精品解析：青海省大通回族土族自治县朔山中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

大通县朔山中学2025~2026学年度第一学期期中检测 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，则的取值范围是__________. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为___________. 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 15. 已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域（不需要解答过程）． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 17. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求函数的值域. 18. 某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m. （1）试用表示矩形花坛的面积； （2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ （3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县朔山中学2025~2026学年度第一学期期中检测 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定即可求解. 【详解】命题“，”为全称量词命题，则其否定为“，”，故B正确. 故选：B. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】由，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 3. 已知：，那么的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】要求命题的一个充分不必要条件， 只需要的真子集即可， 分析选项，只有C符合题意. 故选：C 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 5. 下列各组中的函数和是表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同即可得解. 【详解】对于A，，，所以两函数不是同一个函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为， 所以两函数不是同一个函数，故C错误； 对于D，可知两个函数的定义域均为，且， 所以两函数是同一个函数，故D正确. 故选：D. 6. 若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 7. 已知是定义域为的偶函数，且当时，单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质得，然后利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为为上的偶函数，，所以， 又当时，单调递减，所以当时，单调递增， 又，所以，即，解得或. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列图象中，能够表示函数关系的有（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】根据函数的定义，对于定义域内任意，都有且仅有唯一的函数值与其相对应，故满足函数关系的有AD. 故选：AD 9. 二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由二次函数的图象与性质对选项逐一判断． 【详解】由题意得，对称轴，则， 当时，，故A错误； 当时，，则，故B正确； 当时，，则，故C正确； 设一元二次方程的两根分别为，由图象可知，整理可得，故D正确． 故选：BCD 10. 已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由基本不等式对选项逐一判断． 【详解】由，得． 对于A，（当且仅当，即时取等号），A正确； 对于B，（当且仅当，即），B错误； 对于C，（当且仅当，即时取等号）， ，解得（当且仅当时取等号），C错误； 对于D，（当且仅当，即时取等号），由C知（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的性质计算可得. 【详解】由题得，，又，所以. 故答案为：. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数性质，求出对称区间的函数解析式即可. 【详解】因为是偶函数，当时，，所以，所以当时，的解析式为. 故答案为：. 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，根据的单调性，分析计算，即可得答案. 【详解】当时， 为一次函数， 因为单调递减，所以， 当时，为反比例函数， 因为单调递减，所以， 所以由题意可知，解得，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 若集合，. （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，根据并集运算定义求解； （2）由条件可得，结合集合包含关系列不等式求结论. 【小问1详解】 因为， ∴，又 ∴. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 15. 已知函数． （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域（不需要解答过程）． 【答案】（1）； （2）函数的图象如图所示： （3）. 【解析】 【分析】（1）分和去掉绝对值符号即可得到结果； （2）根据解析式作出函数图象即可； （3）结合（2）中函数图象即可求出值域． 【详解】（1）当时，； 当时，． ∴ （2）略 （3）由（2）知，在上的值域为． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），的值分别为，，或，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得值； （2）由判别式可得． 【小问1详解】 由题意可知，，1是方程的两根， 所以，， 解得，或，. 故，的值分别为，，或，. 【小问2详解】 当时，， 若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点， 则， 即，解得， 故的取值范围是. 17. 已知函数，函数. （1）求函数的解析式； （2）试判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2）在区间上单调递增， 任取， 则， 又， ，即， 函数在区间上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）用换元法先求出，再代入已知求出的解析式即可. （2）用函数单调性的定义证明即可，设，作差通分计算即可. （3）分和时用基本不等式求出结果即可，注意取等号的条件. 【小问1详解】 令，则， ， ，即， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， 当且仅当时，等号成立. 当时，， 当且仅当时，等号成立. 的值域为. 18. 某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m. （1）试用表示矩形花坛的面积； （2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ （3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】（1） （2）最长为25米，最短为米 （3）的长为米时，总费用最少，最少为元 【解析】 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. 【小问2详解】 依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. 【小问3详解】 矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $