专题02 全等三角形（7大考点）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学上学期新教材人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02全等三角形 ☆7大高频考点概览 考点01全等三角形的性质 考点02全等三角形的判定 考点03全等三角形的判定和性质 考点04三角形全等模型之一线三等角模型 考点05三角形全等模型之倍角模型 考点06三角形全等模型之倍长中线模型 考点07角平分线的性质和判定 目目 考点01 全等三角形的性质 1.(23-24八上·江西南昌江西科技学院附属中学期末)如图，若△4BC≌△4DE,则下列结论中一定成立的 是() B D A.AC=DE B.∠BAD=∠CAEC.AB=AE D.∠ABC=∠AED 2.(24-25八上江西赣州大余县期末)如图，若△ABC兰△DEF,四个点B、E、C、F在同一直线上， BC=7,EC=5,则CF的长是() D E A.2 B.3 C.5 D.7 3.(24-25八上江西南昌雷式学校·期末)如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线交DE于点G.若∠B=24°， ∠CAB=54°，∠DAC=16°，则∠DGB= 1/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G 4.(24-25八上江西赣州寻乌县·期末)如图，△ABC兰△AED,点E在线段BC上，∠1=64·，求∠3的 度数 D 5.(24-25八上江西南昌第二十八中学期末)如图，在△ABC中，∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6, 点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以 每秒a(a>0)个单位的速度由点C向点A运动.设运动时间为t(秒)(0≤t≤3). (1)线段PC= (用含t的代数式表示)； (2)若点P,Q的运动速度相等，t=1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由. 目目 考点02 全等三角形的判定 1.(24-25八上江西南昌雷式学校期末)如图，AB‖EF‖DC,∠ABC=90°，AB=DC,那么图中有全 等三角形() 2/13 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D B A.5对 B.4对 C.3对 D.2对 2.(2425八上江西赣州南康区·期末)如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是() A B A.BD=DC,AB=AC B.∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD C.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C,BD=DC 3.(24-25八上·江西赣州经开区·期末)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，可说明 △C0D兰△COD,进而得出∠AOB=∠AOB'的依据是() D/B CA A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 4.(2425八上江西赣州石城县期末)如图，是一个平分角的仪器，其中0D=OE,FD=FE.将仪器放 置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D,E分别在边AB,AC上，沿AF画一条射线AP,交BC于点 P,AP是∠BAC的平分线.依据的数学原理是() A( B A.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B.三边分别相等的两个三角形全等 C.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 3/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D.角平分线上的点到角的两边的距离相等 5.(24-25八上江西赣州上犹县期末)如图所示，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E,且∠A=∠D, AB-DC 求证：△ABE≥△DCE. A D E B 6.(24-25八上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边 上一点，过点C作CFAB交ED的延长线于点F.求证：BE=CF. 7.(24-25八上江西赣州龙南期末)如图所示，AB⊥CE于点E,AC⊥BD于点D,且AD=AE,求证： BE=DC C D E B 8.(24-25八上江西赣州于都县·期末)如图，点A,E,F在直线1上，AE=BF,AC/BD,且AC=BD,求证： CF=DE D B 9.(24-25八上江西赣州寻乌县·期末)如图，已知CE⊥AB,DF⊥AB,AC=BD,CE=DF.求证： 4/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠A=∠B. B D 10.(24-25八上江西赣州石城县期末)已知：如图，点C,D在AB上，∠A=∠B,∠F=∠E,DF=CE .求证：AC=DB. 11.(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学.期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CELAB于点E, AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G, 求证：(1)DFBC; (2)FG=FE. 目目 考点03 全等三角形的判定和性质 1.(24-25八上江西南昌一中等部分联考期末)如图所示，己知AB=AC,AD=AE.如果BE=8, DE=2,BC= A D E 2.(24-25八上江西赣州石城县·期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90·.点D在△ABC外，连接AD, 作DE⊥AB于点E,交BC于点F,AD=AB,AE=AC 5/13 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：DE=BC; (2)若BF=2,CF=1,求DF的长 3.(24-25八上江西南昌雷式学校期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E, AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F.DF的延长线交AC于点G. B (1)若∠B=40°，求∠ADF的度数； (2)求证：FG=FE 4.(23-24八上江西南昌三中教育集团期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC, DE⊥AB于点E,点F在AC上，且BD=DF. D (I)求证：CF=EB; (2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由， 5.(24-25八上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)如图，在平面直角坐标系中，A(一2,0)， B(0,6),C(6,0),∠ABC+∠ADC=180°BC⊥CD. YA B B 备用图 (1)求证：∠AB0=∠CAD: 6/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求证：AB=AD: (3)求四边形ABCD的面积. 目目 考点04 三角形全等模型之一线三等角模型 1.(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学期末)利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的 问题. 图 图2 初步感知 如图1，在△ABC中，AP为中线，过点B作BM⊥AP于点M,过点C作CN⊥AP交AP的延长线于点N.在 PA延长线上取一点Q,连接BQ,使∠Q=∠CAN (I)填空：S△BMPS△CNP.(填“>=”或“<”) (2)求证：△QBM≌△ACN. (3)试说明：S△QBM=S△BPN+S△4CP, 拓展应用 (4)如图2，在△ABC中，∠BAC是钝角，点D在边BC上，AB=AD,点E在边AC上，点F在边CA的 延长线上，∠BAP>∠DAB,∠BFA=∠AED=∠BAD,若BD=2DC,△ABD的面积是12，求 △ABF与△CDE的面积之和， 2.(24-25八上江西南昌·期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是D, E 7/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 G B D 图1 图2 (1)如图1，若AD=1.5,DE=0.7,求BE的长； (2)如图2，∠ACB的平分线与BE的延长线交于点F,连接AF,AF的延长线与CE的延长线交于点G,若 ∠GAD=50°，求∠B的度数 3.(24-25八上江西赣州大余县·期末)在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且 AD⊥MN于D,BE⊥MN于E· M A B A N/D 图1 图2 图3 (I)如图1的位置时，求证：DE=AD十BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD一BE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE之间具有怎样的等量关系？请直接写出这 个等量关系， 4.(24-25八上·江西赣州上犹县期末)(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m 经过点A,BDL直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE (2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有∠ BDA=∠AEC=∠BACC,其中α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证 明；若不成立，请说明理由 (3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)， 点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ,试判断△DEF的形状. 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F B B A E m D (图1) (图2) (图3) 目目 考点05 三角形全等模型之倍角模型 1.(24-25八上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，AD是△ABC的高，∠C=2∠B,若 CD=2,AC=5,求BC的长. 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将△ACD沿AD折叠，如图1，则点C刚好落在BC边上的 点E处. (1)结合小明同学的想法，请直接写出：BC=, B E 图1 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： (2)如图2，∠ACB=2∠B,AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D,则线段 AB、AC、CD有什么数量关系？请写出你的猜想并证明. 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B D 图2 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： (3)如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,∠D=2∠B,AD=8,DC=10,求AB的长. 图3 目目 考点06 三角形全等模型之倍长中线模型 1.(2425八上江西赣州石城县期末)学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构 造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，己知△ABC中，点E为BC中点，连结AE并延长到点D,使 ED=EA,连接CD则有“8”字全等型△ABC兰△DEC,利用这种方法解下列问题. D D 图1 图2 图3 图4 【课例回顾】(1)如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线1，并在直线1 上依次取点C和点D,使得AC⊥I,BC=BD,请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道 AB的长： 【猜想探究】(2)如图3，在△ABC中，D是AC的中点，BA=BE,BC=BF, ∠ABE=∠CBF=90°，猜想线段BD与EF有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】(3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=d,CD为中线，且∠ACD=15°， 过点D作ED⊥CD交AC于点E.请求线段CE的长.（用含d的式子表示） 10/13 专题02 全等三角形 7大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质 考点02 全等三角形的判定 考点03 全等三角形的判定和性质 考点04 三角形全等模型之一线三等角模型 考点05 三角形全等模型之倍角模型 考点06 三角形全等模型之倍长中线模型 考点07 角平分线的性质和判定 地 城 考点01 全等三角形的性质 1．(23-24八上·江西南昌江西科技学院附属中学·期末)如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（     ） A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 故A，C，D选项错误，B选项正确， 故选：B． 2．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∵． 故选：A． 3．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点G.若∠B＝24°，∠CAB＝54°，∠DAC＝16°，则∠DGB＝ . 【答案】 【分析】因为两三角形全等,对应边相等,对应角相等,根据全等三角形的性质进行求解即可求出. 【详解】因为△ABC≌△ADE, ∴∠ACB=∠E=180°-24°-54°=102°, ∴∠ACF=180°-102°=78°, 在△ACF和△DGF中, ∠D+∠DGB=∠DAC+∠ACF, 即24°+∠DGB=16°+78°， 解得∠DGB=70°． 故答案为：70°． 4．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)如图，，点在线段上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．根据全等三角形的性质得到，从而得到，从而求出，进而根据等边对等角即可解答． 【详解】解：， ． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)如图，在中，，，，点D为的中点，点P在线段上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以每秒个单位的速度由点C向点A运动．设运动时间为t（秒）． (1)线段______（用含t的代数式表示）； (2)若点P，Q的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由． 【答案】(1) (2)与全等，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的判定： （1）先求出，再求出即可； （2）分别求出的长，再根据全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：与全等，理由如下： ∵点D为的中点， ∴， 当时，， ∴， 又∵， ∴ 地 城 考点02 全等三角形的判定 1．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)如图，，，，那么图中有全等三角形(   ) A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是三角形全等的判定方法，注意，不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据平行的性质得到，然后根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 在和中， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴图中的全等三角形共有3对． 故选：C． 2．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)如图，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　） A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行分析即可． 【详解】解：A、BD=DC，AB=AC，再加上公共边AD=AD可利用SSS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意； B、∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD再加上公共边AD=AD可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意； C、∠B=∠C，∠BAD=∠CAD再加上公共边AD=AD可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意； D、∠B=∠C，BD=DC再加上公共边AD=AD，没有ASS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，可说明，进而得出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作一个角等于已知角，根据可以判断，进而得出的依据是． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 4．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)如图，是一个平分角的仪器，其中，．将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线．依据的数学原理是（　　） A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 B．三边分别相等的两个三角形全等 C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角的两边的距离相等 【答案】B 【详解】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 由判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得是的平分线． 【解答】解：在和中， ∴ ∴， ∴是的平分线， ∴依据的数学原理是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：B． 5．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)如图所示，在与中，与交于点E，且，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用角角边证明，即可求证． 【详解】证明：在与中， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)如图所示，于点，于点，且，求证： 【答案】见解析； 【分析】根据垂直的定义得出∠AEC=∠ADB，再根据ASA证明△ADB≌△AEC，进而证明即可． 【详解】证明∵  , ∴. 在与中 ∴≌, ∴AB=AC. 又∵, ∴, ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ADB≌△AEC是解题的关键． 8．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)如图，点A，E，F在直线l上，AE=BF，AC//BD，且AC=BD，求证：CF=DE    【答案】见解析. 【分析】利用SAS证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质即可得. 【详解】∵AE＝BF， ∴AF＝BE， ∵AC∥BD， ∴∠CAF＝∠DBE， 又AC＝BD， ∴△ACF≌△BDE(SAS)， ∴CF＝DE. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握是解题的关键. 9．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)如图，已知，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质求得． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 10．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)已知：如图，点C，D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G， 求证：（1）DF∥BC； （2）FG＝FE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC； （2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF． 【详解】（1）证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAF． 在△ACF和△ADF中， ∵， ∴△ACF≌△ADF（SAS）． ∴∠ACF＝∠ADF． ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°， ∴∠ACF＝∠B， ∴∠ADF＝∠B； ∴DF∥BC． （2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC， ∴FG⊥AC． ∵FE⊥AB， 又AF平分∠CAB， ∴FG＝FE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 地 城 考点03 全等三角形的判定和性质 1．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)如图所示，已知，．如果，， ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 2．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、线段的和与差， （1）根据证明直角三角形全等的定理证明即可得证； （2）连接，证，利用全等三角形的性质证的，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， 在和， ， ∴（）， ∴， ∴； 3．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)如图，在中，于点E，平分交于点F．的延长线交于点G． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据已知，证出，从而得到对应角相等; （2）已知，则，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可证出； 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）解： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， 又平分， ． 4．(23-24八上·江西南昌三中教育集团·期末)如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）证明，根据全等三角形的性质证明，再根据线段的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 5．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)如图，在平面直角坐标系中，，，， ．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)32． 【分析】本题属主要考查了平面直角坐标系中的坐标特点、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能准确灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据四边形的内角和可求得，再结合已知可得，则根据直角三角形性质即可证明结论； （2）过点A作于点，作的延长线于点E，根据点的坐标可得，并可推出，利用角平分线的性质定理可得，则由可得，根据全等三角形对应边相等即可证得结论； （3）如图2：作轴于点，利用已证结论并结合，则可证明，则可得，即可利用三角形面积之和求出四边形的面积． 【详解】（1）解：如图：在四边形中， ， ， ， ， ， ， 又， ． （2）解：如图2，过点A作于点，作的延长线于点E， ，，， ，， ， 又， ， 又，， ，， ， ， ．    （3）解：如图2：作轴于点. ，，， . ，. ． 地 城 考点04 三角形全等模型之一线三等角模型 1．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，进而可得，，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为6． 2．(24-25八上·江西南昌·期末)如图，，，，，垂足分别是D，E．    (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，的平分线与的延长线交于点F，连接，的延长线与的延长线交于点G，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理． （1）由“”可证，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“”可证，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵，， ∴； （2）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)在中，，，直线经过点，且于，于． (1)如图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高． （1）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此即可证明，然后利用全等三角形的性质即可解决问题； （2）由于中，，，直线经过点，且于，于，由此仍然可以证明，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，仍然，然后利用全等三角形的性质可以得到． 【详解】（1）证明： 中，， ， 又直线经过点，且于，于， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）如图3， 中，，直线经过点，且于，于， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 、、之间的关系为． 4．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 地 城 考点05 三角形全等模型之倍角模型 1．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 地 城 考点06 三角形全等模型之倍长中线模型 1．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)学习全等三角形知识后，我们知道，当有中线时，通常会倍长中线构造“8”字型全等的方法来解决问题，如图1，已知中，点E为中点，连结并延长到点D，使，连接则有“8”字全等型．利用这种方法解下列问题． 【课例回顾】（1）如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，借鉴上述方法，过点B画直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得，，请利用上述方法补全图形，指出测量哪条线段就可知道的长； 【猜想探究】（2）如图3，在中，D是的中点，，，，猜想线段与有什么数量关系？并证明； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，为中线，且，过点D作交于点E．请求线段的长．（用含d的式子表示） 【答案】（1）见解析，知道就可知道的长；（2），见解析；（3） 【分析】（1）作交l于点D，延长交于点，证明即可得到结论； （2）延长到G，使得，由得，，根据平行线的性质得到，求得，证明即可得到结论； （3）如图4，延长到F使，证明得，，再证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）①补充如图，作交l于点D，延长交于点M，则，即知道就可知道的长； 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；        （2），理由如下： 延长到G，使得，则， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）如图4，延长到F使， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点07 角平分线的性质和判定 1．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)如图，是的角平分线，点P在上，，垂足为D，且，则点P到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得解． 【详解】解：如图，作于， ∵是的角平分线，点P在上，，垂足为D， ∴， ∴点P到的距离是， 故答案为：． 2．(23-24八上·江西南昌江西科技学院附属中学·期末)如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得． 【详解】解：平分，，，， ， ， ， 故答案为：． 3．(23-24八上·江西南昌江西科技学院附属中学·期末)如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：PE=PF.    【答案】见解析 【详解】试题分析：连接AP，证明Rt△APF≌Rt△APE，便可得PE=PF. 解：连接AP， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°， ∵在Rt△AEP和Rt△AFP中，AP=AP，AE=AF， ∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL）， ∴PE=PF． 4．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)如图，是油纸伞及其示意图，已知，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义．首先利用证明，再根据全等三角形对应角相等可证，根据角平分线的定义可证平分． 【详解】证明：在和中， ， ， 平分． 5．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)教材呈现：如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的判定定理”完整的证明过程． 已知： 求证： 证明过程： (2)定理应用：如图②，，E是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，掌握这两个定理是解题的关键． （1）根据题干找出已知条件和结论，再结合图片用符号语言描述，并证明即可； （2）运用角平分线的性质和判定证明即可． 【详解】（1）解：已知：，，垂足分别是D、E，且． 求证：平分(或者是的平分线) 证明过程： ，． 在和中， ， ． ， 是的平分线． （2）如图：过点E作于F， 平分，， ， 是的中点， ， ． 又， ， ， 是的平分线． 6．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）①先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得证； ②在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：（1）如图，过点作于点， ∵平分，，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分． （2）①∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴． ②如图，在上截取，连接， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．      【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：____________________________________ 求证：____________________________________ 证明：____________________________________ 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是银题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得即可由（1）的结论可得出结论 （3）过点E作交延长线于F，作于G作，于H，设，则， 根据，即，求得：，即可由求解． 【详解】解：（1）已知：，，且． 求证：平分． 证明：在和中， ， ∴． ∴， ∴是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （3）解：过点E作交延长线于F，作于G作，于H，如图， 设， 由（1）得：， ∵，，， ∴， 即：，解得：， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $