精品解析：广东省惠州市惠阳高级中学2025-2026学年上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期九年级数学期中质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； D. 是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2. 方程的根是 ( ) A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】把原方程化为或，从而可得答案． 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故选C 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 3. 抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：通过解方程x2﹣2x﹣3=0可得到抛物线与x轴的交点坐标，于是可判断抛物线y=﹣x2+3x﹣2与x轴的交点个数． 解：当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3． 则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）． 故选C． 考点：抛物线与x轴的交点． 4. 关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 4 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】将x=1代入方程计算即可． 【详解】解：将x=1代入x2+ax＝5，得1+a=5， 解得a=4， 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的解，正确理解方程的解集正确计算是解题的关键． 5. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据顶点式直接写出顶点坐标，即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象的顶点坐标是． 故选：A． 6. 等边三角形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键熟练掌握等边三角形的特性． 根据旋转的性质与等边三角形的特点进行求解即可． 【详解】解：如图，是等边三角形，它的中心O ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为， ∴至少将它绕中心顺时针旋转，才能使等边三角形旋转后与自身重合． 故选：D． 7. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得，， 四边形是的内接四边形， ， 故选：B． 8. 已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的外接圆半径，根据勾股定理求得斜边的长，进而即可求解，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴这个三角形的外接圆直径是 故选：D． 9. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，再利用即可求出的度数. 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：A 10. 如图，矩形中，，点为矩形边上的一个动点．当动点沿的方向匀速运动时，设点经过的路程为，以为顶点的三角形面积为，则下列图你能大致反映与函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以分别表示出各段的函数解析式，从而可以根据各段对应的函数图像判断选项的正误即可. 【详解】解：由题意可得， 点到的过程中，三点不能组成三角形，所以，故选项A、B错误； 点到的过程中，； 点到的过程中，，选项D 错误； 点到的过程中，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，计算出各段的函数解析式是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”是解题的关键． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．首先把方程转化为一元二次方程的一般形式：，然后再根据一元二次方程根与系数的关系、得到两根之和与两根之积，代入即可求解． 【详解】解：把移项， 得：， 、、， ，， ． 故答案为： ． 13. 将抛物线向上平移3个单位，向右移动1个单位，所得抛物线的解析式是______ 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位，所得抛物线的解析式是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 14. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理．注意掌握数形结合思想的应用． 由是直径，可得，又由圆内接四边形的性质得到，根据三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：∵是直径， ∴， 又∵是的内接四边形，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 ___cm． 【答案】8 【解析】 【分析】连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D．根据垂径定理得到，然后根据勾股定理求出CO的长度，即可求出水管中的水最大深度CD的长度． 【详解】解：如图所示，连接AO，作OC垂直AB交AB于点C，交圆于点D． ∵ AB是圆的一条弦， ∴， ∴在△AOC中，， ∴， ∴水管中的水最大深度为8cm． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识的运用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，勾股定理． 三、解答题（21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法． （1）利用公式法先求出根的判别公式，再利用一元二次方程的求根公式得出x的值，进而求出方程的解； （2）通过因式分解法将方程左边进行分解，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，得出两个式子分别为0，进而求出方程的解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的根， ∴，． 【小问2详解】 解：， 或， ∴，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2） 如图所示：，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图1，，是的弦，且，连接，． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ，即， ； （也可通过证明三角形全等解决） （2）13 【解析】 【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识． （1）欲证明，只要证明即可； （2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据 得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交于点F，连接，， ，， 又，， ， ， 在中，， 设的半径为，中，， ， 解得，即的半径为13． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动． （1）几秒后，四边形的面积等于？ （2）的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）1秒 （2） 解：的面积不能等于， 理由如下： 根据题意可得： ， 整理得：， ， 所列方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得当运动时间为时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可； （2）看的面积能否等于，只需要看方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：，， 当运动时间为时，， 根据题意可得： ， 整理得：， 解得：或， 当时，点重合，不符合题意，舍去， ∴经过1秒钟，四边形的面积等于； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解． 20. 某商店经营一种小商品，进价为每件20元．根据市场分析，在一个月内，当每件的售价定为25元时，可卖出105件，而销价每上涨1元，就少卖3件． （1）当销售单价为30元时，每月的销售利润为______元； （2）每件小商品的售价定为多少元，月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）900 （2）当售价定为40元时，月销售利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）先计算每件的利润，再计算出销售量，最后得出月销售利润； （2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，建立月销售利润的函数，再将这个式子展开并整理成二次函数的一般形式，利用二次函数的性质求出最值即为月销售的最大利润． 【小问1详解】 解：由题意知，每月的销售利润为：（元）， ∴当销售单价为30元时，每月的销售利润为900元． 故答案为：900． 【小问2详解】 解：设售价为每件x元时，一个月的获利为y元， 由题意得，， 当时，y的最大值为1200， ∴当售价定为40元时，一个月的利润最大，最大利润为1200元． 21. 一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． （1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； （2）要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】（1） （2）船的宽度须不超过10米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键． （1）根据题意得，，所以可设抛物线的解析式为，再将代入解析式求解即可； （2）令，得到方程，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案． 【小问1详解】 解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）有最大值为8，； （3）存在，P点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）将，坐标分别代入抛物线解析式得方程组，然后解方程组求出、即可得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设，则，得出，再求出，再求其最大值即可； （3）先求出对称轴为直线，得，设P点的坐标为，再根据平行四边形的性质进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将，代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将B、C点坐标代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设， 轴于点H，则， ∴ ， ． ∴ ∵是关于x的二次函数，， ∴当时，有最大值为8， 此时； 【小问3详解】 解：由，可知对称轴为直线， ∴， ∵，， 设P点的坐标为， ①当为对角线时，，， 解得，， ∴P点的坐标为； ②当为对角线时， ，， 解得，， ∴P点的坐标为； ③当为对角线时， ，， 解得，， ∴P点的坐标为； 综上，P点的坐标为或或 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，正确掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积和平行四边形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质是解题关键． 23. （1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 【答案】（1）， ，把绕点顺时针旋转，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证，得； （2）先证是等边三角形，得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，再证，得，过点作，交的延长线于点，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可解决问题； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，则，由，得取最小值时，点在上，再由旋转的性质得，，然后证，得，设的长为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）略 （2），， 是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示： 则，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，如图所示： 则， ， 取最小值时，点在上， 如图所示： 由旋转的性质得：，， ，正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的长为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 当取最小值时的长为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学期中质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是 ( ) A. B. C. ， D. ， 3. 抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 关于x的一元二次方程x2+ax＝5的一个根是1，则a的值是（　　） A. 0 B. 1 C. 4 D. ﹣4 5. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 等边三角形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，如图，在中，，，，那么这个三角形的外接圆直径是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 9. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，点为矩形边上的一个动点．当动点沿的方向匀速运动时，设点经过的路程为，以为顶点的三角形面积为，则下列图你能大致反映与函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 若，是方程的两个根，则________． 13. 将抛物线向上平移3个单位，向右移动1个单位，所得抛物线的解析式是______ 14. 如图，是的内接四边形，为直径，，则的度数为_____． 15. 如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 ___cm． 三、解答题（21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 18. 如图1，，是的弦，且，连接，． （1）求证：； （2）如图2，连接，若，，，求的半径． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动． （1）几秒后，四边形的面积等于？ （2）的面积能否等于？请说明理由． 20. 某商店经营一种小商品，进价为每件20元．根据市场分析，在一个月内，当每件的售价定为25元时，可卖出105件，而销价每上涨1元，就少卖3件． （1）当销售单价为30元时，每月的销售利润为______元； （2）每件小商品的售价定为多少元，月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 21. 一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． （1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； （2）要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． （1）求抛物线的表达式； （2）点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 23. （1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $