课下巩固精练卷(67) 椭圆（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

课下巩固精练卷(六十七)　椭圆 【基础巩固题】 1．(2024·福建泉州二模)若椭圆＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的焦距为(　　 ) A． B． C．2或 D．2或 解析：选D.若椭圆的焦点在x轴，则离心率e＝，得a2＝6，此时焦距2c＝2； 若椭圆的焦点在y轴，则离心率e＝，得a2＝，此时焦距2c＝2， 所以该椭圆的焦距为2或. 2．若方程(m＋1)x2＋(1－m)y2＝1－m2表示焦点在x轴上的椭圆，则(　　 ) A．－1<m<1 B．0<m<1 C．－1<m<0 D．－1<m<0或0<m<1 解析：选C.方程(m＋1)x2＋(1－m)y2＝1－m2可化为：＝1， 因为方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆， 所以解得－1<m<0. 3．(2024·湖南郴州模拟)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A为上顶点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　 ) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：选C.设椭圆＝1的半短轴长为b，半焦距为c， 则b＝，△AF1F2的面积S＝·b＝c， 由题知，所以c＝1，a＝＝2， 由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2， 所以△AF1F2的周长为4＋2＝6. 4．(2024·山东泰安模拟)已知点M在椭圆C：x2＋＝1上，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则|MF1|2＋|MF2|2的最小值为(　　 ) A．9 B．12 C．16 D．18 解析：选D.由题知，a2＝9，b2＝1，即a＝3，b＝1，则|MF1|＋|MF2|＝2a＝6， 因为|MF1|＋|MF2|≥2＝|MF2|时，等号成立)， 所以|MF1|·|MF2|≤9， 所以|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|≥62－2×9＝18(当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立)． 5．魏晋时期数学家刘徽(图(1))为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时(如图(2))，两圆柱公共部分形成的几何体(如图(3))即得一个“牟合方盖”，图(4)是该“牟合方盖”的直观图(图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上)． 由“牟合方盖”产生的过程可知，图(4)中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.如图，连接AC，BD交于点O，连接PO， 由“牟合方盖”产生的过程可知，图中的曲线PBQD所对应的椭圆的长轴长2a＝|BD|＝2，短轴长2b＝|PQ|＝2， 于是可得此椭圆的半焦距c＝＝1， 因此离心率e＝. 6．(2024·贵州黔南二模)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左焦点为F，过焦点F作圆x2＋y2＝b2的一条切线l交椭圆E的一个交点为A，切点为Q，且(O为坐标原点)，则椭圆E的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.由题意可知：圆x2＋y2＝b2的圆心为点O，半径为b，c>b， 设椭圆E的右焦点为F2，连接AF2， 因为＝2|OQ|＝2b， 由椭圆定义可知：|AF|＝2a－|AF2|＝2a－2b， 因为Q为切点，可知OQ⊥AF，则AF2⊥AF，可得|AF2|2＋|AF|2＝|F2F|2，即4b2＋(2a－2b)2＝4c2＝4(a2－b2)，解得2a＝3b，即， 所以椭圆E的离心率e＝. 7．(多选)已知曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则(　　 ) A．<m<1 B．C的离心率为 C．C的短轴长的取值范围是 D．m的值越小，C的焦距越大 解析：选AC.曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则曲线C的标准方程为＝1，其中a2＝，因为C的焦点在y轴上，所以>>0，即<m<1，故A正确； C的离心率为e＝，故B错误； C的短轴长2b＝2，当<m<1时，2<2b<故C正确； C的焦距2c＝2，当m＝时，2c＝；当m＝时，2c＝>，故D错误． 8．(多选)已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于△PF1F2的说法正确的有(　　 ) A．△PF1F2的周长为4＋2 B．当∠PF1F2＝90°时，|PF1|＝2 C．当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为 D．椭圆上有且仅有6个点P，使得△PF1F2为直角三角形 解析：选AD.由椭圆的方程可得，a＝2，b＝＝2a＋2c＝4＋2，故A正确； 当∠PF1F2＝90°时，PF1⊥x轴，令x＝－，可得y＝±1，所以|PF1|＝1，故B不正确； 当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为b2·tan 30°＝2×，故C不正确； 当点P位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，而|F1F2|＝2c＝2，此时∠F1PF2＝90°，有2个直角三角形， 当PF1⊥F1F2时，∠PF1F2＝90°，此时点P位于第二或第三象限，有2个直角三角形， 同理可得PF2⊥F1F2时，∠PF2F1＝90°，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故D正确． 9．椭圆＝1(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，与y轴的一个交点为A，若∠F1AF2＝，则m＝________． 解析：在椭圆＝1(m>0)中，a＝，b＝m，c＝1. 如图，易知|AF1|＝|AF2|＝a. 又∠F1AF2＝＝＝2，即m＝. 答案： 10．(2024·安徽阜阳模拟)设椭圆C：＝1的右焦点为F，过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，那么△ABF的周长的取值范围为____________． 解析：△ABF的周长C△ABF＝|AB|＋|AF|＋|BF|， 又因为A，B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点， 所以A，B两点关于原点对称，椭圆C的左焦点为F′，则|BF|＝|AF′|， 所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝4， 又因为A，B，F三点不共线，所以2≤|AB|<4， 所以△ABF的周长的取值范围为. 答案： 【综合应用题】 11．(2023·全国甲卷)已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos ∠F1PF2＝＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.由题意，不妨设F1，F2分别为左、右两焦点，|PF1|>|PF2|. 在椭圆C：＝1中，a＝， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，即|PF2|＝6－|PF1|. 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝2， cos ∠F1PF2＝， 由余弦定理得，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2， 解得|PF1|＝3＋＝6－|PF1|＝3－. ∵， ∴＝＝ ＝， ∴|PO|＝. 12．(2024·江苏模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，AB为过点F1的弦，M为AF1的中点，3，AB⊥MF2，则C的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.设|AF1|＝4x，因为3，M为AF1的中点， 所以|BF1|＝3x，|MF1|＝2x， 由椭圆定义可得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a， 所以|AF2|＝2a－4x，|BF2|＝2a－3x， 又因为AB⊥MF2，M为AF1的中点，所以|MF2|2＝|F1F2|2－|F1M|2＝|BF2|2－|BM|2，|AF2|＝|F1F2|， 设椭圆的半焦距为c， 所以4c2－4x2＝(2a－3x)2－25x2，2a－4x＝2c， 所以c2＝a2－3ax－3x2，x＝， 所以(c－a)(c＋a)＋3a×＋32＝0， 所以4c＋4a－6a＋3c－3a＝0， 所以5a＝7c， 所以椭圆C的离心率e＝. 13．(多选)(2024·河北保定一模)椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为＝1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为(　　 ) A．2 B．8 C．10 D．12 解析：选ACD.设椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，左顶点为A1，右顶点为A2. 由已知可得，a＝3，c2＝a2－b2＝4，所以c＝2. ①当光线从F1出发，沿F1A1方向传播，到达A1后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿A1F1方向传播，第一次经过F1，此时所经过的路程为2|A1F1|＝2(a－c)＝2，故A项正确； ②当光线从F1出发，沿F1A2方向传播，到达A2后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿A2F2方向传播，过点F2后继续传播，第一次经过F1，此时所经过的路程为2|A2F1|＝2(a＋c)＝10，故C项正确； ③当光线从F1出发后，不沿x轴传播，如图2. 光线开始沿F1P传播，到达P点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿PF2方向传播，过点F2后，继续传播到达Q点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿QF1方向传播，第一次经过F1，此时所经过的路程为|PF1|＋|PF2|＋|QF2|＋|QF1|. 根据椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，|QF1|＋|QF2|＝2a＝6， 所以|PF1|＋|PF2|＋|QF1|＋|QF2|＝12，故D项正确． 14．已知一个离心率为，长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为F1，F2，在椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，设△PF1F2的内切圆半径为r，则r的值为________． 解析：因为椭圆的离心率为，长轴长为4， 所以a＝2，c＝1， 在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|， 解得|PF1||PF2|＝4， 所以sin 60°＝， 即r×(4＋2)，解得r＝. 答案： 15．(2024·呼和浩特模拟)已知点P是椭圆＝1上异于顶点的动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2平分线上的一点，且＝0，则的取值范围是________． 解析：如图，延长PF2，F1M相交于点N，连接OM， 因为＝0，则⊥，即F1M⊥MP， 因为PM为∠F1PF2的平分线， 所以|PN|＝|PF1|，则点M为F1N的中点， 因为O为F1F2的中点， 所以|OM|＝＝＝， 设点P(x0，y0)，由已知可得a＝8，b＝4＝4， 则－8<x0<8且x0≠0，且有， |PF1|＝ ＝ ＝x0， 故|PF2|＝16－|PF1|＝8－x0， 所以|OM|＝＝∈(0，4)． 答案：(0，4) 【创新拓展题】 16．(多选)我国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球的球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，随后，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则(　　 ) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2 D．a2c1<a1c2 解析：选BC.由已知得a1>a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误； 由|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正确； 轨道Ⅱ的短轴长2b2＝2，故C正确； 由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1， 两边平方得＋2a2c1， 即＋2a2c1， 由于b1>b2>0，故， ∴a1c2<a2c1，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $