8.6 双曲线（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦双曲线专题，依据课标要求覆盖定义、标准方程、几何性质等核心考点，结合近五年高考真题分析离心率、渐近线等高频考点权重，归纳定义应用、方程求解、性质探究三大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如2024新课标I卷双曲线离心率题，通过“条件转化-公式联用-方程求解”三步法突破，培养学生数学思维和推理能力。必记结论总结焦点到渐近线距离等实用结论，助力学生快速解题，为教师提供精准复习指导，提升高考冲刺效率。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第八章 直线和圆、圆锥曲线 01 [课标要求] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．　 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．　 3.了解双曲线的简单应用． 8．6　双曲线 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(六十八) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(六十八) 双曲线 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 【必备知识】 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ． 差的绝对值 焦点 焦距 两条射线 (2)其数学表达式：集合P＝{M| }，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若 ，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为 ； ③若 ，则集合P为空集． ||MF1|－|MF2||＝2a a<c a>c 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a＞0，b＞0) ＝1(a＞0，b＞0) 图形 几何 性质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 2a 2b 几 何 性 质 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈ a，b，c 的关系 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ ； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝ ； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 (1，＋∞) c2＝a2＋b2 【必记结论】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为，双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a，双曲线的焦点在y轴上时也成立． 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. 4．设P是双曲线上异于顶点的任一点，F1，F2为其焦点，即∠F1PF2＝θ，则 (1)|PF1||PF2|＝； (2)焦点三角形的面积＝c|yp|＝. 5．与双曲线＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为＝t(t≠0)． 6．若渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)． 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　 ) (2)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．(　　 ) (3)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　 ) (4)双曲线方程＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　 ) × × × √ 2．双曲线－x2＝1的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，a＝＝2，所以离心率为. 3．已知k∈R，则“－2<k<3”是“方程＝1表示双曲线”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.若方程＝1表示双曲线， 则(2－k)(2＋k)>0，即－2<k<2， 由－2<k<2能推出－2<k<3，必要性成立， 由－2<k<3不能推出－2<k<2，充分性不成立， 故“－2<k<3”是“方程＝1表示双曲线”的必要不充分条件． 4．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为_________． 解析：由双曲线方程＝1可得其焦点在x轴上，因为其一条渐近线为y＝x，所以. 答案： 5．与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝的双曲线方程为__________． 解析：由＝1可得焦点坐标为(0，－5)，(0，5)， 由题意设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，则解得 所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以双曲线方程为＝1. 答案：＝1 题型一　双曲线的定义及其应用 【例1】　(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 解析：选B.如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1， 且N为MF1的中点． 又O为F1F2的中点， ∴|MF2|＝2. ∵点F1关于点N的对称点为M， 线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P， 由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|， ∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|， ∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线． (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________． 解析：∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|＝4， 则cos ∠F1PF2＝＝. 答案： [变式1]　本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？ 解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴·sin 60°＝2. [变式2]　本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2 的面积是多少？ 解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2 |＝2a＝2， ∵＝0，∴⊥， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴＝2. 思维升华　双曲线定义的应用策略 (1)利用双曲线的定义可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． (3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置． 【对点练习】　1.(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　 ) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 解析：选C.设动圆M的半径为r， 由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切， 得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0) 和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支， 且2a＝2，解得a＝1， 又c＝3，则b2＝c2－a2＝8， 所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． (2)(2024·济南模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为若的最小值为4，则△ABF2周长的最小值为(　　 ) A．8 B．12 C．16 D．24 解析：选C.因为双曲线的离心率为， 所以e2＝1＋＝2，得a＝b. 当弦AB与实轴垂直时，|AB|的值最小， 所以＝4，所以a＝b＝2. 由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋4a＝|AB|＋4a， 所以△ABF2的周长为2|AB|＋4a， 因为a＝2，|AB|的最小值为4， 所以△ABF2周长的最小值为2×4＋4×2＝16. 题型二　双曲线的标准方程 【例2】　(1)已知双曲线的离心率e＝，且该双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________． 解析：由题意，知e＝，解得a＝2b， 当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)， ∵点在该双曲线上，∴＝1， 即＝1，此方程无解； 当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)， ∵点在该双曲线上，∴＝1， 即＝1，解得b＝1，∴a＝2， ∴该双曲线的标准方程为－x2＝1. 答案：－x2＝1 (2)经过点P，Q的双曲线的标准方程为________． 解析：设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为＝1. 答案：＝1 (3)(2024·南通质检)若双曲线经过点，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________． 解析：法一　由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上， 则可设＝1(a>0，b>0)， 则＝1且＝2， 联立解得a＝，b＝1， 则双曲线的方程为4x2－y2＝1； ②若双曲线的焦点在y轴上， 则可设＝1(a>0，b>0)， 则＝1，且＝2，此时无解， 综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1. 法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)， ∵双曲线经过点， ∴λ＝4×12－2＝1， ∴双曲线的方程为4x2－y2＝1. 答案：4x2－y2＝1 【对点练习】　2.(1)(2023·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：选D.不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)， 与y＝x联立并解得即P. 因为直线PF2与渐近线y＝x垂直， 所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离， 由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝b，所以b＝2. 因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为， 所以，化简得， 又b＝2，c2＝a2＋b2， 所以，整理得a2－2a＋2＝0， 即2＝0，解得a＝. 所以双曲线的方程为＝1. (2)过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为___________________． 解析：因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4 且＝4， 解得a2＝4，b2＝12， 因此双曲线的标准方程为＝1. 答案：＝1 题型三　双曲线的几何性质 角度1　渐近线、离心率 【例3】　(1)(2025·八省联考)双曲线＝1的渐近线方程为(　　 ) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±3x D．y＝±4x 解析：选C.由双曲线标准方程知，a＝1，b＝3， 所以渐近线为y＝±x＝±3x． (2)(2024·山东威海一模)已知双曲线C：关于原点的对称点为 则C的渐近线方程为(　　 ) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D.如图所示，不妨设M在左支， 设右焦点为F2，连接MF2，NF2，由对称性知四 边形MF1NF2为平行四边形， 由|F1N|＝2|F1M|得|F2M|＝2|F1M|， 由双曲线定义知|F2M|－|F1M|＝2a， 所以|F1M|＝2a，|F2M|＝|F1N|＝4a， 因为∠MF1N＝60°，所以∠F1MF2＝120°， 在△MF1F2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos 120°， 即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×， 整理得c2＝7a2，即a2＋b2＝7a2，所以， 则C的渐近线方程为y＝±x＝±x. (3)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 解析：由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝ ＝13－5＝8，2c＝|F1F2|＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝. 答案： (4)(2022·北京高考)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝__________． 解析：对于双曲线y2＋＝1，所以m<0， 即双曲线的标准方程为y2－＝1， 则a＝1，b＝，又双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝ 所以，即，解得m＝－3. 答案：－3 思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程±. (2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 角度2　与双曲线有关的最值、范围问题 【例4】　(1)(2024·广东揭阳模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A(5，0)的最小距离为(　　 ) A．1 B． C．2 D． 解析：选B.由已知可得－3， 可得c＝，a＝3，b2＝c2－a2＝1， 所以双曲线的方程为－y2＝1， 设P(x，y)是双曲线－y2＝1上的点，则y2＝－1，且x≤－3或x≥3， 则|AP|＝ ， 所以当x＝min＝. (2)(2024·嘉兴测试)已知点M(－5，0)，点P在曲线＝1(x>0)上运动，点Q在曲线C：(x－5)2＋y2＝1上运动，则的最小值是________． 解析：如图，在双曲线＝1中，a＝3，b＝4， c＝＝5， 圆(x－5)2＋y2＝1的圆心为C(5，0)，半径r＝1， 所以双曲线＝1的左、右焦点分别为M，C. 由双曲线的定义可得|PM|＝|PC|＋2a＝|PC|＋6，|PQ|≤|PC|＋1， 所以 ＝＋10＝20， 当且仅当|PC|＝4时，等号成立， 故的最小值是20. 答案：20 【对点练习】　3.(1)(2024·郑州调研)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF，则该双曲线的离心率为________． 解析：如图所示， ∵OQ∥PF， ∴∠AOQ＝∠OFP. 又∵双曲线的渐近线关于y轴对称， ∴∠FOP＝∠AOQ，则∠OFP＝∠FOP， ∴△OPF为等腰三角形， 作PM⊥OF，垂足为M， 过点B作BD⊥x轴，交渐近线第一象限部分于点D， 则Rt△OMP∽Rt△OBD，|OB|＝a，|BD|＝b， |OM|＝＝＝a， |PM|＝， 由相似三角形的性质可得， ∴，整理可得c4＝4a4， ∴离心率e＝. 答案： (2)已知双曲线Γ：－y2＝1(a＞0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2－y1y2＞0成立，则实数a的取值范围是_______． 解析：设O是坐标原点，点P3与点P2关于x轴对称，如图， 则P3(x2，－y2)， ＝x1x2－y1y2＞0， 即＞0恒成立， ∴∠P1OP3恒为锐角，∴∠MON≤90°， ∴双曲线Γ的其中一条渐近线y＝x的斜率≤1， 又a＞0，∴a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞) 【基础巩固题】 1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1或＝1 C．＝1 D．＝1或＝1 解析：选D.设双曲线方程为＝1(m≠0)， ∵2a＝4，∴a2＝4， 当m>0时，2m＝4，m＝2； 当m<0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1. 2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D． 解析：选C.根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上， 可设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 则得所以离心率e＝＝2. 3．若双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为(　　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选D.由题意得a＝＝2， 所以线段F1F2是圆x2＋y2＝4的直径， 因此PF1⊥PF2， 所以 所以|PF1||PF2|＝＝1. 4．(2024·广东梅州一模)由伦敦著名建筑事务所设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方程为y＝±x， 双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°， 根据双曲线两条渐近线对称关系可得y＝x的倾斜角为60°， 则＝tan 60°＝，则b2＝a2，∴c2＝a2＋b2＝a2， 则该双曲线的离心率为e＝. 5．(2024·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：选C.如图，由题可知，点P必落在第四象限， ∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m， ∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2， 求得sin θ1＝， 因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，求得， 即tan θ2＝，得sin θ2＝， 由正弦定理可得：|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90° ＝2∶1∶， 则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m， 由＝m·2m＝8得m＝2， 则|PF2|＝2＝4＝2c＝2， 由双曲线第一定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝2 ， 所以双曲线的方程为＝1. 6．(2024·湖南师大附中模拟)已知双曲线C：＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x， 即bx－2y＝0，又该圆的圆心为(c，0)， 故圆心到渐近线的距离为， 则由题意可得<3，即b2c2<9(b2＋4)， 又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2， 解得c2<13，即c<，则e＝<， 又e>1，故离心率的取值范围是. 7．(多选)已知曲线C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，则(　　 ) A．C1的长轴长为 B．C2的渐近线方程为x±2y＝0 C．C1与C2的离心率互为倒数 D．C1与C2的焦点相同 解析：选BC.曲线C1：5x2＋y2＝5整理得＋x2＝1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中＝1，所以＝4，离心率为e1＝，曲线C1的长轴长2a1＝2，故A错误； 曲线C2：x2－4y2＝4整理得－y2＝1，则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线，其中＝1，所以＝5，离心率为e2＝，C2的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故B正确； e1·e2＝＝1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故C正确； C1的焦点在y轴上，C2的焦点在x轴上，焦点位置不同，故D错误． 8．(多选)(人教A版选择性必修一P127)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是(　　 ) A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0 B．若曲线C表示双曲线，则<α<π C．若0<α<，则曲线C表示椭圆 D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 解析：选BD.若曲线C表示两条平行线， 则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π. 若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1， 可得y＝－1或y＝1，符合题意， 若cos α＝0，则α＝， 此时曲线C的方程为x2＝1， 可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错； 若曲线C表示双曲线，则sin αcos α<0， 由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0， 可得cos α<0，则<α<π，故B对； 若曲线C表示椭圆，则 解得0<α<且α≠，故C错； 若0<α<，则0<sin α<cos α， 则>>0， 曲线C的方程可化为＝1， 此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对． 9．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为____________． 解析：依题意，2c＝10，∴c＝5， 若双曲线的焦点在x轴上，则 解得b2＝5，a2＝20， 双曲线的标准方程为＝1. 若双曲线的焦点在y轴上，则 解得b2＝20，a2＝5， 双曲线的标准方程为＝1. 综上，该双曲线的标准方程为＝1或＝1. 答案：＝1或＝1 10．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为________． 解析：设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 如图，因为AB＝BC＝CD＝2，易知a＝1， 又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分， 所以在双曲线上， 得到＝1，整理得b2＝， 故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 【综合应用题】 11．(2024·广东广州模拟)已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　　 ) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1) C．－x2＝1 D．－x2＝1 解析：选A.因为A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)， 所以|AC|＝＝13，|BC|＝＝15， |AB|＝14，因为A，B都在椭圆上， 所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，即|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14， 故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支， 又2c＝|AB|＝14，2a＝|AF|－|BF|＝2，即c＝7，a＝1，所以b2＝48， 因此F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)． 12．(多选)(2024·南京调研)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是(　　 ) A．＝100 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2 解析：选BCD.由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6， 可得双曲线C的焦点在y轴上， 设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则双曲线C的半焦距c＝10，b＝6， 所以a2＝c2－b2＝100－36＝64， 得双曲线C的标准方程为＝1. 对于A，m＝－，所以＝－36＋64＝28，A错误； 对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B正确； 对于C，双曲线C的离心率e＝，C正确； 对于D，双曲线C上的所有点中，上、下顶点到相应焦点的距离最小， 所以最小值为c－a＝10－8＝2，D正确． 13．(多选)已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　 ) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 解析：选BD.如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|. 设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m. 所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2，解得m＝2＋2， 所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2， 所以△ABF1的面积为＝2＝12＋8， 故D正确； |AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2，故C不正确； 由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋， 所以b2＝2－1＝2＋2，故A不正确； e＝，故B正确． 14．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，b)，直线F1B与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若|F2A|＝|F1F2|，则双曲线的离心率为________． 解析：因为F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)， 所以直线F1B的方程为y＝x＋b， 又双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由解得 所以A， 又因为|F2A|＝|F1F2|， 所以＝4c2， 整理得2c2－4ac＋a2＝0， 即2e2－4e＋1＝0， 解得e＝＋1或e＝1－(舍去)． 答案：＋1 【创新拓展题】 15．(2024·浙江湖州、衢州、丽水二模)人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y＝x＋的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数y＝2x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是(　　 ) A． B． C．10－4 D． 解析：选D.由y＝2x＋的两条渐近线分别为y＝2x，x＝0， 所以该函数对应的双曲线焦点在直线y＝2x，x＝0夹角(锐角)的角平分 线l上， 设l：y＝kx且k>2，若α，β分别是y＝kx，y＝2x的倾斜角， 故tan α＝k，tan β＝2， 故α－β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角， 由tan (α－β)＝tan ＝，即tan (α－β)＝， 整理得k2－4k－1＝0，可得k＝2＋(负值舍去)， 所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C一条渐近线斜率 为－2，故e＝＝ . 16．(2024·山东烟台模拟)圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P的斜率为－2，且F2P和反射光线PE互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为____________． 解析：设双曲线的方程为＝1， 设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，故， 由此x0＝，所以P， 将其代入双曲线方程中得＝1，结合c2＝a2＋b2，k＝±， 所以9k4－32k2－16＝0，解得k2＝4或k2＝－(舍去)，因此k＝±2， 所以渐近线方程为2x＋y＝0和2x－y＝0. 答案：2x＋y＝0和2x－y＝0 $