专题10因式分解精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学因式分解专题精讲学案通过知识框架图系统梳理了因式分解的概念、提公因式法、公式法及“一提、二套、三查”的完整解题流程，并用表格归纳了13种题型的考察方向与难度星级，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，通过“重点辨析”和“常见错误”模块帮助学生规避分解不彻底、符号错误等问题，培养推理意识与运算能力。题型九“综合提公因式和公式法”等中档题训练综合运用能力，拔高题满足进阶需求，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破薄弱点。

专题10因式分解精讲学案 核心立意： 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法互为逆变形；熟练掌握提公因式法、公式法，掌握“一提、二套、三查”的完整解题流程，做到分解彻底；会运用因式分解完成简便运算、整体代入求值，夯实代数基础，为后续分式、一元二次方程的学习做好铺垫。 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 ①因式分解与整式乘法是互逆变形，整式乘法：整式相乘得到多项式，因式分解：多项式化为整式相乘； ②判定要点：结果必须是乘积形式，参与相乘的式子必须是整式。 提公因式法 公式：pa+pb+pc=p(a+b+c) ①确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，相同字母取最低次幂； ②多项式首项为负时，先提取负号，括号内每一项全部变号； ③提取公因式之后，括号内的项数要和原多项式项数保持一致，不要漏掉常数1。 公式法 ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 结构特征：两项，均为平方形式，两项符号一正一负。 ②完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 结构特征：二次三项式，首尾两项是同为正的平方项，中间项为首尾底数乘积的2倍，可正可负。 因式分解一般步骤：一提、二套、三查 ①一提：优先提取公因式； ②二套：提完公因式，两项选用平方差公式，三项选用完全平方公式； ③三查：检查每一个因式是否还能继续分解，务必分解彻底；括号内首项一般不为负。 重点辨析 1. 因式分解结果一定是整式乘积形式，保留加减形式不属于因式分解。 2. a2+b2不能进行因式分解，不要强行套用完全平方公式。 3. 做题必须先提公因式，再套公式，不能直接跳过提取公因式这一步。 4. 完全平方式求字母参数，中间项存在正负两种情况，不要漏解。 5. 分解完成，可用整式乘法反向验算结果是否等于原式。 1. 跳过提公因式直接套公式，造成分解不彻底。 2. 没有分解到不能再分解就结束解题。 3. 提取负号时，括号内只有第一项变号，其余项忘记变号。 4. 混淆乘法公式，错误分解a^2+b^2。 5. 完全平方式求参数，只写出一个答案，出现漏解。 6. 提取公因式之后，漏掉常数项1。 7. 最终结果仍然是加减形式，没有化成整式乘积。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 ★★ 题型三 公因式 ★ 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★ 题型六 平方差公式分解因式 ★★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★★ 题型八 综合运用公式法分解因式 ★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★ 题型十三 因式分解的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一： 判断是否是因式分解 解题思路：①看等式左边，必须是多项式；②看等式右边，必须是多个整式相乘的乘积形式；③区分互逆关系，整式乘法是积化为多项式，因式分解是多项式化为积。 1．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 题型二：已知因式分解的结果求参数 解题思路：①将分解之后的代数式完整展开；②把展开式和原式对比，对齐同类项；③利用对应项系数相等建立等式；④若是完全平方式，要兼顾中间项正负两种情况求解参数。 4．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 5．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 7．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 题型三：公因式 解题思路：①看系数，取各项系数的最大公约数；②看字母，选取全部项共同含有的字母；③看指数，相同字母取次数最低的幂。 8．与的公因式是________． 9．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 10．写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 11．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 题型四：提公因式法分解因式 解题思路：①按照系数、字母、指数三步找出公因式；②多项式每一项除以公因式；③多项式首项为负，先提取负号，括号内每一项全部变号；④核对括号内项数和原式保持一致。 12．因式分解：________． 13．若，，则（     ） A．6 B．9 C．10 D．12 14．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 15．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 题型五：判断能否用公式法分解因式 解题思路：①若是两项式，检查是否为两个平方，符号一正一负，满足可使用平方差公式；②若是二次三项式，检查首尾是否为正平方项，中间项是否为首尾底数乘积的2倍，满足可使用完全平方公式；③不满足结构，不能强行套用公式。 16．下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 17．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 题型六：平方差公式分解因式 解题思路：①将多项式整理成a2-b2的形式；②准确确定公式中的a与b；③代入平方差公式写成(a+b)(a-b)；④检查得到的因式，判断是否还可以继续分解。 19．( )． 20．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 21．若，，则__________． 22．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 题型七：完全平方公式分解因式 解题思路：①观察多项式，找出首尾两个正的平方项；②验证中间项是否等于首尾底数乘积的2倍；③中间项为正选用和的完全平方公式，中间项为负选用差的完全平方公式；④检查因式是否还能继续分解。 23．分解因式：_______． 24．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 25．因式分解：________． 26．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八：综合运用公式法分解因式 解题思路：①观察多项式结构，选用对应乘法公式进行第一次分解；②观察分解后得到的每一个因式；③因式若还满足平方差或完全平方结构，继续再次分解；④直到所有因式不能再分解为止。 27．分解因式__________． 28．下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 29．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 30．请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 题型九：综合提公因式和公式法分解因式 解题思路：①第一步优先提取多项式的公因式；②观察括号内剩余多项式，两项选用平方差公式，三项选用完全平方公式；③对分解得到的全部因式逐一检查；④保证每一个因式都不能继续分解。 31．因式分解：__________． 32．若，则代数式的值为________． 33．把代数式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 34．将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 题型十：因式分解在有理数简算中的应用 解题思路：①观察算式，寻找公共因数或者可以构造乘法公式的部分；②对原式变形，转化成因式相乘的形式；③利用因式乘积直接计算结果，规避大数运算。 35．的计算结果是________． 36．与相等的是（   ） A． B． C． D． 37．______． 38．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 题型十一：十字相乘法 解题思路：①对于x2+px+q形式，寻找两个数m、n，满足两数之和等于一次项系数，两数之积等于常数项；②写成(x+m)(x+n)的形式；③二次项系数不为1时，分别拆分二次项系数、常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数 39．分解因式：________． 40．把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 41．分解因式：__． 42．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十二：分组分解法 解题思路：①对多项式合理分组，分组后每组内部可以提取公因式；②组内分别分解因式；③分组之后产生新的公因式，再次整体提取公因式；④检查结果，做到分解彻底。 43．分解因式：_______． 44．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 45．分解因式：______． 46．把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十三：因式分解的应用 解题思路：①读懂题目条件，把已知代数式做因式分解变形；②采用整体代入思想，不必单独求出未知数的值；③代入已知数值进行计算；④整理得到最终结果。 47．当________时，多项式有最小值，最小值为________． 48．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 49．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 50．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．因式分解： (1) (2) 2．分解因式： (1)； (2)； (3)． 3．计算、因式分解： (1) ． (2) ． 4．把下列各式因式分解 (1) (2) 5．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 7．阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10因式分解精讲学案 核心立意： 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法互为逆变形；熟练掌握提公因式法、公式法，掌握“一提、二套、三查”的完整解题流程，做到分解彻底；会运用因式分解完成简便运算、整体代入求值，夯实代数基础，为后续分式、一元二次方程的学习做好铺垫。 因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 ①因式分解与整式乘法是互逆变形，整式乘法：整式相乘得到多项式，因式分解：多项式化为整式相乘； ②判定要点：结果必须是乘积形式，参与相乘的式子必须是整式。 提公因式法 公式：pa+pb+pc=p(a+b+c) ①确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母，相同字母取最低次幂； ②多项式首项为负时，先提取负号，括号内每一项全部变号； ③提取公因式之后，括号内的项数要和原多项式项数保持一致，不要漏掉常数1。 公式法 ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 结构特征：两项，均为平方形式，两项符号一正一负。 ②完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 结构特征：二次三项式，首尾两项是同为正的平方项，中间项为首尾底数乘积的2倍，可正可负。 因式分解一般步骤：一提、二套、三查 ①一提：优先提取公因式； ②二套：提完公因式，两项选用平方差公式，三项选用完全平方公式； ③三查：检查每一个因式是否还能继续分解，务必分解彻底；括号内首项一般不为负。 重点辨析 1. 因式分解结果一定是整式乘积形式，保留加减形式不属于因式分解。 2. a2+b2不能进行因式分解，不要强行套用完全平方公式。 3. 做题必须先提公因式，再套公式，不能直接跳过提取公因式这一步。 4. 完全平方式求字母参数，中间项存在正负两种情况，不要漏解。 5. 分解完成，可用整式乘法反向验算结果是否等于原式。 1. 跳过提公因式直接套公式，造成分解不彻底。 2. 没有分解到不能再分解就结束解题。 3. 提取负号时，括号内只有第一项变号，其余项忘记变号。 4. 混淆乘法公式，错误分解a^2+b^2。 5. 完全平方式求参数，只写出一个答案，出现漏解。 6. 提取公因式之后，漏掉常数项1。 7. 最终结果仍然是加减形式，没有化成整式乘积。 题型 考察方向 难度 题型一 判断是否是因式分解 ★ 题型二 已知因式分解的结果求参数 ★★ 题型三 公因式 ★ 题型四 提公因式法分解因式 ★ 题型五 判断能否用公式法分解因式 ★ 题型六 平方差公式分解因式 ★★ 题型七 完全平方公式分解因式 ★★ 题型八 综合运用公式法分解因式 ★★ 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 ★★★ 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 ★★ 题型十一 十字相乘法 ★★★ 题型十二 分组分解法 ★★★ 题型十三 因式分解的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一： 判断是否是因式分解 解题思路：①看等式左边，必须是多项式；②看等式右边，必须是多个整式相乘的乘积形式；③区分互逆关系，整式乘法是积化为多项式，因式分解是多项式化为积。 1．下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． 2．下列式子由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义，变形结果必须是几个整式的乘积，由此判断： A、该变形是整式乘法，结果为多项式，不是因式分解； B、原式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； C、，变形符合因式分解的定义，是因式分解； D、右边的不是整式，不符合因式分解要求，不是因式分解． 3．下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、等式右边含有不是整式， 不是因式分解． B、 变形为整式乘法， 不是因式分解． C、等式右边为和的形式， 不是因式分解． D、、D， 符合因式分解要求． 题型二：已知因式分解的结果求参数 解题思路：①将分解之后的代数式完整展开；②把展开式和原式对比，对齐同类项；③利用对应项系数相等建立等式；④若是完全平方式，要兼顾中间项正负两种情况求解参数。 4．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 5．已知多项式能分解因式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开因式乘积，根据多项式对应项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ，， 解得， ∴． 6．将因式分解的结果为，那么“”表示的数是_______． 【答案】 【分析】设方框表示的数为，将因式分解的结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解：设“”表示的数是， 根据题意得 ， ， , ． 7．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 题型三：公因式 解题思路：①看系数，取各项系数的最大公约数；②看字母，选取全部项共同含有的字母；③看指数，相同字母取次数最低的幂。 8．与的公因式是________． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，分别求出系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】与的公因式为． 9．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据公因式的定义解题即可． 【详解】解：， ∴提取的公因式是． 10．写出下列多项式的最大公因式： （1）：_____． （2）：_____． （3）：_____． 【答案】 2 【分析】本题考查了多项式最大公因式的确定方法，掌握先找系数的最大公约数，再找各字母的最小指数的步骤是解题的关键． 对于每个多项式，先找出系数的最大公约数，再确定变量部分的最小指数，组合得到最大公因式． 【详解】解：（1）多项式的系数和的最大公约数为，变量和无公共变量，故最大公因式为； （2）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，故最大公因式为； （3）多项式的系数、、的最大公约数为，变量的最小指数为，变量的最小指数为，故最大公因式为． 故答案为：；；． 11．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 题型四：提公因式法分解因式 解题思路：①按照系数、字母、指数三步找出公因式；②多项式每一项除以公因式；③多项式首项为负，先提取负号，括号内每一项全部变号；④核对括号内项数和原式保持一致。 12．因式分解：________． 【答案】 【详解】解： 13．若，，则（     ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法，将已知条件代入计算即可． 【详解】解：， 又，， 代入得原式． 14．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 15．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 题型五：判断能否用公式法分解因式 解题思路：①若是两项式，检查是否为两个平方，符号一正一负，满足可使用平方差公式；②若是二次三项式，检查首尾是否为正平方项，中间项是否为首尾底数乘积的2倍，满足可使用完全平方公式；③不满足结构，不能强行套用公式。 16．下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反． 【详解】解：A、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意； B、-a2+b2符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，符合题意； C、-a2-b2两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意． D、-a2-4b中，b不能表示成一个有理数的平方，不能在有理数范围内用平方差公式分解因式，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． 17．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 18．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 题型六：平方差公式分解因式 解题思路：①将多项式整理成a2-b2的形式；②准确确定公式中的a与b；③代入平方差公式写成(a+b)(a-b)；④检查得到的因式，判断是否还可以继续分解。 19．( )． 【答案】 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解因式即可得到另一个因式． 【详解】解：． 20．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A，从左到右是整式乘法运算，不是因式分解．； 选项B，结果为多项式与常数的差，不是整式乘积的形式，不是因式分解； 选项C，左边是单项式，不是多项式，且等式两边不相等，不是因式分解．； 选项D，将多项式化为整式乘积的形式，符合因式分解的定义． 21．若，，则__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件求出，再计算最终结果． 【详解】解：； ∵， ， 解得， 则． 22．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 【答案】D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 题型七：完全平方公式分解因式 解题思路：①观察多项式，找出首尾两个正的平方项；②验证中间项是否等于首尾底数乘积的2倍；③中间项为正选用和的完全平方公式，中间项为负选用差的完全平方公式；④检查因式是否还能继续分解。 23．分解因式：_______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 24．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐项判断即可得到结果. 【详解】解：完全平方公式的结构为， ∵ 对于选项A，，符合完全平方公式的结构，可以用完全平方公式因式分解，∴ 选项A符合题意； 对于选项B，，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项C，若符合完全平方公式，中间项应为，原式中间项为，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意； 对于选项D，的常数项为负，两个平方项符号不同，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，不符合题意. 25．因式分解：________． 【答案】 【分析】先展开原式并合并同类项，整理为二次三项式后，利用完全平方公式因式分解. 【详解】解：原式 26．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提公因式法、完全平方公式、平方差公式对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果为整式乘积，且分解彻底， ∴、，原分解未分解彻底，故该选项错误，不符合题意； 、结果中是分式，不是整式，不符合因式分解定义，故该选项错误，不符合题意； 、，原式分解错误，不符合题意； 、，由平方差公式可得，分解正确，符合题意． 题型八：综合运用公式法分解因式 解题思路：①观察多项式结构，选用对应乘法公式进行第一次分解；②观察分解后得到的每一个因式；③因式若还满足平方差或完全平方结构，继续再次分解；④直到所有因式不能再分解为止。 27．分解因式__________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 28．下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，用提公因式法，综合提公因式以及公式法，公式法等方法一一分析判断即可． 【详解】解：．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； ．，原因式分解错误，故该选项符合题意； ．，因式分解正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 29．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 30．请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解，正确换元是解答本题的关键． ①将原式整理为，令，代入整理得，然后再分解即可； ②将原式整理得，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 题型九：综合提公因式和公式法分解因式 解题思路：①第一步优先提取多项式的公因式；②观察括号内剩余多项式，两项选用平方差公式，三项选用完全平方公式；③对分解得到的全部因式逐一检查；④保证每一个因式都不能继续分解。 31．因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可． 【详解】解：先提取原式的公因式，得， ， 利用平方差公式分解得， 因此． 32．若，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】先将所求代数式因式分解，整理出含的式子，再整体代入已知条件计算． 【详解】解：， 又 ， 原式 ． 33．把代数式分解因式，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先提取公因式，然后再按完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ． 34．将多项式因式分解，下面是甲、乙两位同学的解答过程： 甲：原式 乙：原式． 下列判断正确的是（     ） A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 【答案】C 【分析】运用提取公因式法和平方差公式分解原式，验证甲、乙两人的结果即可判断． 【详解】，与甲的结果一致，甲正确． ，与乙的结果一致，乙正确． 甲、乙的结果都正确． 题型十：因式分解在有理数简算中的应用 解题思路：①观察算式，寻找公共因数或者可以构造乘法公式的部分；②对原式变形，转化成因式相乘的形式；③利用因式乘积直接计算结果，规避大数运算。 35．的计算结果是________． 【答案】 【详解】解：． 36．与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 37．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 38．设，，则与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出M、N的值，然后进行比较即可． 【详解】解： ， ， ． 题型十一：十字相乘法 解题思路：①对于x2+px+q形式，寻找两个数m、n，满足两数之和等于一次项系数，两数之积等于常数项；②写成(x+m)(x+n)的形式；③二次项系数不为1时，分别拆分二次项系数、常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数 39．分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，掌握相关知识是解题关键． 使用十字相乘法分解二次三项式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 40．把 分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确该二次三项式符合十字相乘法分解因式的适用形式，确定使用十字相乘法解题．因为二次项系数为1，所以需要找到两个整数，满足乘积等于常数项，且和等于一次项系数1。将找到的两个整数分别代入两个一次因式的常数项，写出分解后的因式形式，对应选项判断即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 41．分解因式：__． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，解答本题的关键是掌握十字相乘法和整式的乘法． 根据十字相乘法得到，再设，利用整式的乘法进行计算，进而对比系数求解，即可解题． 【详解】解： 设 ， 对比原式系数，得， 解得， ， 故答案为：． 42．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义及平方差公式、十字相乘法的应用，需逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求及运算规则． 【详解】解：对于选项A：，而选项中右边为，与左边不相等，故A错误． 对于选项B：，而选项中右边，与左边不相等，故B错误． 对于选项C： ∵ 又∵ ∴，与选项一致，故C正确． 对于选项D：因式分解需将多项式化为几个整式乘积的形式，而选项右边仍含加法运算，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 题型十二：分组分解法 解题思路：①对多项式合理分组，分组后每组内部可以提取公因式；②组内分别分解因式；③分组之后产生新的公因式，再次整体提取公因式；④检查结果，做到分解彻底。 43．分解因式：_______． 【答案】 【分析】先添加，再减去此项，利用分组分解法即可分解因式． 【详解】解：原式 ． 44．把分解因式，正确的分组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组． 45．分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法分解因式，先将一、二项分成一组，三、四项分成一组，第一组用平方差公式分解，第二组用提公因式法分解，组与组之间再提公因式即可． 【详解】解：原式 ． 46．把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 题型十三：因式分解的应用 解题思路：①读懂题目条件，把已知代数式做因式分解变形；②采用整体代入思想，不必单独求出未知数的值；③代入已知数值进行计算；④整理得到最终结果。 47．当________时，多项式有最小值，最小值为________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解因式将多项式变形，再根据平方数的非负性，求解对应的值和多项式的最小值． 【详解】解： ， ∵， ∴，当且仅当，，即时取得等号， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 48．若，则代数式的值为（   　 ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 49．老师布置了一个任务：对于非零实数，，满足，探讨的值．小光解得，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数，，使原等式成立，但．如：___________． 【答案】 ，（答案不唯一） 【分析】将原等式整理因式分解后可得，满足且非零时，即可满足且原等式成立． 【详解】解：， ∵要求原等式成立且，为非零实数 ∴只需满足，且， ∴可取，得 验证：左边，右边，左边右边，且，符合要求． 50．三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴小明拼成正方形的边长是． 解答题 1．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 2．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】因式分解一般步骤：有公因式的要先提公因式，提完公因式观察剩余式子是否符合公式法，如果符合，选用适当的公式继续因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 3．计算、因式分解： (1) ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 4．把下列各式因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 7．阅读材料： 利用完全平方公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可； （2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案； （3）根据配方法配方，得到，再根据非负数的性质求出的值，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， 即多项式的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $