课下巩固精练卷(68) 双曲线（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(六十八)　双曲线 【基础巩固题】 1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1或＝1 C．＝1 D．＝1或＝1 解析：选D.设双曲线方程为＝1(m≠0)， ∵2a＝4，∴a2＝4， 当m>0时，2m＝4，m＝2； 当m<0时，－m＝4，m＝－4. 故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1. 2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D． 解析：选C.根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，则得所以离心率e＝＝2. 3．若双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2＋y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积为(　　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选D.由题意得a＝＝2， 所以线段F1F2是圆x2＋y2＝4的直径， 因此PF1⊥PF2， 所以 所以|PF1||PF2|＝＝1. 4．(2024·广东梅州一模)由伦敦著名建筑事务所设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方程为y＝±x， 双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°， 根据双曲线两条渐近线对称关系可得y＝x的倾斜角为60°， 则＝tan 60°＝，则b2＝a2，∴c2＝a2＋b2＝a2， 则该双曲线的离心率为e＝. 5．(2024·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：选C. 如图，由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m， ∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝， 因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，求得，即tan θ2＝，得sin θ2＝， 由正弦定理可得：|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶， 则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m， 由＝m·2m＝8得m＝2， 则|PF2|＝2＝4＝2c＝2， 由双曲线第一定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 所以双曲线的方程为＝1. 6．(2024·湖南师大附中模拟)已知双曲线C：＝1(b>0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0， 又该圆的圆心为(c，0)， 故圆心到渐近线的距离为， 则由题意可得<3，即b2c2<9(b2＋4)， 又b2＝c2－a2＝c2－4，则(c2－4)c2<9c2， 解得c2<13，即c<，则e＝<， 又e>1，故离心率的取值范围是. 7．(多选)已知曲线C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，则(　　 ) A．C1的长轴长为 B．C2的渐近线方程为x±2y＝0 C．C1与C2的离心率互为倒数 D．C1与C2的焦点相同 解析：选BC.曲线C1：5x2＋y2＝5整理得＋x2＝1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中＝1，所以＝4，离心率为e1＝，曲线C1的长轴长2a1＝2，故A错误； 曲线C2：x2－4y2＝4整理得－y2＝1，则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线，其中＝1，所以＝5，离心率为e2＝，C2的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故B正确； e1·e2＝＝1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故C正确； C1的焦点在y轴上，C2的焦点在x轴上，焦点位置不同，故D错误． 8．(多选)(人教A版选择性必修一P127)已知曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1(0≤α<π)，则下列说法正确的是(　　 ) A．若曲线C表示两条平行线，则α＝0 B．若曲线C表示双曲线，则<α<π C．若0<α<，则曲线C表示椭圆 D．若0<α<，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 解析：选BD.若曲线C表示两条平行线，则有sin α＝0或cos α＝0，且0≤α<π. 若sin α＝0，则α＝0，此时曲线C的方程为y2＝1，可得y＝－1或y＝1，符合题意， 若cos α＝0，则α＝， 此时曲线C的方程为x2＝1，可得x＝－1或x＝1，符合题意，故A错； 若曲线C表示双曲线，则sin αcos α<0， 由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0， 可得cos α<0，则<α<π，故B对； 若曲线C表示椭圆，则 解得0<α<且α≠，故C错； 若0<α<，则0<sin α<cos α， 则>>0， 曲线C的方程可化为＝1， 此时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，故D对． 9．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为____________． 解析：依题意，2c＝10，∴c＝5， 若双曲线的焦点在x轴上，则 解得b2＝5，a2＝20， 双曲线的标准方程为＝1. 若双曲线的焦点在y轴上，则 解得b2＝20，a2＝5， 双曲线的标准方程为＝1. 综上，该双曲线的标准方程为＝1或＝1. 答案：＝1或＝1 10．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB＝BC＝CD＝2，设AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为________． 解析：设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，如图，因为AB＝BC＝CD＝2， 易知a＝1， 又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上， 得到＝1，整理得b2＝， 故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 【综合应用题】 11．(2024·广东广州模拟)已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为(　　 ) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1) C．－x2＝1 D．－x2＝1 解析：选A.因为A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)， 所以|AC|＝＝13，|BC|＝＝15，|AB|＝14， 因为A，B都在椭圆上， 所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，即|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14， 故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支， 又2c＝|AB|＝14，2a＝|AF|－|BF|＝2，即c＝7，a＝1，所以b2＝48， 因此F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)． 12．(多选)(2024·南京调研)已知双曲线C：mx2＋ny2＝1，其焦点(0，10)到渐近线的距离为6，则下列说法正确的是(　　 ) A．＝100 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2 解析：选BCD.由双曲线C的焦点(0，10)到渐近线的距离为6，可得双曲线C的焦点在y轴上，设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则双曲线C的半焦距c＝10，b＝6， 所以a2＝c2－b2＝100－36＝64， 得双曲线C的标准方程为＝1. 对于A，m＝－，所以＝－36＋64＝28，A错误； 对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B正确； 对于C，双曲线C的离心率e＝，C正确； 对于D，双曲线C上的所有点中，上、下顶点到相应焦点的距离最小，所以最小值为c－a＝10－8＝2，D正确． 13．(多选)已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则(　　 ) A．b＝2＋2 B．双曲线的离心率为＋1 C．双曲线的焦距为2 D．△ABF1的面积为12＋8 解析：选BD.如图所示， 若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|. 设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m. 所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2，解得m＝2＋2， 所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2， 所以△ABF1的面积为＝2＝12＋8，故D正确； |AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2，故C不正确； 由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋， 所以b2＝2－1＝2＋2，故A不正确； e＝，故B正确． 14．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B(0，b)，直线F1B与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，若|F2A|＝|F1F2|，则双曲线的离心率为________． 解析：因为F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)， 所以直线F1B的方程为y＝x＋b， 又双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 由解得 所以A， 又因为|F2A|＝|F1F2|， 所以＝4c2， 整理得2c2－4ac＋a2＝0， 即2e2－4e＋1＝0， 解得e＝＋1或e＝1－(舍去)． 答案：＋1 【创新拓展题】 15．(2024·浙江湖州、衢州、丽水二模)人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y＝x＋的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线．现将函数y＝2x＋的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是(　　 ) A． B． C．10－4 D． 解析：选D.由y＝2x＋的两条渐近线分别为y＝2x，x＝0， 所以该函数对应的双曲线焦点在直线y＝2x，x＝0夹角(锐角)的角平分线l上， 设l：y＝kx且k>2，若α，β分别是y＝kx，y＝2x的倾斜角，故tan α＝k，tan β＝2， 故α－β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角， 由tan (α－β)＝tan ＝，即tan (α－β)＝， 整理得k2－4k－1＝0，可得k＝2＋(负值舍去)， 所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C一条渐近线斜率为－2，故e＝＝ . 16．(2024·山东烟台模拟)圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知入射光线F2P的斜率为－2，且F2P和反射光线PE互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为____________． 解析：设双曲线的方程为＝1， 设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，故， 由此x0＝，所以P， 将其代入双曲线方程中得＝1，结合c2＝a2＋b2，k＝±， 所以9k4－32k2－16＝0，解得k2＝4或k2＝－(舍去)，因此k＝±2， 所以渐近线方程为2x＋y＝0和2x－y＝0. 答案：2x＋y＝0和2x－y＝0 学科网（北京）股份有限公司 $