精品解析：河南省开封市五校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题

开封五校2025~2026学年上学期期中联考 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色：墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第四章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用自然数集的定义化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，又， 所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式和对数的意义列方程求解即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则化简. 【详解】. 故选：C 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 5. 已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断必要性，举反例判断充分性. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 若，例如，则对任意均有成立， 可知不一定成立，所以充分性不成立； 若，即，则， 即，所以必要性成立； 综上所述：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】整理可得，，结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为，， 则，所以. 故选：A. 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果. 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与对称性构造新函数，判定其单调性计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，令，则有， 则在上单调递增. 又是定义在R上的偶函数，， 所以是定义在R上的偶函数. 由，可得， 即，由的单调性和奇偶性， 可得，解得或. 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 当为整数时，是偶数 D. 抛物线上的点可用集合表示 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB：举例说明即可；对于C：整理可得，进而分析奇偶性；对于D：根据集合的描述法分析判断，注意集合的元素. 详解】对于选项A：例如，则，故A错误； 对于选项B：例如，则，故B正确； 对于选项C：因为， 若为整数，则中必有一个为偶数，所以是偶数，故C正确； 对于选项D：抛物线上的点可用集合表示，故D错误； 故选：BC. 10. 已知幂函数，则（ ） A. 的图象可能经过第四象限 B. 两个幂函数的图象最多有3个交点 C. 若的图象经过点，则对任意， D. 若，则为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据幂指数的性质分析判断；对于B：令，解方程即可判断；对于C：解得，结合幂函数单调性分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：当时，， 所以的图象不可能经过第四象限，故A错误； 对于选项B：对于幂函数，，且， 令，可得， 则是方程的根，至多有2个根，可知两个幂函数的图象最多有3个交点， 例如的交点为，有3个，故B正确； 对于选项C：若的图象经过点，则， 可得，即，解得，即， 则在内单调递增， 所以对任意，，故C正确； 对于选项D：令，则， 所以不为奇函数，故D错误； 故选：BC. 11. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 函数恰有3个零点 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据偶函数以及对称轴的定义分析判断；对于B：根据奇函数定义分析可得，，即可得；对于C：分析函数的周期性，结合图象分析函数的零点；对于D：根据题意结合函数的周期性运算求解. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，则， 即，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于选项B：因为为奇函数，则， 即，可知的图象关于点对称， 令可得，即， 由，令可得， 且，可得； 由，令可得，即， 又因为当时，， 则，解得，故B错误； 对于选项C：由可得， 且，可得， 即，可得， 即，可知函数的一个周期为4， 且当时，， 据此可得函数的图象，如图所示： 可知函数的零点个数即为函数与的交点个数， 由图可知函数与的交点有3个， 所以函数恰有3个零点，故C正确； 对于选项D：因为，，， 则， 且函数的一个周期为4， 所以，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】令，解得，代入即可得结果. 【详解】令，解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列式求解，注意端点值的大小. 【详解】因为函数在上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若命题“存在正数a，b，使得”是假命题，则实数k的最大值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】转化问题恒成立，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】因为“存在正数a，b，使得”是假命题， 所以“对任意正数a，b，”为真命题， 即恒成立， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以实数最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂与根式的转化及指数运算计算化简求值即可； （2）根据对数运算律计算求值. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【小问1详解】 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. 【小问2详解】 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合对数函数性质运算求解即可，注意对数型函数的定义域； （2）分析可知在上单调递增，且对恒成立，分和两种情况运算求解即可. 【小问1详解】 若，则， 对于不等式，即， 则，解得或， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 若在上单调递增， 则在上单调递增，且对恒成立， 若，则在上单调递减，不合题意； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数和即可求得和的值； （2）根据函数单调性的定义即可证明函数单调性； （3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意知是定义在上的奇函数，所以， 解得， 当时，，所以， 所以是奇函数，满足题意． 又，即，解得（舍去）或． 【小问2详解】 在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 又，所以，，，所以，即，所以在上单调递增． 【小问3详解】 若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令， 令，由（2）可知为增函数，又， 所以，所以，所以， 所以， 解得，即的取值范围是． 19. 已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的性质结合新定义分析即可； （2）利用二次函数的图象与性质结合新定义建立方程组计算即可； （3）利用反比例函数的图象与性质结合图象变换作出函数大致图象，分类讨论将问题化为的解问题，根据一元二次方程根的分布计算即可. 【小问1详解】 由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） 【小问2详解】 因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则，解得，， 所以实数a的取值集合为. 【小问3详解】 函数存在“k倍值区间”. 易知，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封五校2025~2026学年上学期期中联考 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色：墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第四章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义域为的奇函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在R上的偶函数，当时，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. ， B. ， C. 当为整数时，是偶数 D. 抛物线上的点可用集合表示 10. 已知幂函数，则（ ） A. 的图象可能经过第四象限 B. 两个幂函数的图象最多有3个交点 C. 若的图象经过点，则对任意， D. 若，则为奇函数 11. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 函数恰有3个零点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 13. 已知，且，函数在上单调递减，则实数的取值范围为_____. 14. 若命题“存在正数a，b，使得”是假命题，则实数k最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 18. 已知函数是奇函数，且． （1）求和的值， （2）判断并证明的单调性； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $