小测卷(31) 椭圆（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(三十一)　椭圆 一、单选题 1．在椭圆C1：＝1与椭圆C2：＝1中，下列结论正确的是(　　 ) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 2．已知椭圆＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，I为△PF1F2的内心，记△PF1F2，△IF1F2的面积分别为S1，S2且满足3S2＝S1，则椭圆的离心率是(　　) A． B． C． D． 3．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交C于P，Q两点，直线F1Q交y轴于点M，若PM⊥F1Q，|PF1|＝|PQ|＝2，则椭圆C的焦距为(　　) A． B． C． D． 4．如图，神舟十二号的飞行轨道是以地球球心为左焦点的椭圆(图中虚线)，我们把飞行轨道上的点与地球表面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为R，若神舟十二号飞行轨道的近地距离是，远地距离是，则神舟十二号的飞行轨道的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 5．已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是(　　) A．△MF1F2的周长为6 B．△MF1F2的面积为 C．△MF1F2的内切圆的半径为 D．△MF1F2的外接圆的直径为 6．已知点P是椭圆＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且，则△PF1F2的面积为(　　) A．6 B．12 C． D．2 7．椭圆：＝1(a>b>0)有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点P反射后，经过另一个焦点．已知椭圆的焦距为2，且＝4，当sin ∠F1PF2＝时，椭圆的中心O到与椭圆切于点P的切线的距离为(　　 ) A．1 B． C． D．或 8．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝24，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则3e1e2的取值范围是(　　) A． B．(1，＋∞) C． D． 二、多选题 9．设F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P(x0，y0)为C上一点且在第一象限，I(x1，y1)为△F1PF2的内心，且△F1PF2内切圆半径为1，则(　　) A．|IP|＝ B．x0＝ C．x1＝2 D． 10．如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则(　　 ) A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是＝1 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2 11．已知椭圆C：＝1(b>0)，F1，F2分别为其左、右焦点，椭圆C的离心率为e，点M在椭圆上，点N在椭圆内部，则以下说法正确的是(　　) A．离心率e的取值范围为 B．不存在点M，使得＝0 C．当e＝时， D．的最小值为1 12．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3，0)，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y＝t(t>0)与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是(　　 ) A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是 C．△ABF面积的最大值是 D．△OAB的周长存在最大值 三、填空题 13．点P在焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)的椭圆C上，PF1交y轴于点Q，且△PQF2为正三角形，若＝1，则椭圆C的标准方程为________． 14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为c.若直线l与直线PF的斜率之积等于－，则C的离心率为______． 15．如图，已知F1，F2是椭圆C：＝1(a>b>0)的焦点，M、N为椭圆上两点，满足F1M∥F2N，且F2N∶F2M∶F1M＝1∶2∶4，则∠F1MF2的余弦值为________． 16．以P为圆心的动圆与圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)均相切，若点P的轨迹为椭圆，则r的取值范围是________． 四、解答题 17．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，F为C的右焦点，过点F作与x轴不重合的直线l，交C于A，B两点，当l与y轴平行时＝3. (1)求C的方程； (2)P为C的左顶点，直线PA，PB分别交直线x＝4于D，E两点，求的值． 18．已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为. (1)求椭圆的离心率； (2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝＝2. (ⅰ)求直线FP的斜率； (ⅱ)求椭圆的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(三十一)　椭圆 1．解析：设椭圆C1的焦距为2c1，椭圆C2的焦距为2c2， 则＝4－m－(3－m)＝1，∴2c1＝2c2. 答案：C 2．解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，内切圆半径为r， ∵3S2＝S1，∴2S2＝S1－S2，即， 所以2×rn，即m＋n＝4c，又m＋n＝2a，∴e＝. 答案：B 3．解析：如图所示，因为PM⊥F1Q且|PF1|＝|PQ|＝2，所以M为F1Q的中点， 又因为O为F1F2的中点，OM⊥x轴，所以PQ⊥x轴， 所以△PF1Q为等边三角形，所以∠PF1F2＝30°，可得|PF1|＝＝2，解得c＝， 所以椭圆C的焦距为2c＝. 答案：A 4．解析：以运行轨道长轴所在直线为x轴，地心F为左焦点建立平面直角坐标系， 设椭圆方程为＝1(a＞b＞0)，其中a2＝b2＋c2， 根据题意有a－c＝R＋R, a＋c＝R＋R， 所以2a＝R, 2c＝R，所以椭圆的离心率e＝. 答案：D 5．解析：由题意知，a＝2，b＝，c＝1， 由椭圆的定义知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2， ∴△MF1F2的周长为|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝4＋2＝6，即A正确； 将M代入椭圆方程得＝1，解得y0＝±， ∴△MF1F2的面积为S＝＝，即B正确； 设△MF1F2的内切圆的半径为r， 则S＝·r，即×6×r，∴r＝，即C正确； 不妨取M＝＝， ∴△MF1F2的面积为S＝sin ∠F1MF2，即sin ∠F1MF2， ∴sin ∠F1MF2＝， 由正弦定理知，△MF1F2的外接圆的直径为，即D错误． 答案：D 6．解析：由椭圆＝1，得a＝5，b＝3，c＝4. 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∴m＋n＝10， 在△PF1F2中，由余弦定理可得(2c)2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2＝(m＋n)2－2mn－2mn·， 可得64＝100－mn，得mn＝， 故mn·sin ∠F1PF2＝× . 答案：C 7．解析：设过P点的切线为l，分别作F1M⊥l、F2N⊥l、OO1⊥l于M、N、O1点， 做PH⊥l交x轴于H点，所得OO1是梯形F1MNF2的中位线， 设∠MF1P＝α，入射角和反射角相等，则∠F1PH＝∠HPF2＝∠PF2N＝α， 则cos α＝a cos α， 因为a＝2，c＝1，当P为上顶点时，∠F1PF2为60°， 因为sin ∠F1PF2＝，所以∠F1PF2＝30°，即2α＝30°，α＝15°， a cos α＝a cos 15°＝a cos (45°－30°)＝2×. 答案：C 8．解析：设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴为a2，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， ∵△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，点P在第一象限内， ∴|PF2|＝|F1F2|，|PF1|>|PF2|，|PF2|＋|F1F2|>|PF1|，即r1＝24，r2＝2c，且r1>r2，2r2>r1， ∴2c<24，4c>24，解得6<c<12. 在双曲线中，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴e2＝； 在椭圆中，|PF1|＋|PF2|＝2a1，∴e1＝； ∴e1e2＝； ∵6<c<12，∴36<c2<144，则1<<4，∴0<－1<3，可得>， ∴3e1e2的取值范围为(1，＋∞)． 答案：B 9．解析：如图所示，设切点为A，B，C， 对于A，由椭圆的方程＝1知：a＝5，b＝4，c＝3， 由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， 易知|AF1|＋|BF2|＝|F1F2|＝6，所以|PA|＝|PB|＝2， 所以|IP|＝，故A正确； 对于·r＝(2a＋2c)·r， 又因为×(10＋6)×1，解得y0＝， 又因为P(x0，y0)为C上一点且在第一象限，所以＝1，解得x0＝，故B正确； 从而|PF1|＝a＋＝|PF1|－|PA|＝3＋， 所以|AF1|＝|CF1|＝3＋＝3，所以I，故C错误； 从而，故D正确． 答案：ABD 10．解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝，得2a＝＝8，解得a＝4，A不正确； 显然b＝2，则c＝，离心率e＝，B正确； 当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＝1，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确． 答案：BCD 11．解析：对于A，由已知可得，<1，所以b2>， 则e＝＝ ＝ <，故A正确； 对于B，由＝0可知，点M为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确； 对于C，由已知e＝，a＝3，所以c＝， 又N＝， 根据椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，所以|MF1|＋|MN|＝6－|MF2|＋|MN|， 由图可知，－|NF2|≤|MN|－|MF2|≤|NF2|， 所以|MF1|＋|MN|＝6－|MF2|＋|MN|≤6＋|NF2|＝， 当且仅当M，N，F2三点共线时，取得等号，故，故C正确； 对于D，因为|MF1|＋|MF2|＝6，所以＝， 当且仅当＝3时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误． 答案：ABC 12．解析：由题意得半圆的方程为x2＋y2＝9(x≤0)， 设半椭圆的方程为＝1(a>b>0，x≥0)，由题意知∴a2＝18， ∴半椭圆的方程为＝1(x≥0)． 对于A，e＝，A正确； 对于B，由图可知，当t→0时，→3＋3；当t→3时，→0， 所以线段AB长度的取值范围是，B错误； 对于C，S△ABF＝×t，设A(x1，t)，则＋t2＝9， ∴x1＝－(0<t<3)，设B(x2，t)，∴＝1， ∴x2＝， ∴， ∴S△ABF＝t＝， 当且仅当t＝时等号成立，C正确； 对于D，△OAB的周长为＝3＋ 所以当t＝0时，△OAB的周长最大，但是t不能取零， 所以△OAB的周长没有最大值，D错误． 答案：AC 13．解析：由已知得，点P在焦点为F1(－c，0)、F2(c，0)的椭圆C上，PF1交y轴于点Q，且△PQF2为正三角形，则＝|QF2|＝， 即OQ为△PF1F2的中位线，＝2， 又∵在等腰△QF1F2中，∠QF2F1＝30°，∴∠PF2F1＝90°，＝4， 由椭圆的定义可知＝6＝2a，即a＝3， 又∵，∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝9－3＝6，则椭圆方程为＝1. 答案：＝1 14．解析：F(－c，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为c， 所以x1＋x2＝， 则kPF＝， 由直线l与C相交于A，B两点，得＝1， 两式相减得＝0，即＝0， 所以，即kl·， 所以kl＝－， 则kl·kPF＝－，所以， 所以离心率e＝. 答案： 15．解析：延长MF1与椭圆交于点L，又F1M∥F2N， ∴根据对称性可知，F1L＝F2N，设F2N＝F1L＝t，则F2M＝2t，F1M＝4t， 从而2a＝F2M＋F1M＝6t，故F2L＝5t， 在△LMF2中，注意到F2L＝5t＝ML，∴cos ∠LMF2＝， 在△MF1F2中，有cos ∠F1MF2＝cos ∠LMF2＝. 答案： 16．解析：由题知，若以P为圆心的动圆与两圆均外切，如图， 令以P为圆心的动圆半径为R，则PC1＝R＋1，PC2＝R＋r， 因|PC2－PC1|＝|r－1|，所以此时点P的轨迹不是椭圆，不符合题意； 若以P为圆心的动圆与圆C1外切，与圆C2内切，如图， 令以P为圆心的动圆半径为R，则PC1＝R＋1，PC2＝r－R， 因|PC2＋PC1|＝r＋1，若点P的轨迹为椭圆，则r＋1>2×2＝4，即r>3，且圆C1与圆C2不相交，即r>5， 综上，若点P的轨迹为椭圆，则r>5. 答案：(5，＋∞) 17．解：(1)设F(c，0)，当l与y轴平行时，直线l的方程为x＝c，则在椭圆上， 代入椭圆方程得＝1， 又因为离心率e＝，解得b＝，a＝2.所以C的方程为＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆C的方程得P(－2，0)， 当直线斜率不存在时，A，直线PA的方程为y＝(x＋2)， 令x＝4得D(4，3)，＝(3，3)，同理＝(3，－3)，＝0. 若直线l斜率存在时，设直线l：y＝k(x－1)， 联立得3x2＋4k2(x－1)2＝12， 即(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝ 直线PA的方程为y＝(x＋2)， 令x＝4得D，同理， 则＝0. 综上，的值为0. 18．解：(1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得(c＋a)c＝. 又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0. 又因为0<e<1，解得e＝.所以椭圆的离心率为. (2)(ⅰ)依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m>0)， 则直线FP的斜率为.由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＝1， 即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立， 可解得x＝，即点Q的坐标为. 由已知|FQ|＝，有2＋2＝2， 整理得3m2－4m＝0，所以m＝，即直线FP的斜率为. (ⅱ)由a＝2c，可得b＝c，故椭圆方程可以表示为＝1. 由(ⅰ)得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0， 与椭圆方程联立 消去y整理得7x2＋6cx－13c2＝0，解得x＝－(舍去)或x＝c. 因此可得点P＝， 所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝＝c，得c＝2.所以椭圆的方程为＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $