8.5 椭圆（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦椭圆专题，严格依据课标要求覆盖定义、标准方程、几何性质及应用等核心考点。通过梳理近五年高考真题，明确离心率计算占30%、焦点三角形问题占25%的高频考点分布，构建“定义-方程-性质-应用”完整知识链，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题母题+变式训练+思维建模”策略，如以2021全国乙卷离心率题为例，用数学思维推导a,b,c齐次式关系，规范数学语言表达步骤。特设焦点三角形面积公式应用专题，通过余弦定理与椭圆定义结合的“三步法”，帮助学生掌握得分技巧。教师可据此精准突破高频考点，助力学生高效冲刺高考。

正禾一本通 高三一轮总复习 高效讲义 数 学 （2026版） 第八章 直线和圆、圆锥曲线 01 [课标要求] 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．　 2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．　 3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．　 4.了解椭圆的简单应用． 8．5　椭圆 01 03 02 题型一 题型三 题型二 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(六十七) 目 录 目 录 模板来自于：第一PPT https:/// 4 夯基·主干知识巩固牢 研析·核心题型探究透 课下巩固精练卷(六十七) 椭圆 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 感谢观看 |MF1|＋|MF2|＝2a ＞ ＝ ＜ 【必备知识】 1．椭圆的定义 把平面内与两定点F1，F2的距离的 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ． 其数学表达式：集合P＝{M| }，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a |F1F2|时，M点的轨迹是椭圆； (2)当2a |F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2； (3)当2a |F1F2|时，M点不存在． 和 焦点 焦距 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 a2＝b2＋c2 几 何 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴长|A1A2|＝ ；短轴长|B1B2|＝ 焦距 |F1F2|＝ 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 2a 2b 2c 【必记结论】 (1)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝；最长的焦点弦是长轴． (2)与椭圆 ＝1(a>b>0)有共同焦点的椭圆方程为 (3)椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. ①当P为短轴端点时，θ最大最大． ②sin θ＝＝c|y0|. ③|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. ④|PF1|·|PF2|≤＝a2. ⑤4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．(　　 ) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　 ) (3)＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　 ) (4)椭圆＝1(a>b>0)与椭圆＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　 ) × × × √ 2．若椭圆＋y2＝1上一点A到焦点F1的距离为2，则点A到另一焦点F2的距离为(　　 ) A．1 B．3 C．4 D．2 解析：选C.由椭圆方程知a＝3，根据椭圆的定义有|AF1|＋|AF2|＝2a，因为|AF1|＝2，所以|AF2|＝2a－|AF1|＝6－2＝4. 3．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　 ) A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 解析：选D.把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1， 所以a＝， 则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝. 4．已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为____________． 解析：因为|BF1|＝|BF2|＝a，|F1F2|＝2c， 所以依据题意可知a＝2c，从而离心率e＝. 答案： 5．已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，则它的标准方程是____________． 解析：由于椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知c＝2，2a＝ ，所以a＝， 所以b2＝a2－c2＝10－4＝6， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 答案： 题型一　椭圆的定义及其应用 【例1】　(1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 解析：选B.法一　因为＝0，所以∠F1PF2＝90°， 从而＝b2tan 45°＝1＝＝2. 法二　因为＝0，所以∠F1PF2＝90°， 由椭圆方程可知c2＝5－1＝4⇒c＝2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝42＝16，又|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 ＝16＋2|PF1||PF2|＝20， 所以|PF1|·|PF2|＝2. [变式]　若将本例中的“＝0”变为“∠F1PF2＝60°”，求|PF1|·|PF2|及OP的值． 解：由椭圆方程知c2＝5－1＝4，即c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， 即16＝20－3|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝. 因为， 所以2 ＝ ＝－] ＝. 所以PO＝. 综上可知，和. (2)(2024·山东潍坊模拟)如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成．已知A，C可在带滑槽的直杆l上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子(可在带滑槽的直杆上滑动)．若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为_______． 解析：如图，连接BD，PB，BH， 因为ABCD为菱形，则AC为线段BD的垂直 平分线，故|PB|＝|PD|， 所以|PH|＋|PB|＝|PH|＋|PD|＝|DH|＝4>|BH|， 故点P的轨迹为以B，H为焦点的椭圆， 可得2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1， 所以|PB|的最大值为a＋c＝3. 答案：3 思维升华　椭圆定义的应用 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆． (2)当点P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可建立|PF1|＋|PF2|＝2a与|PF1|·|PF2|的联系，通过整体代入可求其面积等． 【对点练习】　1.(1)(2024·郑州模拟)若F为椭圆C：＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为________． 解析：如图，设F1为椭圆C的左焦点， 则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB| ＝2a－|AF1|＋(2a－|BF1|)＋|AB| ＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|， 当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0， 当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0， 所以△ABF周长的最大值为20. 答案：20 (2)(2024·哈尔滨模拟)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)． 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C. 现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则|OM|的最小值为________． 解析：如图，设点F关于折痕的对称点为点A， 由对称性可知|MF|＝|MA|，且A，M，E三点共线， 以FE所在直线为x轴，EF的中点 O为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 所以|ME|＋|MF|＝|EA|＝4>|EF|＝2， 所以曲线C是以F，E为焦点，长轴长为4， 焦距为2的椭圆， 则可得a＝2，c＝1，则b＝， 所以曲线C的方程为＝1， 设点M(x0，y0)，则＝1， 所以且－2≤x0≤2， 所以|OM|＝， 当且仅当x0＝0时，等号成立，故. 答案： 题型二　椭圆的标准方程 ·教考衔接· 链接高考·【例2】　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0) 　B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) 　D．＝1(y>0) 解析：选A.设M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，因为点P在曲线C上，所以2＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，所以线段PP′的中点M的轨迹方程为＝1(y>0)． 教材溯源·(人教A版选择性必修一P108例2)如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合．) 解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)， 则点D的坐标为(x0，0)． 由点M是线段PD的中点，得x＝x0，y＝. 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以＝4　①. 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4， 即＋y2＝1. 所以点M的轨迹是椭圆． 【例2】　(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　 ) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 解析：选D.设圆M的半径为r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 因为2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b2＝a2－c2＝48， 故所求的轨迹方程为＝1. (3)(人教A版选择性必修一P54)求满足下列各条件的椭圆的标准方程： ①经过点P，Q两点； ②与椭圆＝1有相同离心率，且经过点. 解：①设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 则有解得 则所求椭圆的标准方程为＝1. ②椭圆＝1的离心率是e＝， 当焦点在x轴上时， 设所求椭圆的方程是＝1(a＞b＞0)， ∴解得 ∴所求椭圆方程为＝1. 当焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)， ∴∴ ∴椭圆的标准方程为＝1， 综上，所求椭圆标准方程为＝1或＝1. 思维升华　求椭圆方程的方法与步骤 1．定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置求解． 2．待定系数法：(1)根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能； (2)设椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)； (3)根据已知条件，建立关于a，b的方程组； (4)解方程组求出a，b，即可得到椭圆方程． 3．相关点法(代入法)： (1)设所求轨迹的点M(x，y)，曲线上的动点Q(x0，y0)； (2)找出M(x，y)与Q(x0，y0)的关系，由x，y表示x0，y0，即 (3)Q(x0，y0)满足已知的曲线方程，将x0，y0代入，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍． 【对点练习】　2.过点，且与椭圆＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为______________． 解析：法一(定义法)　椭圆＝1的两个焦点分别为(0，－4)， (0，4)，即c＝4. 由椭圆的定义，知2a＝ ，得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4， 所以所求椭圆的标准方程为＝1. 法二(待定系数法)设所求椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)， 由题意得c2＝25－9＝16，即a2－b2＝16　①. 又点在所求椭圆上， ∴＝1，即＝1　②. 由①②得a2＝20，b2＝4， ∴所求椭圆的标准方程为＝1. 法三(待定系数法)　由题意可设所求椭圆方程为＝1(k＜9)． ∵点在所求椭圆上， ∴＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)， ∴所求椭圆的标准方程为＝1. 答案：＝1 题型三　椭圆的几何性质 角度1　椭圆的离心率 【例3】　(1)(2024·江苏泰州模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线与C交于点A，与y轴交于点B，，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.设|F2A|＝m，因为， 所以|BF2|＝4m，AB＝5m， 由对称性可得|F1B|＝4m，又＝0， 所以F1A⊥F1B， 所以|F1A|＝＝3m，cos ∠F1BA＝， 又|F1A|＋|F2A|＝2a，所以4m＝2a，|F1B|＝|BF2|＝2a，又|F1F2|＝2c， 所以由余弦定理cos ∠F1BA＝， 所以2a2＝5c2，C的离心率e＝. (2)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C.设P(x0，y0)，由B(0，b)，因为＝1，a2＝b2＋c2， 所以|PB|2＝＋(y0－b)2＝a2＋(y0－b)2 ＝－2＋＋a2＋b2， 因为－b≤y0≤b，对称轴y0＝－<0， 当－≤－b，即b2≥c2时， 令y0＝2，即|PB|max＝2b，符合题意， 由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤； 当－>－b，即b2<c2时，令y0＝＋b2， 即＋a2＋b2≤4b2，化简得，(c2－b2)2≤0，显然该不等式不成立． 综上，C的离心率的取值范围是. 思维升华　求椭圆离心率(或范围)的两种常用方法 方法1：求出a，c，代入公式e＝； 方法2：根据条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2，转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可． 角度2　与椭圆几何性质有关的最值、范围问题 【例4】　(1)设A，B是椭圆C: ＋ ＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　 ) A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，3]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞) 解析：选A.法一　设椭圆的焦点在x轴上， 则0<m<3，不妨设A，B，M(x，y)． 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N(图略)，则N(x，0)． 故tan ∠AMB＝tan (∠AMN＋∠BMN)＝. 又tan ∠AMB＝tan 120°＝－ ，且由 ＋ ＝1， 可得x2＝3－ ，则 ＝－ ＝. 又0<|y|≤，即0< ≤，结合0<m<3，解得0<m≤1. 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞)． 法二　当0<m<3时，焦点在x轴上， 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则 ≥tan 60°＝，即 ≥，解得0<m≤1. 当m>3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则 ≥tan 60°＝，即 ≥，解得m≥9， 故m的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞)． (2)(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　 ) A．的最大值为4 B． C．不存在点P使PF1⊥PF2 D． 解析：选AB.依题意知，a＝4，b＝2，c＝2， 当P为短轴顶点时max＝，故A正确； 由椭圆的性质知 ，故B正确； 对于C，sin ∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝， 即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2， 故C错误； 对于D，设P(x0，y0)，所以|PB|＝，又＝1， 所以＝ ， 又－2≤y0≤2，故当y0＝－max＝，故D错误． 思维升华　与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略 策略1：利用椭圆的几何意义，尤其是椭圆的性质． 策略2：利用函数，尤其是二次函数． 策略3：利用不等式，尤其是基本不等式． 策略4：利用一元二次方程的判别式． 【对点练习】　3.(1)(2024·广东汕头模拟)已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得，则椭圆离心率的取值范围是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由，得 ＝， 又<a＋c， ∴a2－c2<2ac<(a＋c)2，即e2＋2e－1>0， 又e∈(0，1)，∴e∈. (2)已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为(　　 ) A．[－16，0] B．[－8，0] C．[0，8] D．[0，16] 解析：选D.方法一　由题意知A(－4，0)，F(2，0)，设M(x0，y0)， 则＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(x0－2)(x0＋4)＋ (x0＋4)2， 因为＝1，所以≤1， 所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16. 方法二　由题意知A(－4，0)，F(2，0)， 设M(x0，y0)，取线段AF的中点N， 则N(－1，0)，连接MN，如图， 则 －9＝(x0＋1)2＋ (x0＋4)2， 因为＝1，所以≤1， 所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16. (3)(2024·山东泰安模拟)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左，右焦点，M，N是C上两点，且＝0，则C的离心率为______． 解析：如图，连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n， |MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n， 在Rt△MNF2中，|MN|2＋|MF2|2＝|NF2|2， 即(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2， ∴12n2＝4an，n＝＝＝， 在Rt△MF1F2中，|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即4c2＝， ∴9c2＝5a2，e2＝，又∵e∈(0，1)，∴e＝. 答案： 【基础巩固题】 1．(2024·福建泉州二模)若椭圆＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　 ) A． B． C．2或 D．2或 解析：选D.若椭圆的焦点在x轴，则离心率e＝， 得a2＝6，此时焦距2c＝2； 若椭圆的焦点在y轴，则离心率e＝，得a2＝， 此时焦距2c＝2， 所以该椭圆的焦距为2或. 2．若方程(m＋1)x2＋(1－m)y2＝1－m2表示焦点在x轴上的椭圆，则(　　 ) A．－1<m<1 B．0<m<1 C．－1<m<0 D．－1<m<0或0<m<1 解析：选C.方程(m＋1)x2＋(1－m)y2＝1－m2可化为：＝1， 因为方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆， 所以解得－1<m<0. 3．(2024·湖南郴州模拟)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　 ) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：选C.设椭圆＝1的半短轴长为b，半焦距为c， 则b＝，△AF1F2的面积S＝·b＝c， 由题知，所以c＝1，a＝＝2， 由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2， 所以△AF1F2的周长为4＋2＝6. 4．(2024·山东泰安模拟)已知点M在椭圆C：x2＋＝1上，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则|MF1|2＋|MF2|2的最小值为(　　 ) A．9 B．12 C．16 D．18 解析：选D.由题知，a2＝9，b2＝1，即a＝3，b＝1， 则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， 因为|MF1|＋|MF2|≥2＝|MF2|时， 等号成立)， 所以|MF1|·|MF2|≤9， 所以|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|≥62－2×9＝18 (当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)． 5．魏晋时期数学家刘徽(图(1))为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图(2))，两圆柱公共部分形成的几何体(如图(3))即得一个“牟合方盖”，图(4)是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上)． 由“牟合方盖”产生的过程可知，图(4)中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.如图，连接AC，BD交于点O，连接PO， 由“牟合方盖”产生的过程可知， 图中的曲线PBQD所对应的椭圆的长轴长 2a＝|BD|＝2， 短轴长2b＝|PQ|＝2， 于是可得此椭圆的半焦距c＝＝1， 因此离心率e＝. 6．(2024·贵州黔南二模)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2＋y2＝b2的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.由题意可知：圆x2＋y2＝b2的圆心为点O，半径为b，c>b， 设椭圆E的右焦点为F2，连接AF2， 因为 ＝2|OQ|＝2b， 由椭圆定义可知：|AF|＝2a－|AF2|＝2a－2b， 因为Q为切点，可知OQ⊥AF，则AF2⊥AF，可得|AF2|2＋|AF|2＝|F2F|2， 即4b2＋(2a－2b)2＝4c2＝4(a2－b2)，解得2a＝3b，即， 所以椭圆E的离心率e＝. 7．(多选)已知曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则(　　 ) A．<m<1 B．C的离心率为 C．C的短轴长的取值范围是 D．m的值越小，C的焦距越大 解析：选AC.曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆， 则曲线C的标准方程为＝1，其中a2＝， 因为C的焦点在y轴上，所以>>0，即<m<1，故A正确； C的离心率为e＝，故B错误； C的短轴长2b＝2，当<m<1时，2<2b<故C正确； C的焦距2c＝2，当m＝时，2c＝； 当m＝时，2c＝>，故D错误． 8．(多选)已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有(　　 ) A．△PF1F2的周长为4＋2 B．当∠PF1F2＝90°时，|PF1|＝2 C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为 D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形 解析：选AD.由椭圆的方程可得，a＝2，b＝＝2a＋2c＝4＋2，故A正确； 当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，令x＝－，可得y＝±1，所以|PF1|＝1，故B不正确； 当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2·tan 30°＝2×，故C不正确； 当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝2，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形， 当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形， 同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故D正确． 9．椭圆＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝，则m＝________． 解析：在椭圆＝1(m>0)中，a＝，b＝m，c＝1. 如图，易知|AF1|＝|AF2|＝a. 又∠F1AF2＝ ＝＝2，即m＝. 答案： 10．(2024·安徽阜阳模拟)设椭圆C：＝1的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么△ABF的周长的取值范围为____________． 解析：△ABF的周长C△ABF＝|AB|＋|AF|＋|BF|， 又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点， 所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为F′，则|BF|＝|AF′|， 所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝4， 又因为A，B，F三点不共线，所以2≤|AB|<4， 所以△ABF的周长的取值范围为. 答案： 【综合应用题】 11．(2023·全国甲卷)已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由题意，不妨设F1，F2分别为左、右 两焦点，|PF1|>|PF2|. 在椭圆C：＝1中，a＝ ， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，即|PF2|＝6－|PF1|. 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝2，cos ∠F1PF2＝， 由余弦定理得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2， 解得|PF1|＝3＋＝6－|PF1|＝3－. ∵， ∴＝＝ ＝， ∴|PO|＝. 12．(2024·江苏模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，AB为过点F1的弦，M为AF1的中点，3，AB⊥MF2，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.设|AF1|＝4x，因为3，M为AF1的中点， 所以|BF1|＝3x，|MF1|＝2x， 由椭圆定义可得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a， 所以|AF2|＝2a－4x，|BF2|＝2a－3x， 又因为AB⊥MF2，M为AF1的中点， 所以|MF2|2＝|F1F2|2－|F1M|2＝|BF2|2－|BM|2，|AF2|＝|F1F2|， 设椭圆的半焦距为c， 所以4c2－4x2＝(2a－3x)2－25x2，2a－4x＝2c， 所以c2＝a2－3ax－3x2，x＝， 所以(c－a)(c＋a)＋3a×＋32＝0， 所以4c＋4a－6a＋3c－3a＝0， 所以5a＝7c， 所以椭圆C的离心率e＝. 13．(多选)(2024·河北保定一模)椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为＝1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为(　　 ) A．2 B．8 C．10 D．12 解析：选ACD.设椭圆左焦点为F1，右焦点为F2， 左顶点为A1，右顶点为A2. 由已知可得，a＝3，c2＝a2－b2＝4，所以c＝2. ①当光线从F1出发，沿F1A1方向传播，到达A1后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿A1F1方向传播，第一次经过F1，此时所经过的路程为2|A1F1|＝2(a－c)＝2，故A项正确； ②当光线从F1出发，沿F1A2方向传播，到达A2后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿A2F2方向传播，过点F2后继续传播，第一次经过F1，此时所经过的路程为2|A2F1|＝2(a＋c)＝10，故C项正确； ③当光线从F1出发后，不沿x轴传播，如图2. 光线开始沿F1P传播，到达P点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿PF2方向传播，过点F2后，继续传播到达Q点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿QF1方向传播，第一次经过F1，此时所经过的路程为|PF1|＋|PF2|＋|QF2|＋|QF1|. 根据椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|QF1|＋|QF2|＝2a＝6， 所以|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝12，故D项正确． 14．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为F1，F2，在椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，设△PF1F2的内切圆半径为r，则r的值为________． 解析：因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以a＝2，c＝1， 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝4， 所以sin 60°＝， 即r×(4＋2)，解得r＝. 答案： 15．(2024·呼和浩特模拟)已知点P是椭圆＝1上异于顶点的动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且＝0，则的取值范围是________． 解析：如图，延长PF2，F1M相交于点N，连接OM， 因为＝0，则⊥，即F1M⊥MP， 因为PM为∠F1PF2的平分线， 所以|PN|＝|PF1|，则点M为F1N的中点， 因为O为F1F2的中点， 所以|OM|＝＝＝， 设点P(x0，y0)，由已知可得a＝8，b＝4＝4， 则－8<x0<8且x0≠0，且有， |PF1|＝ ＝ ＝x0， 故|PF2|＝16－|PF1|＝8－x0， 所以|OM|＝＝∈(0，4)． 答案：(0，4) 【创新拓展题】 16．(多选)我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球的球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，随后，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则(　　 ) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2 D．a2c1<a1c2 解析：选BC.由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2， ∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误； 由|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正确； 轨道Ⅱ的短轴长2b2＝2 ，故C正确； 由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1， 两边平方得＋2a2c1， 即＋2a2c1， 由于b1>b2>0，故， ∴a1c2<a2c1，故D错误． $