=7.3×10-5， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 7．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)香包刺绣又称陇绣，是庆阳地区妇女的一项传统技艺．绣线多采用产地范围生产的蚕丝线、棉线、麻线等，织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为，蚕丝线的截面面积为．其中数据用科学记数法可表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】将用科学记数法表示为：． 故选：C． 8．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)甲型流感在墨西哥爆发并在全球蔓延，研究表明，甲型流感球型病毒细胞的直径约为，用科学记数法表示这个数是 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法的法则改写数字即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解决本题的关键是熟练应用该方法． 9．(23-24八上·江西南昌南昌县·期末)全国科学技术名词审定委员会将PM2. 5的中文名称命名为细颗粒物，细颗粒物指环境空气中空气动力学当量直径小于或等于0.0000025米的颗粒物．其中0. 0000025用科学记数法表示为 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，解决本题的关键是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 10．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)“九章”是中国科学技术大学潘建伟院士领衔的陆朝阳教授课题组与中科院上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作自主研发的光量子计算原型机．根据官方数据，“九章三号”在过二十亿年才能完成，其中0.000001用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据0.000001用科学记数法表示为； 故答案为：． 11．(24-25八上·江西南昌·期末)北斗卫星导航系统（）是我国自行研制的全球卫星导航系统．北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精度达到秒．将用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 地 城 考点03 判断是否能用乘法公式运算 1．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，解决本题的关键是熟练的掌握完全平方公式，完全平方公式是，根据完全平方公式判断即可． 【详解】解：A选项：，一项相等，另一项互为相反数，能用平方差公式不能用完全平方公式，故A选项不符合题意； B选项：，两项都相等，能用完全平方公式计算，故B选项符合题意； C选项：，一项相等，另一项互为相反数，能用平方差公式不能用完全平方公式，故C选项不符合题意； D选项：，既不能用平方差公式，也不能用完全平方公式计算，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的结构，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式的结构是解此题的关键． 【详解】解：A，C，D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算； B中两项互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算． 故选 B． 3．(23-24八上·江西赣州经开区·期末)下列各式使用乘法公式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项A不符合题意； B. ，计算正确，故选项B不符合题意； C. ，计算错误，故选项C符合题意； D. ，计算正确，故选项D不符合题意； 故选：C． 地 城 考点04 已知完全平方式求参数的值 1．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)若是个完全平方式，则k的值是（　　） A．11或﹣5 B．7 C．﹣13或19 D．﹣1或7 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， 故选C． 2．(23-24八上·江西南昌南昌县·期末)多项式是完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解； 这里首末两项是和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和4积的2倍． 【详解】∵多项式是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 3．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)若多项式是完全平方式，则的值为 ． 【答案】8或/或8 【分析】本题考查完全平方式，根据所给多项式可得两平方项分别为、，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：多项式是完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：8或． 地 城 考点05 整式的运算 1．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)按如图所示的运算程序，能使输出的结果为的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查求代数式的值，实数的运算．根据选项中，的值，选择对应的代数式，并将x，y的值代入代数式进行求值即可得出结果．理解题意，根据输入的，的值选择对应的代数式是解决问题的关键． 【详解】解：A．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； B．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； C．当输入，时，由于，则输出的结果为：，故此选项不符合题意； D．当，时，由于，则输出的结果为：，故此选项符合题意． 故选：D． 2．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)计算 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法运算．根据单项式除以单项式法则即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 3．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．单项式乘单项式，就是把系数和相同字母分别相乘，作为积的因式，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)计算： ． 【答案】/ 【分析】本题可先根据平方差公式计算，再根据单项式乘多项式法则计算，最后合并同类项得到结果． 本题主要考查了平方差公式和单项式乘多项式法则，熟练掌握平方差公式以及单项式乘多项式法则是解题的关键． 【详解】解： 故填： 5．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)计算： (1)； (2)化简：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式、实数运算以及零次幂． （1）首先计算乘方、算术平方根、零次幂，再算乘法，后算加法即可； （2）利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 6．(24-25八上·江西南昌·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)已知多项式，A与B的乘积中不含有x项，常数项是， (1)求m，n的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为，列方程即可得到答案； （2）把代入利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵A与B的乘积中不含有x项，常数项是， ∴， ∴， 把，代入，解得：， 故，； （2）根据（1）可知，， ∴， ． 地 城 考点06 幂的逆运算 1．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)已知，而无意义，则 ． 【答案】20 【分析】由零指数幂无意义，得，然后同底数幂乘法的逆运算进行计算，即可得到答案； 【详解】解：根据题意， ∵无意义， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20； 【点睛】本题考查了零指数幂有意义的条件，同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 2．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂除法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，即，那么把，，代入即可作答． 【详解】解：因为，， 所以． 故答案为：． 3．(24-25八上·江西南昌·期末)已知，，，为正整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆用．解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的科方法则． 先逆向运用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：因为，、为正整数）， 所以， 故答案为：． 4．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)将幂的运算逆向思维可以得到，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)72 (2)3 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算： （1）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解； （2）逆向运用幂的运算法则，将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， 解得． 5．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 6．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②-①得， 请仿照小明的方法解决以下问题： (1) ； (2) ； (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；见解析 【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键． （1）设式子等于S，将方程两边都乘以2后进行计算即可； （2）设式子等于S，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案； （3）设式子等于S，将方程两边都乘以a后进行计算即可. 【详解】（1）解：令，  则， 得，， 解得：． （2）解：令，则， 得，， 解得：． （3）解：当时，； 当时，令，则， 得，， ∴． 综上所述：当时，； 当时，． 地 城 考点07 利用乘法公式变形求值 1．(23-24八上·江西南昌南昌县·期末)已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．将两边同时平方后可得出，然后整体代入即可求解． 【详解】解∶∵， ∴，即， ∴ 又， ∴， 即， 故选：C． 2．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)若，，则 ． 【答案】19 【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解． 【详解】解：∵a+b=5， ∴a2+2ab+b2=25， ∵ab=3， ∴a2+b2=19． 故答案为：19． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握完全平方的变形公式． 3．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)已知：实数m，n满足：，．则的值等于 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 4．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值； 解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0， ∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0 ∴，解得．请解决以下问题： (1)若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求yx的值； (2)若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？ 【答案】(1) (2)c=6或8 【分析】（1）将5y2分为4y2 和y2，再配成两个完全平方公式，根据平方的非负性得到二元一次方程组，求解即可； （2）将52分为36和16，再配成两个完全平方公式，根据平方的非负性得到二元一次方程组，求解即可得到a、b的值，再利用三角形三边关系即可得到c的值． 【详解】（1）由题意得：（x2+4xy+4y2）+（y2-4y+4）=0， ∴（x+2y）2+（y-2）2=0， ∴解得， ∴yx=2-4=； （2）由题意得：（2-12+36）+（2-8+16）=0， ∴（-6）2+（-4）2=0，． ∴，解得： 又∵，，是△ABC的边长，且为最长边， ∴6≤＜10， 又∵为偶数， ∴c=6或8． 地 城 考点08 整式乘法与图形面积问题 1．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； (2)图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． （1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）先用a，b表示，再列方程求解． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ②， ∴ ， ∴． 2．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1) (2)63平方米 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算的实际应用，代数式求值的应用．理解绿化的面积=长方形面积-中间小正方形面积是解题关键． （1）用长方形面积减去中间小正方形面积，结合整式的混合运算法则计算即可； （2）将，代入（1）所求式子，求值即可． 【详解】（1）解： ， 答：绿化的面积是平方米； （2）解：当，时，原式， 答：绿化的面积是63平方米． 3．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)如图，学校计划在一块长方形土地中间修建一座雕像，雕像底部是边长为的正方形，其余部分进行绿化做成草坪．请根据图中的数据．（单位：米）． (1)计算出草坪（图中阴影部分）的面积； (2)当时，求出草坪的面积． 【答案】(1)平方米 (2)940平方米 【分析】此题考查了整式混合运算和求代数式的值的应用． （1）根据题意列式，再用完全平方公式和多项式乘以多项式法则展开，合并同类项得到化简结果； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果计算即可． 【详解】（1）解： ． 答：这块草坪的面积为平方米； （2）当时，平方米． 答：草坪的面积为平方米． 地 城 考点09 平方差与图形面积问题 1．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)你能根据下图中图形的面积关系得到的数学公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的方法表示图形的面积．分别用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中各个部分面积之间的关系进行解答即可． 【详解】解：大阴影正方形的边长为，所以大阴影正方形的面积为， 大阴影正方形面积也可以看成从边长为的正方形的面积减去边长为的小正方形的面积，再减去两个长为，宽为的长方形的面积， 即， 所以有， 故选：C． 2．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)【问题初探】对于两个正数，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么．例如：，则． （1）根据上述运算填空：______；______；______． 【归纳猜想】 （2）先观察，与的结果之间的关系．再观察（1）中的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：______； 【初步应用】 （3）的边长为，小正方形的边长为，若，，．求图中阴影部分的面积． 【拓展延伸】 （4）如图②：四边形，是长方形纸条，按如图所示叠放在一起，将重叠的部分矩形沿着翻折得到矩形．若，矩形的面积是5，，，求，的值． 【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）96；（4），． 【分析】本题考查幂的运算，平方差公式和完全平方公式的应用． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据新运算的法则得到，，再根据图中阴影部分的面积，整体代入计算即可求解； （4）根据新运算的法则得到，，再利用完全平方公式变形得到，，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴；；． 故答案为：2，4，6； （2）∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积； （4）∵， ∴，， ∵矩形的面积是5， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，． 地 城 考点10 完全平方与图形面积问题 1．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，你能根据两个图形面积得到的公式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 【分析】首先求出甲的面积为，然后求出乙图形的面积为，根据个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式． 【解答】 解：甲图形的面积为，乙图形的面积为， 根据两个图形的面积相等知，， 故选：． 2．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)（1）请同学们观察：用4个长为a宽为b的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，请利用上述等式求的值； ②若，，求的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长方形的面积和解答即可； （2）①由（1）可得，代入即可求解； ②仿照①解答即可． 【详解】解：（1）由图形可得，四个小长方形（阴影部分）的面积之和为，或表示为， ∴得到恒等式为． 故答案为：，； （2）①由（1）可得 ∵，， ∴， ∴． ②∵，又，， ∴， ∴． 3．(23-24八上·江西南昌南昌县·期末)如图1是一个长为，宽为的长方形，其中，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是______； (2)利用图2中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式：，，之间的数量关系是______； (3)利用（2）中的结论，计算当时，的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键． （1）由小长方形的边长即可得到答案； （2）由图2中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，即可得到答案； （3）由（2）可知，，把代入得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：图2中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：； （2）图2中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为， ∴之间的数量关系是， 故答案为： （3）由（2）可知，， 当时，， ∴， ∴的值为． 4．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）40；（3）15 【分析】（1）用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即为S1，用边长为a的正方形的面积减去一个边长分别为a、（a－b）的长方形的面积再减去两个边长分别为b、（a－b）的长方形的面积即为S2，据此解答即可； （2）先计算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝10，ab＝20整体代入计算即可； （3）先计算S3＝（a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 5．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题： (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积． 方法1：___________； 方法2：___________； (2)从中你得到什么等式？_____________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题：已知，，求的值； 【答案】(1)； (2) (3)24 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可． 【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积， 即， 故答案为：，； （2）解：在（1）两种方法表示面积相等可得， ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴ ． 6．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论 (1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号) 公式①；； 公式②：； 公式③；； 公式④：． 图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ． (2)如图5，在等腰直角三角形中，，为边上任意一点不与端点重合，过点作于点，过点作交的延长线于点．记与的面积之和为，与的面积之和为． ①若为边的中点，则的值为 ； ②若不为边的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程，请说明理由． 【答案】(1)①，②，④，③； (2)①，②成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断； （2）①由题意可得，，，都是等腰直角三角形，四边形是正方形，设，从而用含的代数式表示出、进行计算即可； ②由题意可得，，，都是等腰直角三角形，四边形是长方形，设，，从而用含、的代数式表示出、进行计算即可． 【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③； 故答案为：①，②，④，③； （2）解：①由题意可得：，，，都是等腰直角三角形，四边形是正方形， 设， ，，，， ， ， ； 故答案为：； ②成立，证明如下： 由题意可得：，，，都是等腰直角三角形，四边形是长方形， 设，， ，，，， ， ， 仍成立． 7．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则 ． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． （4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ． 【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形即可求解． （2）将看成，进而根据，即可求解； （3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解． （4）结合图形由长方形的面积为，即可得出结果． 【详解】解：（1） 又 ， ； （2）∵，则 故答案为：； （3）∵两块直角三角板全等， ，， 点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ，． 设，． ， 又， ， ， ， ， 答：一块直角三角板的面积为16． （4）根据图形长方形的面积为：， 则分解因式． 8．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）7；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； 由可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1），， ， 即， ； （2）由得，， ， ， ； （3）由题意得，，， ， 即， ， ， 答：长方形院子的面积． 9．(23-24八上·江西赣州赣县区·期末)“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休，”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是个长为4n，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）： 方法一：______； 方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式之间的等量关系为_____； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数a，b满足：，，求的值 【答案】(1)， (2) (3)6；-6 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）方法一：； 方法二：， （2）代数式，，之间的等量关系为： ； 故答案为： （3）由（2）可得． ∴或． 10．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)【材料阅读】 小朱遇到一道题：若x满足，求的值．经过观察思考，她给出如下解法． 解：设，， 则，， 请参考上述解法解决下面的问题： 【初步应用】 （1）若x满足，求的值． 【类题探究】 （2）若x满足．求的值； 【拓展延伸】 （3）如图，点E、G在正方形的边上，，，长方形的面积是10，分别以，为边长作正方形和，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】（1）；（2）；（3）44 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，理解题意是解题的关键． （1）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）根据例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据题意可得四边形是正方形，设，则，从而得到，最后根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：（1）设， ， ， ， ； （2）设，， ， ． （3）设， 正方形的边长为，， ， ， 长方形的面积是10， ， 即， ， 故阴影部分的面积为． 11．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1______；图2______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积； 【知识迁移】 （4）若，则______．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）4；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分可直接进行求解； （2）根据图中所给阴影部分面积可直接进行求解； （3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解； （4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为； 故答案为：，； （2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者， ∴满足的关系式为； （3）由可设，则， ∴， ∵两正方形的面积和为20，即， ∴， ∴， ∴； （4）由题意可知：， ∴ ∵， ∴； 故答案为：13． 12．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 例1：如图1，可得等式：． 例2：由图2，可得等式：． 借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．       (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为_________________________； (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，．求的值； (3)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)45 (3)20 【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论． （2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可； （3）利用求解． 【详解】（1）解：正方形面积为，小块四边形面积总和为， 由面积相等可得：， 故结论是：； （2）由（1）可知， ，， ， 故的值为45； （3），， ， ， ， ， ． 故阴影部分的面积是20． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $null