精品解析：黑龙江省鸡西市三校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025－2026年度第一学期三校联考 高二数学期中试题 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 若向量，向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法法则求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以. 故选：C 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率公式，由题中条件列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为， 所以，解得. 故选：A. 3. 方程x2+y2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k的取值范围是（ ） A. k<-1或k>4 B. k=-1或k=4 C. -1<k<4 D. -1≤k≤4 【答案】A 【解析】 【分析】由二元二次方程表示圆的条件即得. 【详解】∵方程x2+y2-2kx+4y+3k+8=0表示圆， ∴， 解得或. 故选：A. 4. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用离心率公式与渐近线方程公式定义计算即可得. 【详解】由的焦点在轴上， 故， 故的渐近线方程为. 故选：D. 5. 2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天链三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天链三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天链三号卫星运行的轨迹的长半轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，即可. 【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a， 由题可知，，即万千米， 故选：C. 6. 如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】 因为， 所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以， ， 设直线与所成的角为， 所以， 因为， 所以. 故选：. 7. 曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出表示的曲线，而表示经过定点的一条动直线，利用斜率数形结合可得结果. 【详解】由题意得，即，其表示以为圆心，为半径的圆的上半部分，而表示经过定点的一条动直线，如下图所示，当直线与半圆相切于点时，由得，又点，则，由图可知，即. 故选：A. 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 椭圆的长轴长为，短轴长为 D. 双曲线的离心率 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的性质求解即可. 【详解】对于A：因为椭圆方程为：， 所以，焦点在轴上， 又，所以椭圆的焦点坐标为，故A错误； 对于B：因为双曲线的方程为：，所以，焦点在轴上， 所以该双曲线的顶点坐标为，故B正确； 对于C：因为椭圆方程为：，所以， 所以长轴长为，短轴长为，故C错误； 对于D：因为双曲线的方程为：，所以， 所以，所以离心率，故D正确； 故选：BD 10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，先求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质，即可判断A；对B，根据直线与圆的位置关系的判断方法，即可求解；对C，利用切线长为，从而求出的最小值，即可求解；对D，根据条件得点在圆内，从而可得当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短，即可求解. 【详解】由，得到，所以圆心为，半径为， 对于A，因为圆心到直线的距离为， 所以，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离，故B正确， 对于C，从点向圆引切线，切线长为， 所以当时，切线长最小，最小值是，故C正确， 对于D，因为，所以在圆内， 当过点的直线与垂直时，该直线被圆截得的弦长最短， 又因为和圆心的距离为， 所以最短弦长为，故D错误. 故选：ABC． 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 三、填空题 12. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为： 13. 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 14. 已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点S在轴上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得圆心关于轴的对称点，结合，即可求解. 【详解】由圆得，可得圆圆心，半径为， 由圆 得，可得圆的圆心为，半径为， 又由 设圆心关于轴的对称点为，可得， 所以，所以. 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为. （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1） 联立方程组，求出直线的交点坐标，根据直线垂直的性质，求出直线斜率，进而根据点斜式方程，求出一般式方程； （2）分截距是否为，结合直线截距式方程的性质，列出方程，求出结果. 【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且直线经过点，，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）或； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【小问1详解】 圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 17. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； 【小问2详解】 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以， 是菱形，则，所以， 又是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立； （2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则和都是等边三角形， 连接，则，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 因此有，，，，， 是中点，则， ，，，， 设平面的一个法向量是，则 ，取得， 易知平面的一个法向量是，则 ，取，则， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知点在椭圆上，椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 【答案】（1） （2）①证明：联立，消元整理得， 时， 设，，则，， AI 由， 得， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时过点，不合题意，舍去， 所以，即，此时过定点. ② 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上、离心率定义、即关系求出即可； （2）①直曲联立得到出韦达定理，表示出斜率，化简得到与的关系即可； ②由弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出，然后结合基本不等式求出范围即可； 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②此时，所以，设到直线的距离为， 则，， ， 当且仅当时，当时， 所以. 【点睛】方法点睛：本题第二问的第一小问求直线过定点时，需利用韦达定理化简得到与的关系；第二小问求面积范围时，结合基本不等式讨论即可； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026年度第一学期三校联考 高二数学期中试题 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 若向量，向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则m等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 方程x2+y2-2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k的取值范围是（ ） A. k<-1或k>4 B. k=-1或k=4 C. -1<k<4 D. -1≤k≤4 4. 双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天链三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天链三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天链三号卫星运行的轨迹的长半轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 曲线与直线有两个不同的交点时实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的焦点坐标是 B. 双曲线的顶点坐标是 C. 椭圆的长轴长为，短轴长为 D. 双曲线的离心率 10. 已知圆与直线，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 11. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 三、填空题 12. 椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是______. 13. 过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为______. 14. 已知圆，圆，点分别在圆和圆上，点S在轴上，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为. （1）直线经过，且与直线垂直，求直线的一般式方程； （2）直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 已知圆C的方程为：． （1）若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 17. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知点在椭圆上，椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且， ①求证：直线AB经过定点； ②求面积的取值范围（为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $