专题06 分式（10大考点）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学上学期新教材人教版

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题06分式 ☆10大高频考点概览 考点01分式与最简分式的判断 考点02分式有意义的条件 考点03分式的值为零 考点04利用分式的基本性质判断 考点05分式的运算 考点06分式的化简求值 考点07解分式方程 考点08分式方程中根的情况求参数 考点09分式方程的应用 考点10分式的规律探究问题 考点01 分式与最简分式的判断 1.4-5八上江西南昌中学教育集团期未在是.3+1，X中，分式的个数为(） π’x’4’x+y A.1 B.2 C.3 D.4 2.24-25八上江西南昌香式学校期末代数式2x, 5 号是品燥于试 12 的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(24-25八上江西南昌第二十八中学·期末)下列分式是最简分式的是（) 9b ab a+b a A.3a C. 2ab a-b D.-ab 考点02 分式有意义的条件 1 1.24:25八上江西南昌：期未要使分式X一有意义，则x的取值范围是(） A.X=1 B.X≠1 C.x=-1 D.X≠-1 1/15 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2.(24-25八上江西南昌江西师范大学附属中学期末)使分式a_有意义的a的取值范围是() a+2 A.a≥-2 B.a=-2 C.a≠-2 D.a>-2 1 3.(24-25八上江西赣州寻乌县·期末)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是一· -3 4.4,25八上江西赣州上犹县期末使分式x2有意文的x的取植范围是一 5.(4-25八上江西赣州大余县期末)若代数式，1 有意义，则实数x的取值范围是一 2+X 6.2425八上江西赣州经开区：期未)若分式x”有意义，则x的取值范围是 5有意义. 1 7.(24-25八上江西赣州南康区·期末)当x时，分式 &2425八上江西南昌一中等部分联考·期末若分式X十2有意义，则x的取值范围是 考点03 分式的值为零 1,24-25八上-江西赣州龙南期末若分式-9的值为零，则x的值是（) X-3 A.±3 B.-3 C.3 D.-2 2.24-25八上江西南昌二中集团校初中部期末)如果分式X- X-1 的值为0，那么x的值为一 2x-3 3.(24-25八上江西南昌中学教育集团期末)若分式 X+1 的值为0，则x的值为一 4425八上江西南昌南昌外国语学校教有架团期末若分式￥的直为摩，则的值为一 考点04 利用分式的基本性质判断 1.(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)下列各式从左到右的变形，一定正确的是() b ab A. bb2 b-b+1 B. C. D.-b+1=-b+1 aa aa+1 aa a Q 2.24-25八上江西南昌期末)把分式5x+y中的x,y同时扩大为原来的3倍，分式的值也扩大3倍，则 3x+2y 2/15 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 在口中添加的运算符号为() A.+ B C.x D.÷ 3.(24-25八上·江西赣州于都县·期末)若m≠n,则下列化简一定正确的是() m+3_m m-3_m A. B. C.m-m 3m_m n+3 n n-3 n n°n D. 3n n 考点05 分式的运算 6ab 15c 1.(24-25八上江西南昌·期末)计算： 5c2 4ab 6x2y4 2.(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)约分： 27xy6 3a 2b 3.(24-25八上江西赣州龙南·期末)计算： 3a-2b3a-2b- 2x-xy+2y 2425八上江西南昌南昌县期末若+2，则3x+5y+3 X y 5.(24-25八上江西南昌第二十八中学·期末)计算： 0-2+ +n-3.140 (x'-_x x-1X-1 6.(24-25八上·江西赣州龙南·期末)( x2-4-X-2 X-4x+4x+2尸x-2 目目 考点06 分式的化简求值 X+11 3 1.(24-25八上江西南昌江西师范大学附属中学·期末)化简分式 x2-4x+2x-2并从2，-2,0 选择一个适当的x的值代入求值. 3/15 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2.(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)先化简，再求值： a÷1+。 1, 其中 a2-2a+1a-1 a=2+1. 3a-2b+3b 3.(24-25八上江西南昌一中等部分联考·期末)已知a-b-1=0,求代数式 -2ab+62的值. 4.(24-25八上江西南昌二中集团校初中部·期末)先化简，再求值： 1-1-1, 其中x=2. X+2°x+2 5.(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)先化简，再求值： 3x+4_2.x+2 x1x-2x+ ,其中x=2. 6.(24-25八上江西南昌立德学校期末)先化简，再求值： .a2-b2a-b a-ba2-2ab+b2a+b,其中 a=5-1,b=1. X y23 .y2-x2 2 7.(24-25八上江西赣州龙南·期末)先化简，再求值： X-yX+xy-2y9+7其中后= 一十 3. 8.(24-25八上·江西赣州大余县·期末)化简并求值： x2-4 2X2+2x,其中x=2023 x2-4x+4x-2x-2 9.(24-25八上江西赣州经开区·期末)先化简，再求值： x+2.X-9:x X-6x+9x+2x-3从-3，-2， 0,2,3,这几个数中取一个合适的数作为x的值代入求值. 10.(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)先化简 -X+1÷ X+1 X+2一，再从-2，-1,1中选择合适的 x2+2x+1 x值代入求值. 11.(24-25八上江西南昌雷式学校期末)先化简： 3 -X+1:4并从-35X<0中选取合适 X+1 x2+2x+1 的整数代入求值. 4/15 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 12.(24-25八上·江西南昌·期末)先化简(1-一 1、.x-4x+ )÷ -1 x2-1 ,然后从-1,0,1,2中选一个自己喜 欢的x值代入求值. 13.(24-25八上·江西赣州石城县·期末)先化简，再求值 2-29,哭px- x+y x2-y2 x+y y=-2024°. 14.(24-25八上·江西赣州于都县·期末)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人 只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 x2-2x x2-2x I-x x2-2x x- x(x-2)x-1 x-2 x-1 1-X x-1 r-l x-1 (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是」 A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2中选择一个合适的数求值. 考点07 解分式方程 1.Q4-25八上江西南昌中学教有集团期末)解方程、1，-2=3x去分母，两边同乘X-1后的式子为 X-1 1-X () A.1-2=-3x B.1-21-x=-3x C.1-2x-1=3x D.1-2x-1=-3x 1 2.(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)对于实数a,b,定义一种新运算“*”：a*b= a2-b2’ 带式右边是实数远第.例：13=子=君则方家x*-2三是 =x一2的解是x=d 5/15 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.24-25八上江西南昌江西师范大学附属中学期末)(1)计算：16+2-2°- +-1 (2)解分式方程： 水+1 =1 x-1xx-1) 4.(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)解关于x的方程： 3_2x+4=1. X-1x-1 5.(24-25八上江西赣州上犹县·期末)解方程： 3-1=0 x x-2 6.(24-25八上江西南昌期末)解分式方程：X+1-1=3x X-2 2-x1 2_3 7.(24-25八上·江西赣州大余县·期末)解分式方程： x-3x-2 8.(24-25八上·江西南昌第二十八中学期末)解方程： (1) 3-1-X-3: x-22-x 2-21=8 x2-4 231 9.(24-25八上·江西赣州南康区·期末)下面是某位同学解分式方程 +2x-2x2- 一的过程： 解：方程两边同乘以x+2(x-2,得 2x-2-3x+2=1.① 2X-4-3x+6=1.② 解得：x=1.③ 检验：当x=1时，x+2x-2≠0，④ 所以，原分式方程的解为x=1. ()填空：第步开始出现了错误（只填序号）； (2)请从出现错误的那一步开始补全正确的解题过程. 10.24-25八上江西赣州龙南期未小海解方程，3，-1-2X=1的过程如下。请指出他解答过程中的 x-1x-1 错误，并写出正确的解答过程。 解：方程两边同乘x-1,得3-1-2x=1.…① 去括号，得3-1-2x=1.…② 移项，得-2X=1+1-3.…③ 6/15 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 合并同类项，得-2X=-1.…④ 两边同除以-2，得x= 2 …⑤ ·原方程的解为X= …⑥ 2 11.(24-25八上江西南昌立德学校·期末)下面是小花同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下 各题： 解分式方程： 2x-1=X-1-2 3x+6X+2 2x-1=-2第步 解：3x+2x+2 2x-1=3x-1-6x+2)第二步 2X-1=3x-3-6x+12第三步 (1)第二步的解题依据是； A.分式的性质；B.等式的性质；C.单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第_步开始错误的； (3)请写出该分式方程的正确解答过程， 12.(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相 应的学习任务： X-3+2= 1 X-2 2-x 解：方程两边同乘， 得x-3+2(x-2)=-1第一步 去括号，得x-3+2x-4=-1第二步 移项、合并同类项，得3x=6第三步 解得，X=2第四步 则原分式方程的解为x=2第五步 (1)第一步中横线处应填，这一步的目的是，依据是· (2)小明在反思上述解答过程时，发现缺少了一步，请将其补充完整， 7/15 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 考点08 分式方程中根的情况求参数 m 2 1 ,2425八上江西南昌江西师范大学附属中学期若分式方程2一4x本2x一2有增根。则m的值 为() A.2 B.4 C.2或-2 D.4或-8 2.4-25八上江西南昌南昌外国语学校教育集团期未)若关于x的分式方程m,一，2 x-11-x =1的解为正数， 则m的取值范围() A.m>-3 B.m≠1 C.m>-3且m≠-2D.m>-3且m≠1 3.2425八上江西南昌南昌县：期未利已知关于x的分式方程”-2=1的解是正数，则m的取值范围是 ΓX-1 () A.m>1 B.m≥1且m≠2 C.m>1 D.m>1且m≠2 4.2425八上江西南昌第二十八中学期末利关于x的方程a-1x+X,=1无解，则a=6一 x+2X+2 5.(24-25八上江西南昌二中集团校初中部期已知关于x的分式方程3-2x-mx-2-1. X-22-x (1)当m=3时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值. m1_m+4 6.24-25八上江西南昌雷式学校：期末)已知关于x的方程x+33-XX-9 (1)若m=-3,解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求m的值. 考点09 分式方程的应用 1.(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部期末)已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同， 并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是() 4.3040 30-40 XX+12 B.x+12× 8/15 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 30-40 C. D.30、40 X-12x Xx-12 2.(24-25八上江西赣州上犹县·期末)某电子元件厂准备生产9200个电子元件，甲车间独立生产一半后， 由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的 1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子 元件x个，根据题意可得方程为() 4600,4600 A. -33 B. 4600+4600 =33 X 1.3x xx+1.3x C.4600+9200=33 D.9200+4600 二33 X x+1.3x XX+1.3x 3.(24-25八上·江西赣州龙南·期末)在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登 一座450m高的山.乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少15min.如果设甲组 的攀登速度为xm/min,那么下面所列方程中正确的是() 450=450+1.2 A. B. 450=450-15C.450=1.2×450 xx+15 1.2xX X +15D. 450_450+15 1.2xx 4.(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)某搬运公司计划购买A,B两种型号的机器搬运货 物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运360吨货物与每台B型机器 搬运400吨货物所需天数相同. (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司采购两种型号机器共30台，且满足每天搬运货物不低于2900吨，该公司最多采购A型机器多少 台？ 5.(24-25八上·江西南昌·期末)为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A,B两种奖 品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量 的2倍. (1)求奖品A,B的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，计划购买A,B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要 购买多少件？ 6.(24-25八上·江西赣州石城县·期末)为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护 中增加乒乓球项目.体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该 9/15 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒， (1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多 少元？ 7.(24-25八上江西南昌南昌外国语学校教育集团期末)春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜 地迎新年.某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品.请你根据下面的信息（如图），回答下列问题 信息1：已知每个灯 信息2：超市用420 笼的进价比每副春 元购进的灯笼数量 联的进价多15元。 和用240元购进的春 联数量相同。 ()求每个灯笼和每副春联的进价. (2)若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 8.(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、 B两种消毒液，其中A消毒液的单价比B消毒液的单价多40元，用3200元购买B消毒液的数量是用2400元 购买A消毒液数量的2倍. (1)求两种消毒液的单价： (2)学校准备用不多于6800元的资金购买A、B两种消毒液共70桶，问最多购买A消毒液多少桶？ 9.(24-25八上·江西赣州南康区·期末)甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的 商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件. (1)求这种商品的单价： (2)甲、乙两人第二次再去果购该商品时，单价比上改少了20元.甲购买商品的总价与上次相同，乙购买 商品的数量与上次相网，则甲两次购买这种商品的平均单价是元，乙两次购买这种商品的平均单价 是 元 10.(24-25八上·江西赣州龙南·期末)某中学欲购进A、B两种教学用具，己知购进A种用具的单价比购进 B种用具单价少25元，且用800元购进A种用具的数量与用1000元购进的B种用具的数量相同. (1)求购进A、B两种教学用具每件各需多少元？ (2)若购进A、B两种教学用具共40件，且购买A、B两种用具的总资金不超过4400元，求最少购买A 种用具多少件？ 10/15 专题06 分式 10大高频考点概览 考点01 分式与最简分式的判断 考点02 分式有意义的条件 考点03 分式的值为零 考点04 利用分式的基本性质判断 考点05 分式的运算 考点06 分式的化简求值 考点07 解分式方程 考点08 分式方程中根的情况求参数 考点09 分式方程的应用 考点10 分式的规律探究问题 地 城 考点01 分式与最简分式的判断 1．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)在，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义即可得到答案． 【详解】解：根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式， 故，为分式， 故选B． 2．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)代数式，，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的定义，根据分式的定义进行逐一判断即可：对于两个整式A、B，其中B中含有字母，那么形如的式子叫做分式． 【详解】解：代数式，，，，，，中，属于分式的有，，，，共4个， 故选C． 3．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义依次判断即可． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：是最简分式，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式． 地 城 考点02 分式有意义的条件 1．(24-25八上·江西南昌·期末)要使分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可知分式有意义，则分式的分母不等于0． 【详解】∵分式有意义， ∴， 解得： 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)使分式有意义的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 3．(24-25八上·江西赣州寻乌县·期末)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根分根式有意义的条件是分母不为0即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 则 故答案为：． 4．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)使分式有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 5．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】x≠-2 【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可． 【详解】解：依题意得：2+x≠0． 故答案是：x≠-2． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 6．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件“分母不等于零”．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 7．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)当x 时，分式有意义. 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得x-5≠0，再解即可． 【详解】∵分式有意义 ∴当x-5≠0即x≠5. 故答案为≠5. 【点睛】分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 8．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】； 【分析】根据分母不等于0，即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴； 故答案为：． 地 城 考点03 分式的值为零 1．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)若分式的值为零，则x的值是（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件列式求值即可． 【详解】解：∵分式的值为零 ∴，解得：x＝﹣3． 故选B． 2．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)如果分式的值为0，那么x的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【详解】解：分式的值为0， ，且， ， 故答案为：． 3．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式的值为0列出一元一次方程，解方程即可求解. 【详解】 解：∵分式的值为0， ∴2x﹣3＝0且x+1≠0， ∴x， 故答案为：． 4．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：因为分式的值为零， 所以， 解得：． 故答案为：1． 地 城 考点04 利用分式的基本性质判断 1．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)下列各式从左到右的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质逐项判断，注意乘除一个数或代数式的时候要保证不为0． 【详解】A. 当时，才成立，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. 因为a是分母，所以，所以成立，故C选项正确； D.，故D错误； 故选：C． 2．(24-25八上·江西南昌·期末)把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，分式的值也扩大3倍，则在□中添加的运算符号为（    ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【答案】C 【分析】此题考查了分式基本性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识对分式进行正确地变形．运用分数的基本性质进行变形求解． 【详解】解：解：A、∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ， ∴选项A不符合题意； B、∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ， ∴选项B不符合题意； C、∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ， ∴选项C符合题意； D、∵把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍后，原式变为： ， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 3．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)若，则下列化简一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质并能正确应用． 根据分式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，看其是否符合性质要求． 【详解】解：A，，选项化简错误，不符合题意； B，，选项化简错误，不符合题意； C，，选项化简错误，不符合题意； D，，选项化简正确，符合题意． 故选：D． 地 城 考点05 分式的运算 1．(24-25八上·江西南昌·期末)计算：＝ ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的乘除法，分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)约分： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了约分，掌握约分的定义是解题关键．直接将分子与分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)计算：= ． 【答案】1． 【详解】根据分母加减，分母不变，直接把分子相减即可： ． 4．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)若=2，则= 【答案】 【分析】由=2，得x+y=2xy，整体代入所求的式子化简即可． 【详解】=2，得x+y=2xy 则==， 故答案为：. 5．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，分式的减法计算： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加法即可得到答案； （2）根据分式减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)()÷ 【答案】 【分析】先将括号里的分式进行因式分解约分，再通分加减，然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可 【详解】原式= = = = 【点睛】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的方法是解题关键 地 城 考点06 分式的化简求值 1．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)化简分式 ，并从2，，0选择一个适当的x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值及使分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解答本题的关键．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给字母的值代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴原式． 2．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再把的值代入计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 3．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 4．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【分析】括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解本题的关键． 5．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：原式 当时，原式． 6．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】利用分式运算化简求值，先约分，再通分计算分式的加减，将其化简为最简形式再代入求值即可，本题考查的是分式的化简求值及二次根式的混合运算，熟知分式的混合运算的运算法则是解答该题的关键． 【详解】解：原式 当时， 原式． 7．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)先化简，再求值：＋·，其中x=，y=－3. 【答案】化简为，值为. 【分析】先对第二项两个分式的分子和分母进行因式分解，再约分，然后将异分母分式化为同分母分式，再按照同分母分式的减法进行计算. 【详解】解：原式                                     将，     原式. 8．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)化简并求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的运算法则，进行化简，再代值计算即可．本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简，是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 9．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)先化简，再求值：，从，，0，2，3，这几个数中取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简与求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式四则混合运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，然后结合分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，分式无意义， 当时，原式； 当时，原式． 10．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)先化简，再从，，1中选择合适的值代入求值． 【答案】，， 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入使分式有意义的值即可求解． 【详解】解： = = =， ∵， ∴，把代入可得： 原式=． 11．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)先化简：，并从中选取合适的整数代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则对分式进行化简，再根据分式有意义的条件及的取值范围得出的值，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵且， ∴且且， 又∵且为整数， ∴， ∴原式 ． 12．(24-25八上·江西南昌·期末)先化简（1﹣）÷，然后从﹣1，0，1，2中选一个自己喜欢的x值代入求值． 【答案】，﹣ 【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后，代入使原分式有意义的字母的值，从而可得答案． 【详解】解：原式＝ ＝， 当x＝0时，原式＝ 13．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)先化简，再求值 ，其中， ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 14．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 A．只有乙    B．甲和丁    C． 乙和丙    D．乙和丁 (2)请你书写正确的化简过程，并在“1,0,2，-2”中选择一个合适的数求值． 【答案】(1)D (2)， 【分析】（1）根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断． （2）化简之后的结果选择一个有意义的数代入求值即可． 【详解】（1） 出现错误是在乙和丁， 故选：D． （2） ， 根据分式有意义的条件可得且， 即只能从和中选择一个， 代入，得出结果为． 地 城 考点07 解分式方程 1．(24-25八上·江西南昌中学教育集团·期末)解方程去分母，两边同乘后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解； 【详解】解：两边同乘后的式子为：， 故选：D 2．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)对于实数，，定义一种新运算“*”：，等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 去分母得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 3．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)（1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的性质对各项进行化简，然后再进行加减运算． （2）先去分母将分式方程化为整式方程，然后求解整式方程，最后对所得的根进行检验． 【详解】解：（1） （2） 方程两边同时乘以得： ， 解得, 检验：当时，． ∴是原方程的解． 4．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)解关于x的方程：． 【答案】x=0 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：两边同时乘x-1，得3-（2x+4）= x-1， 解得：x=0， 检验：把x=0代入得：， ∴x=0是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 5．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】解：方程两边都乘以得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：当时， ∴是原分式方程的解． 6．(24-25八上·江西南昌·期末)解分式方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程去分母得：得， 解得：， 检验：把代入得：． 所以，原分式方程的解为． 7．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再检验即可求解． 【详解】解：方程两边乘最简公分母去分母，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 8．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）先把原方程化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案； （2）先把原方程化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程增根， ∴原方程无解． 9．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得 ．① ．② 解得：．③ 检验：当时，，④ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第______步开始出现了错误（只填序号）； (2)请从出现错误的那一步开始补全正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤，即依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等步骤是解决问题的关键． 根据分式方程的解法，依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验等步骤求出x的值即可． 【详解】（1）解：该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误， 故答案为：②． （2）解： ， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得：． 检验：当时，，且方程左边=右边 所以，原分式方程的解为． 10．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)小海解方程的过程如下． 请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程． 解：方程两边同乘，得．……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 两边同除以，得．……⑤ 原方程的解为．……⑥ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． 先正确求解分式方程，然后对比即可解答． 【详解】解：小海的解法有三处错误：步骤①去分母有误：步骤②去括号有误；步骤⑥少检验 正确解法如下： 方程两边同乘，得. 去括号，得. 移项，得. 合并同类项，得. 经检验，是分式方程的解． 11．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)下面是小花同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：  第一步   第二步    第三步 …… (1)第二步的解题依据是 ； A．分式的性质；B．等式的性质；C．单项式乘以多项式法则 (2)以上解方程步骤中，第 步开始错误的； (3)请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】(1)B (2)三 (3)见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． （2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的每一项都要变号，但是第二项没有变号， 故答案为：三． （3）解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 12．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：方程两边同乘 ， 得第一步 去括号，得第二步 移项、合并同类项，得第三步 解得，第四步 则原分式方程的解为第五步 (1)第一步中横线处应填 ，这一步的目的是 ，依据是 ． (2)小明在反思上述解答过程时，发现缺少了一步，请将其补充完整． 【答案】(1)，去分母，等式的基本性质 (2)见详解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤． （1）观察已知条件所给的解方程的步骤，根据去分母，等式的基本性质进行解答即可； （2）按照解分式方程的一般步骤解方程，求出方程的解即可，注意要检验是否有增根． 【详解】（1）解：第一步横线处应填，这一步的目的是去分母，依据是等式的性质； （2）解：方程两边同乘， 得： 去括号，得： 移项、合并同类项，得： 解得： 经检验：是增根， 所以原分式方程无解． 地 城 考点08 分式方程中根的情况求参数 1．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)若分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先把原方程化为整式方程，再解方程得到，分式方程有增根的条件是分母为0，即或，则或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 解得， ∵分式方程有增根， ∴或， ∴或， ∴或， 故选：D 2．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握分式方程的解，解一元一次不等式，是解题的关键．解分式方程，得到含有m的方程的解，根据“方程的解是正数”，结合分式方程的分母不等于零，得到关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵， ∴， 即， 解得：， 又∵方程的解是正数， ∴， 解不等式得：， 综上可知：且，故C正确． 故选：C． 3．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据题意，先解方程求出x=m-1,方程的解是一个正数，则m-1≥0，且当x-1=0时即m-2=0方程无解，因此得解． 【详解】解：去分母得：m-2=x-1, 移项得：x=m-1， 由方程的解是正数得， m-1≥0且m-1-1≠0， 解得：m≥1且m≠2， 故选择：D． 4．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)关于x的方程无解，则 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先把原方程去分母得到，据此分式方程有增根时和两种情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， ∴， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根时或， ∴或， ∴， ∴， ∴； 综上所述， 或 故答案为：0或． 5．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)已知关于x的分式方程． (1)当时，解分式方程； (2)若这个分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法． 对于（1），代入数值求出解即可； 对于（2），先去分母，再根据分式方程无解时x的值代入计算即可． 【详解】（1）解：把代入分式方程，得 ， 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：去分母，得． 整理，得． 当，即时，方程无解，则原分式方程无解； 当时，由分式方程无解，得到，即， 把代入整式方程，得， 解得． 综上所述，m的值为1或． 6．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． （2）解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 地 城 考点09 分式方程的应用 1．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)已知甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，并且乙车每小时比甲车多行驶12千米，若设甲车的速度为千米/时，依题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用：列分式方程，关键是正确理解题意、列出分式方程即可．首先根据甲车的速度为千米/时，表示出乙车的速度为千米/小时，再根据关键语句：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，列出方程即可． 【详解】解∶ 设甲车的速度为千米/时，则乙车的速度为千米/小时， 根据题意，得， 故选：A． 2．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)某电子元件厂准备生产个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的倍，结果用天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 先设未知数，再根据题目中的等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设甲车间每天生产电子元件x个，则乙车间每天生产电子元件个， 根据题意可得：． 故选：B． 3．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2 xm/min，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15 min，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min， 依题意得： 故选：B. 4．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)某搬运公司计划购买两种型号的机器搬运货物，每台型机器比每台型机器每天少搬运10吨货物，且每台型机器搬运360吨货物与每台型机器搬运400吨货物所需天数相同． (1)求每台型机器，型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司采购两种型号机器共30台，且满足每天搬运货物不低于2900吨，该公司最多采购型机器多少台？ 【答案】(1)每台型机器、型机器每天分别搬运货物90、100吨 (2)该公司最多采购型机器10台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式和分式方程是解此题的关键． （1）设每台型机器每天搬运货物吨，则每台型机器每天搬运货物吨，根据“每台型机器搬运360吨货物与每台型机器搬运400吨货物所需天数相同”，列出分式方程，解方程即可； （2）设该公司采购型机器台，根据“每天搬运货物不低于2900吨”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设每台型机器每天搬运货物吨，则每台型机器每天搬运货物吨， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ∴， 答：每台型机器、型机器每天分别搬运货物90、100吨； （2）解：设该公司采购型机器台， 根据题意得：， 解得：， 答：该公司最多采购型机器10台． 5．(24-25八上·江西南昌·期末)为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买A，B两种奖品，已知奖品A的单价比奖品B的单价少10元，用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍． (1)求奖品A，B的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，计划购买A，B两种奖品共60件，所需费用不超过1100元，那么奖品A至少需要购买多少件？ 【答案】(1)奖品A的单价是15元，奖品B的单价是25元 (2)奖品A至少需要购买40件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是元，利用数量总价单价，结合用300元购买奖品A的数量是用250元购买奖品B的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即奖品A的单价），再将其代入中，即可求出奖品B的单价； （2）设购买m件奖品A，则购买件奖品B，利用总价单价数量，结合总价不超过1100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设奖品A的单价是x元，则奖品B的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：奖品A的单价是15元，奖品B的单价是25元； （2）设购买m件奖品A，则购买件奖品B， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为40． 答：奖品A至少需要购买40件． 6．(24-25八上·江西赣州石城县·期末)为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒． (1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？ (2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？ 【答案】(1)5元 (2)7元 【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可； （2）设每盒乒乓球的售价为y元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可． 【详解】（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元， 由题意得： 解得：x＝5， 经检验：x＝5是原分式方程的解，，且符合题意， 答：第一次每盒乒乓球的进价是5元； （2）解：设每盒乒乓球的售价为y元， 第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为（元）， 由题意得：， 解得：． 答：每盒乒乓球的售价至少是7元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式． 7．(24-25八上·江西南昌南昌外国语学校教育集团·期末)春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某百货超市计划购进春联和灯笼两种商品．请你根据下面的信息（如图），回答下列问题．    (1)求每个灯笼和每副春联的进价． (2)若超市准备用不超过2450元的资金再购进这两种春联和灯笼共100个（副），最多能购进灯笼多少个？ 【答案】(1)每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元 (2)最多能购进灯笼30个 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用： （1）设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设购进灯笼m个，则购进春联副，根据题意列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设每副春联的进价是x元，则每个灯笼的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个灯笼的进价是35元，每副春联的进价是20元． （2）解：设购进灯笼m个，则购进春联副， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30． 答：最多能购进灯笼30个． 8．(24-25八上·江西南昌南昌县·期末)新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进、两种消毒液，其中消毒液的单价比消毒液的单价多元，用元购买消毒液的数量是用元购买消毒液数量的倍． （1）求两种消毒液的单价； （2）学校准备用不多于元的资金购买、两种消毒液共桶，问最多购买消毒液多少桶？ 【答案】（1）消毒液的单价为元，消毒液的单价元；（2）最多购买消毒液桶 【分析】（1）设消毒液的单价为元，则消毒液的单价为元，根据题意得到分式方程即可求解； （2）设购买消毒液桶，则购买消毒液桶元，根据题意得到不等式即可求解． 【详解】解：（1）设消毒液的单价为元，则消毒液的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意． 则消毒液的单价为（元）， 消毒液的单价为元，消毒液的单价元． （2）解：设购买消毒液桶，则购买消毒液桶元，根据题意得： ， 解得：， 答：最多购买消毒液桶． 9．(24-25八上·江西赣州南康区·期末)甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． (1)求这种商品的单价； (2)甲、乙两人第二次再去果购该商品时，单价比上改少了20元．甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相网，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元，乙两次购买这种商品的平均单价是_________元． 【答案】(1)这种商品的单价为60元/件 (2)48；50 【分析】本题考查了分式方式方程的应用： （1）设这种商品的单价为x元/件．根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程，解出方程即可得出答案； （2）先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价． 【详解】（1）设这种商品的单价为x元/件．由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根． 答：这种商品的单价为60元/件． （2）第二次购买该商品时的单价为：（元/件）， 第二次购买该商品时甲购买的件数为：（件），第二次购买该商品时乙购买的总价为：（元）， ∴甲两次购买这种商品的平均单价是：（元/件），乙两次购买这种商品的平均单价是：（元/件）． 故答案为：48；50． 10．(24-25八上·江西赣州龙南·期末)某中学欲购进A、B两种教学用具，已知购进A种用具的单价比购进B种用具单价少25元，且用800元购进A种用具的数量与用1000元购进的B种用具的数量相同． （1）求购进A、B两种教学用具每件各需多少元? （2）若购进A、B两种教学用具共40件，且购买A、B两种用具的总资金不超过4400元，求最少购买A种用具多少件? 【答案】（1）购进A、B两种教具每件各需100元、125元；（2）最少购买A种用具24件 【分析】（1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进A种教具m件，则购进B种教具件，根据题意列出不等式求解即可； 【详解】解：（1）设购进B种教具每件需要x元，则购进A种教具每件需要元， 由题意可得， 解得， 经检验得是原分式方程的解， ∴购进A种教具需（元/件）， 答：购进A、B两种教具每件各需100元、125元． （2）设购进A种教具m件，则购进B种教具件， ， 解得， 答：最少购买A种用具24件． 11．(24-25八上·江西赣州上犹县·期末)某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元． (1)问第二次购进了多少件文具？ (2)文具店老板第一次购进的文具有的损耗，第二次购进的文具有的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由． 【答案】(1)第二次购进200件文具 (2)盈利805元，见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用． （1）方法一：设第一次购进x件文具，根据第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了元，列分式方程求解；方法二：设第一次购进文具的进价为x元，根据第二次购进文具是第一次购进数量的2倍，列分式方程求解； （2）先计算除去损耗后，可以卖的文具件数，再求出两次销售的总金额减去总成本得到的利润，最后结果为正数，即可得出结论． 【详解】（1）解：方法一：设第一次购进x件文具，得 ， 解得 经检验，是原方程的解 ， 答：第二次购进200件文具； 方法二：设第一次购进文具的进价为x元，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：第二次购进200件文具； （2）解：盈利805元，理由如下： 件，件， （元）． ∵， ∴文具店老板在这两笔生意中盈利了805元． 12．(24-25八上·江西南昌第二十八中学·期末)甲、乙两人同时去同一家加油站加号汽油，甲花元所加的油量比乙花元所加的油量少升． (1)求号汽油的单价； (2)甲、乙两人第二次去加号汽油时，单价比第一次少了元升，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加号汽油的平均单价是________元/升，乙两次加号汽油的平均单价是________元/升； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，如果每次油价都不相同，建议按相同________（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用相关知识说明理由． 【答案】(1)8元/升 (2)7.5； (3)金额，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及分式的混合运算； （1）设号汽油的单价为元升，根据“甲花元所加的油量比乙花元所加的油量少升”，列出分式方程，解方程即可； （2）先求出甲第一次加油的量，从而得出甲第二次加油的钱，再求平均数即可；求出乙第一次和第二次加油的量，再求平均数即可； （3）求出甲、乙两次加油的平均单价，再作差进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设号汽油的单价为元升，由题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：号汽油的单价为元升； （2）解：由（1）可知，甲第一次加油的量为：（升）， 甲第二次加油所花的钱为：（元）， 甲两次加号汽油的平均单价是：（元升）； 乙第一次加油的量为：（升）， 乙第二次加油的量为：（升）， 乙两次加号汽油的平均单价是：（元升） （3）解：如果每次油价都不相同，建议按相同金额加油更合算，理由如下： 设甲、乙两人同时去同一家加油站加两次号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次元升，第二次元升，且，甲每次总是加汽油升，乙每次总是加汽油元， 由题意得：甲两次加油的平均单价为（元升）， 乙两次加油的平均单价为（元升）， 且＞，＞， 甲的两次平均单价比乙的两次平均单价高， 如果每次油价都不相同，建议按相同金额加油更合算， 故答案为：金额． 13．(24-25八上·江西赣州大余县·期末)从2013年的首次太空授课到2023年“天宫课堂”第四课开讲，精彩的课程在全国青少年心中播下了追逐航天梦想的种子，激发了他们探索科学奥秘的兴趣．某学校为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中B款套装的单价比A款套装单价的2倍少30元，用600元购买A款套装的数量是用450元购买B款套装数量的2倍． (1)求A，B两款套装的单价． (2)根据学校实际情况，需一次性购买A款套装和B款套装共100个，但要求A款套装和B款套装的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个B款套装？ 【答案】(1)A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元 (2)学校最多可以购买66个B款套装 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设款套装的单价是元，则款套装的单价是元，根据用600元购买款套装的数量是用450元购买款套装数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买个款套装，则购买个款套装，根据款套装和款套装的总费用不超过8000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设A款套装的单价是元，则B款套装的单价是元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：A款套装的单价是60元，B款套装的单价是90元． （2）解：设学校可以购买个B款套装， 根据题意，得， 解得． ∵是正整数，∴最多取66． 答：学校最多可以购买66个B款套装． 14．(24-25八上·江西南昌雷式学校·期末)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）； ②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)①，；② (2) (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． （1）①用“总产量面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）解：根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）解：根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当且a为整数（）， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 15．(24-25八上·江西南昌立德学校·期末)下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2 (1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ． A、甲种商品每件进价x元   B．乙种商品每件进价x元   C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)A，C (2)甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件 (3)至多购进甲种商品12件 【分析】题主要考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别按照解分式方程的步骤求解； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价x元，由甲商品数量等于乙商品数量，可得：， 设甲种商品购进x件，由甲商品进价减去乙商品进价等于2可得：； 故答案为：A，C； （2）解：①， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． ② 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． （3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件， ∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品， ∴， ∴， 答：至多购进甲种商品12件． 16．(24-25八上·江西赣州于都县·期末)为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 乙 信息二 甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天． 【答案】(1)的值是 (2)乙工程队至少施工天 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据甲工程队施工 所需天数与乙工程队施工 所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）根据题意得： 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴的值是300； （2）解：设乙工程队单独施工m天， 解得：, 答：乙工程队至少施工15天. 地 城 考点10 分式的规律探究问题 1．(24-25八上·江西赣州经开区·期末)分式的减法法则是分式的运算法则之一，请利用分式的减法法则解决下列问题． (1)计算：_______； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分式的运算． （1）先通分，根据同分母分式的加减法即可求解； （2）根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 2．(24-25八上·江西南昌一中等部分联考·期末)观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． （1）根据前五个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）解：由前五个式子可推出第7个等式为：； （2）解：根据已知的五个式子可以得出一般规律： ， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 3．(24-25八上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ， ，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： + ； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)． 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可解； （2）由 可解； （3）将原式变形为，据此得出或，再根据分式有意义的条件，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ，是和谐分式， ② ，不是和谐分式， ③ ，是和谐分式， ④ ，是和谐分式， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：，； （3）解：原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， ∴或或1或， 又∵分式有意义时， ∴． 4．(24-25八上·江西南昌二中集团校初中部·期末)［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①，②， 【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. （1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】解：（1） ， ， 是的“关联分式”， 故答案为：是； （2）设分式的“关联分式”是， 则， ， ， ，即分式的“关联分式”为． （3）①解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意得 ，． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $