第八章 第六节 双曲线（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

第六节　双曲线 高三一轮复习讲义　湘教版 第八章　平面解析几何 课程标准 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 　 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质. 　 3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. 04 03 考教衔接　精研教材 课时测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面上的动点P与平面内的两个定点F1，F2 P点的 轨迹为 双曲线 _______叫作双曲线的焦点 _______叫作双曲线的焦距 ________________=2a 2a<|F1F2| ||PF1|-|PF2|| F1，F2 |F1F2| 微提醒　(1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F2的双曲线的一支；当|PF1|-|PF2|=-2a(2a<|F1F2|)时，点P的轨迹为靠近F1的双曲线的一支. (2)若2a=|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在；若2a=0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 ______________ ______________ 对称性 对称轴：_______ 对称中心：______ 对称轴：_______ 对称中心：______ 顶点 A1 _______，A2 _______ A1 _______，A2 _______ 渐近线 _______ _______ 离心率 e=___，e∈_________ 性质 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|=____； 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=____； a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 a，b，c间的关系 c2=_______ (c>a>0，c>b>0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (-a，0) (a，0) (0，-a) (0，a) y=±x y=±x (1，+∞) 2a 2b a2+b2 常用结论 (1)双曲线方程的常见设法 ①与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ. ②若渐近线的方程为y=±x，则可设双曲线方程为-=λ. (2)双曲线中的常用结论 ①双曲线的焦点到其渐近线的距离为B． ②若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c-A． ③同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. ④若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则=，其中θ为∠F1PF2. 自主检测 1.(多选)下列说法正确的是 A．平面内到点F1(0，4)，F2(0，-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线 B．方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线 C．双曲线-=1(m>0，n>0)的渐近线方程是±=0 D．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 √ √ 2.已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于　.  设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|=4，则||PF1|-|PF2||=2，故|PF2|=6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c-a=-1>2，故|PF2|=6. 6 3.(多空题)双曲线-=1的实轴长为　　，离心率为　　，渐近线方程为 　　　　　.  双曲线-=1中a=5，b2=24，c2=25+24=49，所以实轴长为2a=10，离心率e==，渐近线方程为y=±x. 10 　 y=±x 4.若方程+=1表示双曲线，则实数m的取值范围是　　　　.  因为方程+=1表示双曲线，所以(2+m)(m+1)<0，即-2<m<-1. (-2，-1) 5.(用结论)与双曲线C：-y2=1共渐近线，且经过点的双曲线的 标准方程是　 .  根据题意，设要求的双曲线为-y2=t，由双曲线经过点，得-=t，解得t=2，则要求双曲线的标准方程为-=1. -=1 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　双曲线的定义及应用 师生共研 (1)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x=2上，则顶点C的轨迹方程为 A．-=1(x>2) B．-=1(x>3) C．+=1(0<x<2) D．+=1(0<x<3) √ 典例1 如图，设△ABC与内切圆的切点分别为D，E，F， 则有|AD|=|AE|=5，|BF|=|BE|=1，|CD|=|CF|， 所以|CA|-|CB|=5-1=4.根据双曲线定义，所求轨 迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右 顶点除外)，即c=3，a=2，又c2=a2+b2，所以b2=5，所以顶点C的轨迹方程为-=1(x>2).故选A． (2)已知双曲线C：-=1的左焦点为F1，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为(3，1)，则|MD|-|MF1|的最大值为 A．3 B．1 C．-3 D．-2 √ 由题意知双曲线C的实半轴长a=2，设右焦点为F2(3，0)，所以|MD|-|MF1|=|MD|-(|MF2|+2a) =(|MD|-|MF2|)-2a≤|F2D|-2a=-4=-3，当且仅当M为DF2的延长线与双曲线交点时取等号.故选C． 双曲线定义应用的两个方面 规律方法 对点练1.(1)已知动点M(x，y)满足-=4，则动点M的轨迹是 A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 √ 设F1(-2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|，故动点M的轨迹是射线.故选A． (2)如图，F为双曲线C：-=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7-i(i=1，2，3)关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=　　.  设双曲线的右焦点为F2，因为双曲线C上的点Pi与P7-i关于y轴对称，所以|PiF2|=|P7-iF|，又双曲线的实轴长为2a=2×3=6，根据双曲线的定义可得|P1F|+|P2F| +|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=(|P1F|-|P6F|)+(|P2F|-|P5F|)+(|P3F|-|P4F|)=(|P1F|- |P1F2|)+(|P2F|-|P2F2|)+(|P3F|-|P3F2|)=2a+2a+2a=6a=18. 18 考点二　双曲线的标准方程 多维探究 角度1　定义法 (2024·天津卷)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 A．-=1 B．-=1 C．-=1 D．-=1 √ 典例2 由题意可知，∠F1PF2=90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1= =2，根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a，得|PF1|=4a，|PF2|=2a，=|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2，又=8，所以a2=2，所以|F1F2|2=+|PF2|2=+=20a2=40.又|F1F2|2=4c2，所以c2=10，又a2+b2=c2，所以b2=8，所以双曲线的方程为-=1.故选C． 角度2　待定系数法 (1)(2021·北京卷)双曲线-=1(a>0，b>0)过点()，离心率为2，则双曲线的标准方程为 A．-y2=1 B．x2-=1 C．-=1 D．-=1 √ 设双曲线的半焦距为c，由题意可知则双曲线的标准方程为x2-=1.故选B． 典例3 (2)经过点P(3，2)，Q(-6，7)的双曲线的标准方程为　　　　.  -=1 设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0).所以 -=1. 求双曲线标准方程的常用方法 1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程. 2.待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”.如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为-=λ或mx2-ny2=1(mn>0)，再根据条件求解. 规律方法 对点练2.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线-x2=1有相同渐近线的双 曲线的标准方程是　　　　.  设所求双曲线的标准方程为-x2=-λ(λ>0)，即-=1，则有4λ+λ=25，解得λ=5，所以所求双曲线的标准方程为-=1. -=1 考点三　双曲线的几何性质 多维探究 角度1　渐近线 (1)(2025·河北石家庄质量检测三)已知双曲线C：-=1( )的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为 A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x √ 典例4 设双曲线C：-=1的上焦点为(0，c)，双曲线的渐近线方程为by±ax=0，由点到直线的距离公式可得==b=3，又双曲线C：-=1，所以a=，所以双曲线C的渐近线方程为3y±x=0，即y=±x.故选B． (2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为　　　　　.  e===2，得=，所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x. y=±x 求双曲线渐近线方程的方法 1.求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程. 2.求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程. 3.令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程. 注意：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称. 规律方法 √ 根据焦点坐标可知c=4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则所以离心率e==2.故选C． 角度2　离心率 (1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，-4)，点(-6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 A．4 B．3 C．2 D． 典例5 (2)(2024·九省适应性测试)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|=2|F1A|，·=4a2，则C的离心率为 A． B．2 C． D． √ 由双曲线的对称性可知|F1A|=|F2B|，|F1B|=|F2A|， 四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|=|F2B|=m，则 |F1B|=|F2A|=2m，由双曲线定义可知|F2A|-|F1A|= 2a，故有2m-m=2a，即m=2a，即|F1A|=|F2B|=m=2a， |F1B|=|F2A|=4a， ·=||·||cos∠AF2B=4a×2acos∠AF2B =4a2，则cos∠AF2B=，即∠AF2B=，故∠F2BF1=， 则有cos∠F2BF1== =-，即=-，即-=-，则e2=7，由e>1，故e=.故选D． 求双曲线离心率或其取值范围的方法 1.求a，b，c的值，由==1+直接求e. 2.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2=c2-a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解. 规律方法 对点练3.(1)(多选)(2025·河北张家口模拟)已知双曲线C：+=1 (0<k<1)，则下列结论正确的是 A．双曲线C的焦点在x轴上 B．双曲线C的焦距等于4 C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于 D．双曲线C的离心率的取值范围为 √ √ √ 对于A，因为0<k<1，所以9-k>0，k-1<0，所以双曲线C：-=1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故A正确；对于B，由A知a2=9-k，b2=1-k，所以c2=a2+b2=10-2k，所以c=，所以双曲线C的焦距等于2c=2(0<k<1)，故B错误； 对于C，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为-=1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c，0)，则渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，所以焦点到渐近线的距离d==b，所以双曲线C：-=1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故C正确；对于D，双曲线C的离心率e===，因为0<k<1，所以1<2-<，所以e=∈，故D正确.故选ACD． (2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|= 10，则C的离心率为　.  由|AB|=10及双曲线的对称性得|AF2|==5，因为|AF1|=13，所以2a=|AF1|-|AF2|=13-5=8，2c=|F1F2|===12，所以a=4，c=6，则C的离心率e===. 返回 考教衔接　精研教材 返回 真题再现 (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知曲线C：mx2+ny2=1. A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为 C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±x D．若m=0，n>0，则C是两条直线 √ √ √ 对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为+=1，因为m>n>0，所以0<<，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m=n>0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2+ny2=1可化为+=1，此时曲线C表示双曲线，由mx2+ny2=0可得y=±x，即曲线C的渐近线方程为y=±x，故C正确；对于D，若m=0，n>0，则mx2+ny2=1可化为y=±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确.故选ACD． 返回 教材呈现 (湘教版选择性必修一P171T2)根据下列条件判断方程+=1表示什么曲线. (1)k<4；(2)4<k<9. 点评：该高考题考查圆锥曲线方程的定义，根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断，与教材习题命题角度类似，属于改编题. 课 时 测 评 返回 1.已知离心率为2的双曲线-=1(a>0，b>0)与椭圆+=1有公共焦点，则双曲线的方程为 A．-=1 B．-=1 C．x2-=1 D．-y2=1 √ 由双曲线-=1与椭圆+=1有公共焦点，得c2=a2+b2=8-4=4，又e2===4，所以a2=1，所以b2=3，所以双曲线的方程为x2-=1.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.双曲线-=1(m>0，n>0)的渐近线方程为y=±x，实轴长为2，则m-n= A．-1 B．1- C． D．1- √ 因为双曲线的实轴长为2，所以2=2，所以m=1，又渐近线方程为y=±x，所以=，解得n=2，所以m-n=-1.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为 A． B． C． D． √ 设|PF2|=m，|PF1|=3m，则|F1F2|= =m，所以C的离心率e=====.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.(2025·江苏苏州3月适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x+y+1=0与双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是 A．(0，) B． C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线方 程为y=±x，又l：x+y+1=0与双曲线的两条渐近线 都相交且交点都在y轴左侧，由图知，->-1，即< 1，所以离心率e== =<=，又e>1，所以1<e<.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.(2023·全国甲卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|= A． B． C． D． √ 由e=，则==1+=5，解得=2，又C的一条渐近线与已知圆相交，且此圆在第一象限，所以这一条渐近线方程为y=2x， 则圆心(2，3)到渐近线的距离d==， 所以弦长|AB|=2=2=.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.(多选)双曲线C：-=1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是 A．双曲线C的离心率为 B．双曲线-=1与双曲线C的渐近线相同 C．若PO⊥PF，则△PFO的面积为 D．|PF|的最小值为2 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为a=2，b=，所以c==，所以e==，故A正确；双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，双曲线C的渐近线方程为y=±x，故B正确；因为PO⊥PF，点F(，0)到渐近线x-2y=0的距离d==，所以|PF|=，所以|PO|==2，所以△PFO的面积为××2=，故C正确；|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，即|PF|min=，故D不正确.故选ABC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.(多选)已知F1，F2是双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，|PM|= |MF1|，下列判断正确的是 A．∠PF2F1=60° B．|MF2|=|PF1| C．E的离心率等于 D．E的渐近线方程为y=±x √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 如图所示，因为|PM|=|MF1|，即M为PF1的中点，O 为F1F2的中点，所以OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以 PF2⊥F1F2，所以∠PF2F1=90°，|MF2|=|PF1|，故A 错误，B正确；由PF2⊥F1F2知，|PF2|=，又|F1F2|= 2c，∠PF1F2=30°，所以=2c，即=2ac，所以e2-2e-=0，解得e=(负值舍去)，故C正确；因为e==，所以c2=3a2，所以b2=c2-a2=2a2，所以=，所以E的渐近线方程为y=±x，故D正确.故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(2024·河南三门峡模拟)若F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|=4，△ABF2的周长是20，则m=　　.  由题意得m>0，根据双曲线定义得|AF2|-|AF1|=2a=2，|BF2|-|BF1|=2a=2，上述两式相加得(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|)= 4，|AF2|+|BF2|-|AB|=4，即|AF2|+|BF2|-4=4，所以|AF2| +|BF2|=4+4，所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4+ 4+4=20，解得m=9. 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(10分)已知双曲线C：x2-=1(b>0). (1)若双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，求双曲线C的标准方程；(4分) 解：因为双曲线C：x2-=1(b>0)的渐近线方程为y=±bx，而它的一条渐近线方程为y=2x， 所以b=2， 所以双曲线C的标准方程为x2-=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥ PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值.(6分) 解：因为PF1⊥PF2， 所以=|PF1|·|PF2|， 因为△PF1F2的面积为9， 所以|PF1|·|PF2|=18， 又因为||PF1|-|PF2||=2a=2， 所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4，所以|PF1|2+|PF2|2=40， 又因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2， 所以c2=10， 由a2+b2=c2，得1+b2=10，所以b=3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的标准方程；(4分) 解：因为双曲线的渐近线方程为y=±x，又双曲线的一条渐近线方程为y=x，所以=1，即a=b， 所以c2=a2+b2=2a2=4，所以a2=b2=2， 所以双曲线的标准方程为-=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为-，求双曲线的离心率.(6分) 解：设点A的坐标为(x0，y0)， 所以直线AO的斜率满足·(-)=-1， 所以x0=y0， ① 依题意，A点满足+=c2，将①代入得3+=c2， 即y0=c，所以x0=c， 所以点A的坐标为， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 代入双曲线方程得-=1， 即b2c2-a2c2=a2b2. ② 又因为a2+b2=c2，所以将b2=c2-a2代入②式， 整理得c4-2a2c2+a4=0， 所以3-8+4=0，所以(3e2-2)(e2-2)=0. 因为e>1，所以e=，所以双曲线的离心率为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.(多选)在△ABC中，|AB|=4，M为AB的中点，且||CA|-|CB||=|CM|，则下列说法中正确的是 A．动点C的轨迹是双曲线 B．动点C的纵坐标的最大值为 C．△ABC是钝角三角形 D．△ABC面积的最大值为2 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 以M为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略).设|CM|=r，此时点C在以M为圆心，r为半径的动圆上.由||CA|-|CB||=r知，点C在以A，B为焦点，a=-=1上且a2+b2==4.设点C(x，y)，则x2+y2=r2，-=1，从而y2=r2，当r2=8时，y2最大，故|y|≤，S△ABC≤2，故B、D正确；当r=2时，|MA|=|MB|=|MC|，∠ACB=90°，故此时△ABC为直角三角形，故C错误；因为||CA|-|CB||不是定值，所以动点C的轨迹不是双曲线，故A错误.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(2023·天津卷)双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|=2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为 A．-=1 B．-=1 C．-=1 D．-=1 √ 如图，因为F2(c，0)，不妨设渐近线方程为y=x， 即bx-ay=0，所以|PF2|===b，所以b=2. 设∠POF2=θ，则tan θ===，所以|OP|=a， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 在△OPF2中，ab=c·yP，所以yP=，所以tan θ= ==，所以xP=，所以P，因为F1(-c， 0)，所以== ===，所以 (a2+2)=4a，解得a=，所以双曲线的方程为-=1.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y 轴上，⊥=-，则C的离 心率为　　.  2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 法一：由题意，设|AF2|=2m，则|BF2|=3m=|BF1|， |AF1|=2a+2m，|AB|=5m，在Rt△ABF1中，9m2+(2a +2m)2=25m2，则(a+3m)(a-m)=0，故a=m或a=-3m(舍 去)， 所以|AF1|=4a，|AF2|=2a，|BF2|=|BF1|=3a，则 |AB|=5a，故cos∠F1AF2===，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2==，整理得5c2=9a2，即=，故e==. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 法二：由题意，得F1(-c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为=-，所以(x0-c，y0)=-(-c，t)，则x0=c，y0=-t，又⊥，所以·=·(c，t)=c2-t2=0，则t2=4c2，又点A在C上，则-=1，即-=1，则-=1，所以25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2)，整理得25c4-50a2c2+9a4=0，则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0，解得5c2=9a2或5c2=a2，又e>1，所以e=或e=(舍去)，故e=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(2025·山东临沂模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P|=|OP|，则C的渐近线方程为　　　　　.  如图所示，由题意得，|F1O|=|OP|=c，|F1P|=|OP| =c，所以在△POF1中，由余弦定理可得cos∠POF1= ==-，所以∠POF1=， 则∠POF2=，所以tan∠POF2=tan=，则渐近线方程为y=±x. y=±x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(新角度)如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为 A．2π B．3π C．2π D．4π √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 该金杯主体部分的上口外直径为，下 底座外直径为，且杯身最细之处到上 杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设 M，N，代入双曲线方程可得-=1，-=1，即-=-=1，作差可得=，解得a2=3，a=，所以杯身最细之处的周长为2π.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(2025·江西重点中学协作体第一次联考)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点M为F1关于渐近线的对称点.若=2，且△MF1F2的面积为8，则C的方程为 A．x2-=1 B．-y2=1 C．-=1 D．-=1 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 记F1M与渐近线bx+ay=0相交于点N，如图，由题可 知，ON为△MF1F2的中位线，且ON⊥F1M，所以 F2M⊥F1M，因为焦点F1到渐近线bx+ay=0 的距离==b，所以=2b，= 2=2=2a，则==2ab=8，又=2，即b=2a，联立解得a2=2，b2=8，所以C的方程为-=1.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 双曲线 $