专题05 因式分解（4大考点）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 因式分解 4大高频考点概览 考点01 因式分解的判断 考点02 对多项式进行因式分解 考点03 特殊的因式分解法 考点04 因式分解的应用 地 城 考点01 因式分解的判断 1．(23-24八上·江西南昌南昌县·期末)下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键；所以此题可根据“把一个多项式写成几个整式乘积的形式”进行求解即可． 【详解】解：A、属于整式的乘法，故不符合题意； B、不是几个整式乘积的形式，即不属于因式分解，故不符合题意； C、属于整式的乘法，故不符合题意； D、属于因式分解，故符合题意； 故选D． 地 城 考点02 对多项式进行因式分解 1．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)因式分解：x2﹣x= ． 【答案】x（x﹣1） 【详解】分析：提取公因式x即可． 详解：x2−x＝x（x−1）． 故答案为x（x−1）． 点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键． 2．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)因式分解： . 【答案】 【分析】先把多项式交换两个加数的位置发现：能把多项式化成平方差的形式，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为： 3．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)因式分解： ． 【答案】 【详解】解： =； 故答案为 4．(23-24八上·江西赣州·期末)因式分解： ． 【答案】． 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 5．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】原式 ， 故答案为：． 6．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】提取公因式x分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)计算 (1)因式分解：； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式与公式法分解因式，多项式除以单项式． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解即可； （2）根据多项式除以单项式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)（1）化简：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的运算和因式分解，解题的关键是掌握幂的运算法则以及因式分解的方法． （1）先根据幂的乘方法则计算幂的乘方，再根据同底数幂的乘除法则进行运算； （2）先变形式子，然后提取公因式，最后利用平方差公式继续分解． 【详解】解：（1） ， （2） ． 9．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)（1）计算：；     （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查零指数次幂和负整数指数次幂的运算、因式分解，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先运算零指数次幂和负整数指数次幂，然后合并计算得出答案； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：（1） ； （2）              ． 10．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)0．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）直接运用平方差公式即可解答； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)1．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）直接根据平方差公式因式分解即可求解； （2）先提公因数，然后根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 12．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)2．（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，分解因式，熟练掌握整式的运算法则以及分解因式的方法是解题的关键． （1）先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后进行加法运算即可得到答案； （2）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【小题1】解：原式 ； 【小题2】解：原式 ． 13．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)3．（1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的运算，因式分解，掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． （1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算； （2）利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 22； 14．(23-24八上·江西南昌南昌县·期末)4．分解因式：（1）； 计算：（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解，整式乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）根据整式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 15．(24-25八上·江西上饶鄱阳县双港镇尧山中学·期末)5．（1）因式分解：． （2）利用因式分解简化计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）先提公因式，然后再利用公因式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式分解因式后，进行简化计算即可． 【详解】解：（1） （2） 地 城 考点03 特殊的因式分解法 1．(24-25八上·江西上饶·期末)有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式得 解：原式 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解： 【答案】 【分析】此题考查利用分组分解法分解因式，解题关键是首先把多项式正确的分组，然后利用公式法即可解决问题，注意分解因式要彻底，后三项一组符合完全平方公式特征，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 2．(24-25八上·江西上饶广信区·期末)阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 3．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)【阅读材料】因式分解：． 解：令，则原式．第①步 ．第②步 再将“”还原，原式．第③步 【问题解决】 (1)上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的_____； A．提公因式法，    B．平方差公式法，    C．两数和的完全平方公式法 (2)因式分解：的结果是_____； (3)证明：若为正整数，则的值是某个整数的平方． 【答案】(1)C (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据解题过程可知，第②运用了完全平方公式，据此可得答案； （2）仿照题意令，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先把原式前两项相乘得到，进一步变形得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，第②步运用了因式分解的方法中的两数和的完全平方公式法， 故选：C； （2）解：令，则原式． 再将“”还原，原式． （3）证明： 原式 ． 为正整数， 为正整数． 代数式的值是某个整数的平方． 4．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)整体思想是数学解题中常用的一种思想方法： 下面是小花对多项式进行因式分解的过程． 解：令 原式第一步 第二步 第三步 第四步 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ； A．提取公因式    B．公式法 (2)请你类比以上方法尝试对多项式进行因式分解； (3)当a取何值时，有最小值． 【答案】(1)B； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查换元法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）根据题意所给方法进行因式分解即可． （3）通过因式分解得，即可得解． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可知，第二步到第三步运用了因式分解的方法是公式法， 故选B； （2）解：令， 原式 ． （3）解：令，则 ， ∴当时，有最小值0． 5．(23-24八上·江西南昌江西科技学院附属中学·期末)阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． （1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ， ， ， ， ②代数式为， 或， 所以的值为时，或． 地 城 考点04 因式分解的应用 1．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)若三边满足，判断的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，等腰三角形的判定，由已知等式可得，根据三角形的三边关系可得，据此即可判断求解，正确对等式左边进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为三边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：． 2．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：（m，n为常数）． (1)求m，n的值； (2)若x为正整数，求证：代数式总能被5整除． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、合并同类项法则和几种常见的分解因式的方法． （1）把已知条件中的，，代入，利用多项式乘多项式法则展开，从而列出关于，的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中，，求出的值，利用提取公因式法分解因式，求出它的最大公约数即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ，由①得：， 把代入②得：， ； （2）解：∵ ， ，， ， ∵x为正整数， ∴为整数， ∴代数式总能被5整除． 3．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题， 例如：， ∵，∴． (1)这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小值，并写出相应的的值． (3)若，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为6 (3)，见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用． （1）由题意可得出答案； （2）根据例中的方法，求解即可； （3）求得，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴代数式的最小值是2，这时相应的的值是． 故答案为：2；． （2）解： ∵ ∴ ∴当时，的最小值为6． （3）解：． 理由：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 4．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如：， 请解决以下问题： (1)将多项式因式分解：_____； (2)将多项式因式分解； (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用公式法进行因式分解即可； （2）利用公式法和提公因式法进行因式分解即可； （3）先利用公式法和提公因式法进行因式分解，可得，根据题意，可知，因此，即，即可得出结果． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解： （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即, ∴是等腰三角形． 5．(24-25八上·江西南昌·期末)数学小组在研究式子时，发现当M，N是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律： ① ② ③ ④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空： ； (2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明； (3)小智发现某一式子的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值． 【答案】(1)3 (2)，见解析 (3)65 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键． （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）用含a，b的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可． （3）根据题意建立关于a，b的等式，再进行分析即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为， ， ， ， 所以． 故答案为：3． （2）发现的规律是：． 证明如下： 左边 ＝右边， 故此等式成立． （3）因为的结果恰好是一个整数的平方， 所以是一个整数的平方． 因为， 又因为， 所以， 解得， 所以． 6．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 由上式可知: =，因为≥0，所以当=0，即时，的最小值是-4． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)根据上面解题思路可知多项式有最小值，即当x= 时，最小值是 ． (3)已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，最小值为； (3)的形状是等边三角形，证明见解析． 【分析】本题主要考查因式分解及其应用，根据材料学会运用配方法因式分解是解题的关键． （1）根据材料配方后，再运用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性即可解答； （3）先配方后，然后利用偶次幂的非负性得到，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 当当时，最小值为． （3）解：的形状是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， 利用拆项得：， 即：， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， 于是，， 所以可以得到，即：的形状是等边三角形． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05因式分解 ☆4大高频烤点概览 考点01因式分解的判断 考点02对多项式进行因式分解 考点03特的因式分解法 考点04因式分解的应用 目目 考点01 因式分解的判断 1.(23-24八上江西南昌南昌县期末)下列等式从左到右的变形属于因式分解的是() A.a(x+y)=ax+ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+2)=x2+3x+2D.x3-x=x(x+1)(x-1) 目目 考点02 对多项式进行因式分解 1.(24-25八上江西赣州南康区期末)因式分解：2-x= 2.(24-25八上江西赣州龙南期末)因式分解：-16x2+81y2= 3.(24-25八上·江西赣州大余县·期末)因式分解：x2一4= 4.(23-24八上江西赣州期末)因式分解：y2-4x=一 5.(24-25八上江西南昌南昌县期末)因式分解：ma2-6ma十9m= 6.(24-25八上江西南昌立德学校期末)分解因式：2x2-y=一 7.(24-25八上江西赣州大余县.期末)计算 (1)因式分解：3a2-6ab+3b2; (2)计算：(3a2+2a)÷a 8.(24-25八上江西赣州于都县期末)(1)化简：a2.(a2)3÷(a3)2; (2)因式分解：x2x-3)+4(3-x). 9.(24-25八上江西赣州经开区期末(1)计算：（π-2021）°-()， (2)因式分解：12x2-3y2 10.(24-25八上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)0.因式分解： (1)4x2-y2: 1/6 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)ax2-2ax+a 11.(24-25八上江西南昌一中等部分联考·期末)1.因式分解： (1)a2-16b2: (2)3a2-6ab+3b2. 12.(2425八上江西南昌雷式学校期末2.(1)计算：3a26·（-号a462)+(a2b)3 (2)分解因式：x2y-4xy+4y 13.(24-25八上江西南昌中学教育集团期末)3.(1)计算：(-1)2022-(3-π)°+21， (2)分解因式：ax4-8ax2+16a 14.(23-24八上江西南昌南昌县期末)4.分解因式：(1)x2y-4y: 计算：(2)(-2xy2)2.3x2y÷(-x3y4). 15.(24-25八上江西上饶鄱阳县双港镇尧山中学期末)5.(1)因式分解：2a2(a-b)-8(a-b) (2)利用因式分解简化计算：2002-400×199+1992. 目目 考点03 特殊的因式分解法 1.(2425八上江西上饶期末)有一种因式分解的方法叫分组分解法.具体做法如下：把 a2-2ab+b2-c2分解因式得 解：原式=(a2-2ab+b2)-c2 =(a-b)2-c2 =(a-b+c)(a-b-c) 请阅读理解上面解法后，把下列多项式因式分解：1一m2-n2+2mn 2.(24-25八上江西上饶广信区·期末)阅读下列材料： 将x2+2x一35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2=xx,-35=(-5)×(+7). ②交叉相乘，验中项： -5 7x-5x=2x +7 ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法， 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 试用上述方法分解因式： (1)x2+5x+4; (2)x2-6x-7: 3.(24-25八上江西赣州寻乌县期末)【阅读材料】因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：令x+y=A,则原式=A2+2A+1:第①步 =(A+1)2.第②步 再将“A”还原，÷原式=(x+y+1)2.第③步 【问题解决】 (1)上面解法中的第②步运用了因式分解的方法中的 A.提公因式法，B.平方差公式法，C.两数和的完全平方公式法 (2)因式分解：(x-y)2+4(x-y)+4的结果是 ； (3)证明：若n为正整数，则(n+1)(n+2)(2+3n)+1的值是某个整数的平方. 4.(24-25八上江西南昌立德学校期末)整体思想是数学解题中常用的一种思想方法： 下面是小花对多项式(2-3x+4)(2-3x+6)+1进行因式分解的过程， 解：令x2-3x=t 原式=(t+4)(t+6)+1第一步 =t2+10t+25第二步 =(t+5)2第三步 =(x2-3x+5)2第四步 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是_： A,提取公因式B.公式法 (2)请你类比以上方法尝试对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解： (3)当a取何值时，(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4有最小值. 5.(23-24八上·江西南昌江西科技学院附属中学期末)阅读材料：把代数式x2一6x一7因式分解，可以如 下分解： x2-6x-7 =x2-6x+9-9-7 3/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =(x-3)2-16 =(x-3+4)(x-3-4) =(x+1)·(x-7) (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2-8x+7因式分解： (2)拓展： ①把代数式x2+2xy-3y2因式分解； ②若代数式x2+2xy-3y2为0时（其中x≠0，y≠0），则号的值为 目目 考点04 因式分解的应用 1.(24-25八上江西南昌立德学校期末)若△ABC三边a,b,c满足a2-b2-ac十bc=0,判断△ABC 的形状是() A.直角三角形B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 2.(24-25八上江西南昌第二十八中学期末)下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足： A·B=C(m,n为常数). A=x-1 B=2x+m C-2x2+x+n (1)求m,n的值： (2)若x为正整数，求证：代数式B2-2C总能被5整除 3.(24-25八上江西赣州南康区·期末)阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数 式值的最小（或最大）问题， 例如：x2+2x+3=x2+2x+1-1+3=(x+1)2+2, :(x+1)2≥0，(x+1)2+2≥2 (1)这个代数式x2+2x+3的最小值是，这时相应的x的值是 (2)求代数式x2-4x+10的最小值，并写出相应的x的值， (3)若M=3x2+4x,N=4x2+5试比较M、N的大小，并说明理由. 4.(24-25八上江西南昌雷式学校期末)数学上常用的因式分解的方法有提公因式法、运用公式法，但也有 一些多项式无法直接用上述方法因式分解，小明思考后发现，可以分组进行因式分解，例如： a2-b2+a-b=(a-b)(a+b)+(a-b)×1=(a-b)(a+b+1), 请解决以下问题： 4/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)将多项式m2-9n2因式分解：m2-9n2=: (2)将多项式m2-9n2+m-3n因式分解： (3)△ABC的三边a,b,c满足ac-bc十a2-b2=0,判断△ABC的形状，并说明理由. 5.(24-25八上·江西南昌·期末)数学小组在研究式子M2-N2时，发现当M,N是具有某种关联关系的两位 数时，具有一定的运算规律： 112-112=0① 212-122=1×3×99② 322-232=1×5×99③ 422-242=2×6×99④ 根据上述规律解决下列问题： (1)填空：522-252=-×7×99： (2)若两位数M,十位上的数字为α，个位上的数字为b,写出你发现的规律，并加以证明： (3)小智发现某一式子M2-N2(M≠N)的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M的值. 6.(24-25八上江西赣州于都县期末)阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2这样的式子 叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出 现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问 题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求 代数式的最大值、最小值等 例如：分解因式x2+2x-3. 原式=(x2+2x+1-1)-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) 由上式可知：x2+2x-3(x+1)2-4,因为不论x取何值，(x+1)0,所以当x+1=0,即x=-1时， x2+2x-3的最小值是-4， 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题. (1)利用配方法分解因式：x2-6x-27; (2)根据上面解题思路可知多项式x2-6x-27有最小值，即当x=_时，最小值是_ (3)已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a(b+c)=0,请判断△ABC的形状，并 说明理由. 5/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6/6